MATRICES Y DETERMINANTES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Matrices y Determinantes puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Definición de Matriz

Se llama matriz de orden “m x n” a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en “m” filas y en “n” columnas.

El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna

Notación General:

Notación general de Matrices y Determinantes

Igualdad de Matrices

Dos matrices son iguales, sí y solo si, tienen en los mismos lugares elementos iguales:

Ejemplo de Igualdad de Matrices

Es decir:

  • m = a
  • n = b
  • p = c
  • q = d

Matrices Especiales

De acuerdo a la disposición de sus elementos o a la naturaleza de éstos. Aquí veremos las matrices cuadradas, las rectangulares y sus tipos más usados.

Matriz Cuadrada

Es aquella matriz que tiene igual número de filas y columnas, m = n diciéndose que la matriz es de orden      n x n, o simplemente una matriz de orden “n”.

Así:

Ejemplo de Matriz Cuadrada

Son matrices de orden dos y tres respectivamente; si es de orden “n” tendremos:

Ejercicio de Matriz Cuadrada

Diagonal Principal

Es una matriz cuadrada A = (aij)mxn, la diagonal principal es el conjunto de elementos aij, tal que i =j. Así en:

Ejemplo de Diagonal Principal

En la matriz de orden “n” la diagonal principal sería:

Formula de Diagonal Principal

Los elementos de la diagonal secundaria, son aquellos en los que: i + j = n + 1

Tipos de Matrices Cuadradas

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Diagonal

Matriz Escalar

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

Formula de Matriz Escalar

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Escalar

Matriz Identidad

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Identidad

Triangular Superior

Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. Es decir:

Ejemplos:

Ejemplo de Triangular Superior

Triangular Inferior

Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. Es decir:

Ejemplos:

Ejemplo de Triangular Inferior

Matriz Simétrica

Si “A” es una matriz simétrica entonces ésta debe ser igual a su transpuesta, es decir:

Si:        A = AT ⇒ A es simétrica

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Simétrica

Matriz Antisimétrica

También llamada matriz hemisimétrica, se dice que una matriz es antisimétrica, si ésta es igual a la negativa de su transpuesta, es decir:

Si: A = −AT ⇒ A es antisimétrica

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Antisimétrica

Matriz Rectangular

Son aquellas donde el número de filas es distinto al número de columnas.

Esto es la matriz A = (aij)mxn, es rectangular si: m ≠ n

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Rectangular

Tipos de Matrices Rectangulares

Matriz Fila o Vector Fila

Es aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden: 1 x n

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Fila o Vector Fila

Matriz Columna

Es aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden: m x 1

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Columna

Matriz Nula

Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos los elementos son nulos, es decir, una matriz A = A = (aij)mxn es nula si aij = 0 ∀ i, j.

Ejemplos:

Ejemplo de Matriz Nula

Aspectos Adicionales

Transpuesta

Dada una matriz A, se llama transpuesta de “A” a la matriz que se obtiene cambiando de manera ordenada las filas por las columnas.

Se representa por At ó AT

Ejemplo:

Ejemplo de Transpuesta

Traza de una matriz cuadrada

Es la suma de los elementos de la diagonal principal “Traz(A)”

Ejemplo:

Halla la traza de la siguiente matriz:

Ejemplo de Traza de una Matriz Cuadrada

Solución:

Traz (A) = (1+2+5) = 8 Rpta.

Operaciones con Matrices

Así como en cualquier conjunto numérico, en el conjunto de matrices también se definen ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.

Adición y Sustracción de Matrices

Antes de dar la definición de adición o sustracción de matrices, veamos el siguiente ejemplo:

Una tienda de ropa de vestir tiene dos agentes vendedores.

  • Uno de ellos solicita 6 camisas blancas, 7 camisas negras, 2 camisas rosadas, 5 pantalones negros, 15 pantalones blancos.
  • El otro solicita 10 camisas blancas, 5 camisas negras, 7 camisas rosadas, 9 pantalones negros y 10 pantalones blancos.

¿Cuál es el requerimiento de ambos agentes?

