ᐈ MATRICES Y DETERMINANTES – Formulas y Full Ejercicios

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Matrices y Determinantes puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Definición de Matriz

Se llama matriz de orden «m x n» a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en “m” filas y en “n” columnas.

El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a₃₂ es el que está en la tercera fila y la segunda columna

Notación General:

Igualdad de Matrices

Dos matrices son iguales, sí y solo si, tienen en los mismos lugares elementos iguales:

Es decir:

m = a
n = b
p = c
q = d

Matrices Especiales

De acuerdo a la disposición de sus elementos o a la naturaleza de éstos. Aquí veremos las matrices cuadradas, las rectangulares y sus tipos más usados.

Matriz Cuadrada

Es aquella matriz que tiene igual número de filas y columnas, m = n diciéndose que la matriz es de orden n x n, o simplemente una matriz de orden “n”.

Así:

Son matrices de orden dos y tres respectivamente; si es de orden “n” tendremos:

Diagonal Principal

Es una matriz cuadrada A = (a_ij)_mxn, la diagonal principal es el conjunto de elementos a_ij, tal que i =j. Así en:

En la matriz de orden “n” la diagonal principal sería:

Los elementos de la diagonal secundaria, son aquellos en los que: i + j = n + 1

Tipos de Matrices Cuadradas

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

Ejemplos:

Matriz Escalar

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

Ejemplos:

Matriz Identidad

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

Ejemplos:

Triangular Superior

Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. Es decir:

Ejemplos:

Triangular Inferior

Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. Es decir:

Ejemplos:

Matriz Simétrica

Si “A” es una matriz simétrica entonces ésta debe ser igual a su transpuesta, es decir:

Si: A = A^T ⇒ A es simétrica

Ejemplos:

Matriz Antisimétrica

También llamada matriz hemisimétrica, se dice que una matriz es antisimétrica, si ésta es igual a la negativa de su transpuesta, es decir:

Si: A = −A^T ⇒ A es antisimétrica

Ejemplos:

Matriz Rectangular

Son aquellas donde el número de filas es distinto al número de columnas.

Esto es la matriz A = (a_ij)_mxn, es rectangular si: m ≠ n

Ejemplos:

Tipos de Matrices Rectangulares

Matriz Fila o Vector Fila

Es aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden: 1 x n

Ejemplos:

Matriz Columna

Es aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden: m x 1

Ejemplos:

Matriz Nula

Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos los elementos son nulos, es decir, una matriz A = A = (aij)mxn es nula si aij = 0 ∀ i, j.

Ejemplos:

Aspectos Adicionales

Transpuesta

Dada una matriz A, se llama transpuesta de “A” a la matriz que se obtiene cambiando de manera ordenada las filas por las columnas.

Se representa por At ó AT

Ejemplo:

Traza de una matriz cuadrada

Es la suma de los elementos de la diagonal principal “Traz(A)”

Ejemplo:

Halla la traza de la siguiente matriz:

Solución:

Traz (A) = (1+2+5) = 8 Rpta.

Operaciones con Matrices

Así como en cualquier conjunto numérico, en el conjunto de matrices también se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.

Adición y Sustracción de Matrices

Antes de dar la definición de adición o sustracción de matrices, veamos el siguiente ejemplo:

Una tienda de ropa de vestir tiene dos agentes vendedores.

Uno de ellos solicita 6 camisas blancas, 7 camisas negras, 2 camisas rosadas, 5 pantalones negros, 15 pantalones blancos.
El otro solicita 10 camisas blancas, 5 camisas negras, 7 camisas rosadas, 9 pantalones negros y 10 pantalones blancos.

¿Cuál es el requerimiento de ambos agentes?

Resolución:

Los pedidos de los agentes se pueden esquematizar mediante las siguientes matrices:

Entonces el pedido total será:

(6 + 10) Camisas blancas
(5 + 7) Camisas negras
(2 + 7) Camisas rosadas
(5 + 9) Pantalones negros
(15 + 10) Pantalones blancos

Así que:

Definición de Adición de Matrices

Sean las matrices:

La suma “A + B” de matrices A y B de orden “m x n” es una matriz C = (c_ij)_mxn de orden m x n, de tal modo, que cada elemento c_ij es igual a la suma “a_ij + b_ij”

Así:

Ejemplo:

Sean las siguiente matrices, hallar “A + B”:

Hallamos la suma de las matrices “A + B”:

Multiplicación de Matrices

Multiplicación de un escalar por una matriz

Cuando un escalar multiplica a una matriz cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar.