Resolución:

Los pedidos de los agentes se pueden esquematizar mediante las siguientes matrices:

Ejemplo Adición y Sustracción de Matrices

Entonces el pedido total será:

  • (6 + 10) Camisas blancas
  • (5 + 7) Camisas negras
  • (2 + 7) Camisas rosadas
  • (5 + 9) Pantalones negros
  • (15 + 10) Pantalones blancos

Así que:

Respuesta Adición y Sustracción de Matrices

Definición de Adición de Matrices

Sean las matrices:

Definicion de Adicion de Matrices

La suma “A + B” de matrices A y B de orden “m x n” es una matriz C = (cij)mxn de orden m x n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma “aij + bij

Así:

Elementos de Adicion de Matrices

Ejemplo:

Sean las siguiente matrices, hallar “A + B”:

Ejemplo de Adicion de Matrices

Hallamos la suma de las matrices “A + B”:

Suma de Matrices de Adicion de Matrices

Multiplicación de Matrices

Multiplicación de un escalar por una matriz

Cuando un escalar multiplica a una matriz cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar.

Así sea:

Multiplicacion de un Escalar por una Matriz

Donde “k” es una escalar:

Ejemplos:

Sea la matriz A, halle el valor de 5A:

Ejemplo Multiplicacion de un Escalar por una Matriz

Resolución:

Multiplicamos la matriz A por el escarlar 5 y tenemos:

Resolucion Multiplicacion de un Escalar por una Matriz

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Sean las matrices:

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Definimos:

Formula Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Ejemplo:

Sean las matrices A y B halle el valor de A.B:

Ejemplo de Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Resolución

Multiplicamos las dos matrices:

Ejemplo Resolucion Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

Multiplicación de dos matrices

Dadas las matrices A = (aij)mxn y B = (bjk)nxp existe una tercera matriz C = (cik)mxp que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde cij es el producto de multiplicar la fila “i” de la primera matriz por la columna “k” de la segunda matriz

Multiplicación de dos matrices

Ejemplo:

Sean las matrices A y B, halle el valor de A.B:

Ejemplo de Multiplicación de dos matrices

Resolución:

La matriz “A.B” será una matriz “C” de orden (2 x 3); es decir:

Resolucion de Multiplicación de dos matrices

Entonces multiplicamos los elementos de cada matriz:

Proceso de Multiplicación de dos matrices

Ejercicio de Multiplicación de dos matrices

Entonces tenemos la siguiente matriz:

Solucion de Multiplicación de dos matrices

Ten en cuenta que la multiplicación de matrices no necesariamente es conmutativa.

Propiedades

Sean A, B, C matrices para las cuales están definidas de adición y multiplicación con m, n escalares, se tendrá

Propiedad de la Multiplicación de Matrices

Otros Tipos de Matrices

Matriz Nilpotente

Una matriz cuadrada “A” se dice nilpotente de índice k si Ak = 0; donde “0” es la matriz nula; además Ak−1 ≠ 0.

Ejemplo:

Sea la matriz:

Ejemplo de Matriz Nilpotente

Primero:

Hallamos la matriz A2.

Formula de Matriz Nilpotente

Segundo:

Hallamos la matriz A3.

Hallando la Matriz

Por lo tanto la matriz “A” es una matriz nilpotente de índice de nilpotencia 3.

Matriz Idempotente

Una matriz cuadrada “A” se llama idenpotente si sólo si A2 = A.

Ejemplo:

Veamos la matriz:

Ejemplo de Matriz Idempotente

Hallamos la matriz A2.

Resolviendo Matriz Idempotente

Obteniéndose que A2 = A, luego diremos que “A” es una matriz idenpotente.

Definición de Determinantes

El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada, la transforma en un escalar.

Notación:

Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A| ó det(A).

Sea el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n, entonces la definición queda de la siguiente manera.

Notacion de Definicion de Determinantes

Matriz de Orden Uno

Se llama determinante de una matriz de primer orden, formado por el elemento a11, al propio elemento a11

Ejemplo 01:

Sea la matriz A:

Ejemplo Matriz de Orden Uno

Entonces su determinante será:

Determinante de Matriz de Orden Uno

Ejemplo 02:

Sea la matriz B:

Ejemplo 2 Matriz de Orden Uno

Entonces su determinante será:

Ejercicio 2 Matriz de Orden Uno

Matriz de Orden Dos

Sea la matriz:

Formula de Matriz de Orden Dos

Se define su determinante:

Definicion de Matriz de Orden Dos

Ejemplo 01:

Sea la matriz A:

Ejemplo 1 de Matriz de Orden Dos

Entonces su determinante será:

Determinante 1 de Matriz de Orden Dos

Ejemplo 02:

Sea la matriz B:

Ejemplo 2 de Matriz de Orden Dos

Entonces su determinante será:

Determinante 2 de Matriz de Orden Dos

Matriz de Orden Tres

Sea:

Ejemplo de Matriz de Orden Tres

Se define:

Definicion de Matriz de Orden Tres

Ejemplo:

Sea la matriz A:

Ejercicio de Matriz de Orden Tres

Entonces su determinante será:

Propiedades Generales

  1. Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo determinante. Es decir: |A| = |AT|, siendo A una matriz cuadrada.
  2. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden se tendrá: |AB| = |A|.|B|
  3. Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales, se dirá que su determinante es cero.
  4. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante sólo cambia de signo.
  5. Dos matrices cuadradas equivalentes por filas y columnas mediante la operación elemental, es decir, cuando a una fila o una columna se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna tienen el mismo determinante.
  6. El determinante de una matriz diagonal triangular inferior o triangular superior es igual al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.
  7. El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es igual a cero.
  8. Sea A una matriz de n; se cumple: |k.A| = kn. |A| ; K es un escalar.
  9. Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor común, éste se puede sacar como factor común del determinante.
  10. Si en un determinante se multiplican o dividen todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el determinante quedará multiplicado o dividido por este número.
  11. Si todos los elementos de la fila son nulos, el determinante es nulo.
  12. Si un determinante tiene dos filas cuyos elementos correspondientes son proporcionales, el determinante es nulo.

Menores y Cofactores

Considerando la matriz cuadrada de orden n.

Propiedades Generales Menores y Cofactores

Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila “i” y la columna “j” de la matriz A, luego:

  1. Al determinante de la matriz Mij (|Mij|) se llamará menor elemento aij de la matriz A.
  2. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij.

Determinante Generales Menores y Cofactores

Ejemplo:

Sea la matriz:

Ejemplo de Matriz Generales Menores y Cofactores

El menor elemento de 3 es:

El menor elemento de 5 es:

Menor Elemento Matriz Generales Menores y Cofactores

El menor elemento de −2 es:

Matriz Generales Menores y Cofactores

Matriz Inversa

Sea A una matriz cuadrada, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden tal que AB = BA = I, definiremos a B como la matriz inversa de A y la denotaremos por A−1, es decir, B = A−1

Ejemplo 01:

Sean las matrices:

Ejemplo de Matriz Inversa

Observemos que:

Propiedad de Matriz Inversa

De donde AB = BA = I

  • A es el inverso de B o (A = B−1)
  • B es el inverso de A o (B = A−1)

Ejemplo 02:

Sean las matrices:

Ejemplo 2 de Matriz Inversa

Veamos:

Ejercicio 2 de Matriz Inversa

De donde AB = BA ≠ I

⇒ A no es inverso de B, ni B es inverso de A

Definición de la Inversa de una Matriz

Matriz de Cofactores

Sea la matriz.

Propiedad de Matriz de Cofactores

Si Aij es el cofactor del elemento aij, entonces la matriz B.

Matriz de Cofactores

A esta matriz se le llama matriz de cofactores.

Adjunta de una Matriz

A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama adjunta de la matriz A.

Ejemplo de Adjunta de una Matriz

Ejemplo 01:

Sea la matriz:

Ejemplo 1 de Adjunta de una Matriz

Hallamos los cofactores de la matriz A:

Representacion 1 de Adjunta de una Matriz

Presentacion 1 de Adjunta de una Matriz

Entonces la matriz de cofactores de A es:

Matriz de Cofactores 1 de Adjunta de una Matriz

Entonces la adjunta de la matriz A es:

Ejemplo Matriz de Cofactores 1 de Adjunta de una Matriz

Teorema de una Matriz Invertida

Ejemplo 02:

Halle la inversa de la matriz A es:

Ejemplo 2 Matriz Inversa

Del ejemplo anterior 01:

Ejercicio 2 Matriz Inversa

Entonces:

Resolucion 2 Matriz Inversa

Ejemplos de Matrices

Ahora veremos algunos ejemplos de matrices.