Así sea:

Donde “k” es una escalar:

Ejemplos:

Sea la matriz A, halle el valor de 5A:

Resolución:

Multiplicamos la matriz A por el escarlar 5 y tenemos:

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Sean las matrices:

Definimos:

Ejemplo:

Sean las matrices A y B halle el valor de A.B:

Resolución

Multiplicamos las dos matrices:

Multiplicación de dos matrices

Dadas las matrices A = (a_ij)_mxn y B = (b_jk)_nxp existe una tercera matriz C = (c_ik)_mxp que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde c_ij es el producto de multiplicar la fila “i” de la primera matriz por la columna “k” de la segunda matriz

Ejemplo:

Sean las matrices A y B, halle el valor de A.B:

Resolución:

La matriz “A.B” será una matriz “C” de orden (2 x 3); es decir:

Entonces multiplicamos los elementos de cada matriz:

Entonces tenemos la siguiente matriz:

Ten en cuenta que la multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa.

Propiedades

Sean A, B, C matrices para las cuales están definidas de adición y multiplicación con m, n escalares, se tendrá

Otros Tipos de Matrices

Matriz Nilpotente

Una matriz cuadrada “A” se dice nilpotente de índice k si A^k= 0; donde “0” es la matriz nula; además A^k−1≠ 0.

Ejemplo:

Sea la matriz:

Primero:

Hallamos la matriz A².

Segundo:

Hallamos la matriz A³.

Por lo tanto la matriz “A” es una matriz nilpotente de índice de nilpotencia 3.

Matriz Idempotente

Una matriz cuadrada “A” se llama idenpotente si sólo si A² = A.

Ejemplo:

Veamos la matriz:

Hallamos la matriz A².

Obteniéndose que A² = A, luego diremos que “A” es una matriz idenpotente.

Definición de Determinantes

El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar.

Notación:

Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A| ó det(A).

Sea el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n, entonces la definición queda de la siguiente manera.

Matriz de Orden Uno

Se llama determinante de una matriz de primer orden, formado por el elemento a₁₁, al propio elemento a₁₁

Ejemplo 01:

Sea la matriz A:

Entonces su determinante será:

Ejemplo 02:

Sea la matriz B:

Entonces su determinante será:

Matriz de Orden Dos

Sea la matriz:

Se define su determinante:

Ejemplo 01:

Sea la matriz A:

Entonces su determinante será:

Ejemplo 02:

Sea la matriz B:

Entonces su determinante será:

Matriz de Orden Tres

Sea:

Se define:

Ejemplo:

Sea la matriz A:

Entonces su determinante será:

Propiedades Generales

Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo determinante. Es decir: |A| = |A^T|, siendo A una matriz cuadrada.
Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden se tendrá: |AB| = |A|.|B|
Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales, se dirá que su determinante es cero.
Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante sólo cambia de signo.
Dos matrices cuadradas equivalentes por filas y columnas mediante la operación elemental, es decir, cuando a una fila o una columna se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna tienen el mismo determinante.
El determinante de una matriz diagonal triangular inferior o triangular superior es igual al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.
El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es igual a cero.
Sea A una matriz de n; se cumple: |k.A| = kⁿ. |A| ; K es un escalar.
Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor común, éste se puede sacar como factor común del determinante.
Si en un determinante se multiplican o dividen todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el determinante quedará multiplicado o dividido por este número.
Si todos los elementos de la fila son nulos, el determinante es nulo.
Si un determinante tiene dos filas cuyos elementos correspondientes son proporcionales, el determinante es nulo.

Menores y Cofactores

Considerando la matriz cuadrada de orden n.

Denotaremos por M_ij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila “i” y la columna “j” de la matriz A, luego:

Al determinante de la matriz M_ij (|M_ij|) se llamará menor elemento a_ij de la matriz A.
Se define cofactor del elemento a_ij denotado por A_ij.