Ejemplo 01:

Calcular: “a + b − c”

Ejemplo 1 de Matrices

Resolución:

Como las matrices del primer miembro tienen el mismo orden, podemos sumarlas:

Resolucion 1 de Matrices

Ahora por igualdad de matrices:

  • 7 = c – 21  ⇒  c = 28
  • 28 = a
  • b = 26

Luego nos piden:

Respuesta 1 de Matrices

Ejemplo 02:

Sean las matrices A y B, hallar: Traz (A. B)

Ejemplo 2 de Matrices

Resolución:

Sea C la matriz producto de A y B. De acuerdo a la pregunta que nos hacen sólo nos piden la traza de la matriz producto para tal efecto sólo habrá que calcular los elementos de la diagonal principal.

Vale decir:

Resolucion 2 de Matrices

Cálculo de los elementos respectivos.

Calculo de los Elementos Respectivos

Luego la traza será:

Respuesta 2 de Matrices

Ejemplo 03:

Sean las matrices conmutables A y B, calular el valor de “m + n”

Ejemplo 3 de Matrices

Resolución:

Veamos por ser conmutables:

Resolucion 3 de Matrices

Por igualdad de matrices.

  • –m + 1 = –3   ⇒  m = 4
  • –n + 5 = 8   ⇒  n = –3

Finalmente:

Respuesta 3 de Matrices

Ejemplo 04:

Sea la matriz idempotente A, calcular |m + n|.

Ejemplo 4 de Matrices

Resolución:

Por ser “A” una matriz idempotente.

Resolucion 4 de Matrices

Por igualdad de matrices.

  • 4 + m = 2   ⇒  m = –2
  • 2 + n = 1   ⇒  n = –1

Nos piden:

Respuesta 4 de Matrices

Ejemplo 05:

Resolver:

Ejemplo 5 de Matrices

Resolución:

Reduciendo el determinante del primer miembro.

Resolucion 5 de Matrices

Efectuando:

Efectuando 5 de Matrices

Finalmente:

Respuesta 5 de Matrices

Ejemplo 06:

Sea una matriz de orden 2 cuyo determinante es 4 y la diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y los elementos de la diagonal secundaria es 8. Si se suma x a cada elemento de la matriz A, su determinante resulta ser –4. Halle x:

Resolución:

Sea la matriz A:

Ejemplo 6 de Matrices

Por dato su determinante es 4.

Ejercicio 6 de Matrices

También por dato:

Efectuando 6 de Matrices

Luego también tenemos que:

Proceso 6 de Matrices

Eliminando el término “x2”:

Ejecutando 6 de Matrices

Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.

Respuesta 6 de Matrices

Ejemplo 07:

Calcular “x” de modo que la matriz A no tenga inversa:

Ejemplo 7 de Matrices

Resolución:

Para que esta matriz no tenga inversa será necesario |A| = 0.

Entonces haciendo cumplir lo mencionado:

Proceso 7 de Matrices

Efectuando:

Ejecutando Ejercicio 7 de Matrices

Reduciendo:

Reduciendo Ejercicio 7 de Matrices

Cambiando de signo:

Proceso Cambio de Signo 7 de Matrices

Resolviendo por aspa simple, tenemos: x = 3 y x = 1

Respuesta 7 de Matrices

Ejemplo 08:

Encontrar la Inversa de la siguiente matriz:

Ejemplo 8 de Matrices

Resolución:

Haciendo uso de la propiedad ya mencionada en la parte teórica:

Pero antes calcularemos el determinante de la matriz A:

Resolucion 8 de Matrices

Luego la matriz inversa será:

Respuestas 8 de Matrices

Ejercicios de Matrices y Determinantes

En esta sección te compartiremos varios problemas de matrices y determinantes resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Matrices y Determinantes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 26 problemas resueltos de matrices y determinantes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Matrices y Determinantes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 47 problemas del matrices y determinantes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Matrices y Determinantes para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de matrices y determinantes para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de notación y determinación de determinantes para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de operaciones con matrices para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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