Ejemplo:

Sea la matriz:

El menor elemento de 3 es:

El menor elemento de 5 es:

El menor elemento de −2 es:

Matriz Inversa

Sea A una matriz cuadrada, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden tal que AB = BA = I, definiremos a B como la matriz inversa de A y la denotaremos por A⁻¹, es decir, B = A⁻¹

Ejemplo 01:

Sean las matrices:

Observemos que:

De donde AB = BA = I

A es el inverso de B o (A = B⁻¹)
B es el inverso de A o (B = A⁻¹)

Ejemplo 02:

Sean las matrices:

Veamos:

De donde AB = BA ≠ I

⇒ A no es inverso de B, ni B es inverso de A

Definición de la Inversa de una Matriz

Matriz de Cofactores

Sea la matriz.

Si A_ij es el cofactor del elemento a_ij, entonces la matriz B.

A esta matriz se le llama matriz de cofactores.

Adjunta de una Matriz

A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama adjunta de la matriz A.

Ejemplo 01:

Sea la matriz:

Hallamos los cofactores de la matriz A:

Entonces la matriz de cofactores de A es:

Entonces la adjunta de la matriz A es:

Ejemplo 02:

Halle la inversa de la matriz A es:

Del ejemplo anterior 01:

Entonces:

Ejemplos de Matrices

Ahora veremos algunos ejemplos de matrices.

Ejemplo 01:

Calcular: «a + b − c»

Resolución:

Como las matrices del primer miembro tienen el mismo orden, podemos sumarlas:

Ahora por igualdad de matrices:

7 = c – 21 ⇒ c = 28
28 = a
b = 26

Luego nos piden:

Ejemplo 02:

Sean las matrices A y B, hallar: Traz (A. B)

Resolución:

Sea C la matriz producto de A y B. De acuerdo a la pregunta que nos hacen sólo nos piden la traza de la matriz producto para tal efecto sólo habrá que calcular los elementos de la diagonal principal.

Vale decir:

Cálculo de los elementos respectivos.

Luego la traza será:

Ejemplo 03:

Sean las matrices conmutables A y B, calular el valor de “m + n”

Resolución:

Veamos por ser conmutables:

Por igualdad de matrices.

–m + 1 = –3 ⇒ m = 4
–n + 5 = 8 ⇒ n = –3

Finalmente:

Ejemplo 04:

Sea la matriz idempotente A, calcular |m + n|.

Resolución:

Por ser “A” una matriz idempotente.

Por igualdad de matrices.

4 + m = 2 ⇒ m = –2
2 + n = 1 ⇒ n = –1

Nos piden:

Ejemplo 05:

Resolver:

Resolución:

Reduciendo el determinante del primer miembro.

Efectuando:

Finalmente:

Ejemplo 06:

Sea una matriz de orden 2 cuyo determinante es 4 y la diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y los elementos de la diagonal secundaria es 8. Si se suma x a cada elemento de la matriz A, su determinante resulta ser –4. Halle x:

Resolución:

Sea la matriz A:

Por dato su determinante es 4.

También por dato:

Luego también tenemos que:

Eliminando el término “x²”:

Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.

Ejemplo 07:

Calcular “x” de modo que la matriz A no tenga inversa:

Resolución:

Para que esta matriz no tenga inversa será necesario |A| = 0.

Entonces haciendo cumplir lo mencionado:

Efectuando:

Reduciendo:

Cambiando de signo:

Resolviendo por aspa simple, tenemos: x = 3 y x = 1

Ejemplo 08:

Encontrar la Inversa de la siguiente matriz:

Resolución:

Haciendo uso de la propiedad ya mencionada en la parte teórica:

Pero antes calcularemos el determinante de la matriz A:

Luego la matriz inversa será:

Ejercicios de Matrices y Determinantes

En esta sección te compartiremos varios problemas de matrices y determinantes resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Matrices y Determinantes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 26 problemas resueltos de matrices y determinantes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Matrices y Determinantes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 47 problemas del matrices y determinantes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B PDF

Matrices y Determinantes para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de matrices y determinantes para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.