PROGRESIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Progresiones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Sucesión

Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general una sucesión numérica se escribe así:

Progresiones Sucesión

El número “a1” se le llama primer término de la sucesión, el número “a2”, segundo término, el número “a3”, tercer término, etc.

Generalmente los términos se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante.

Progresiones Aritméticas

Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión.

Símbolos:

  • a1 = Primer término
  • an = Término de lugar “n” ó último término
  • r = Razón o diferencia
  • n = Número de términos
  • S = Suma de términos

Notación de una Progresión Aritmética

Notación de una Progresión Aritmética

Por definición:

Definicion de Notación de una Progresión Aritmética

De donde:

Ejemplo Notación de una Progresión Aritmética

La razón de una progresión aritmética se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior.

Si: r > 0, la progresión aritmética es creciente

Ejemplos de Progresiones Aritméticas

Ejemplo 1:

Ejercicio 1 Notación de una Progresión Aritmética

Si: r < 0, la progresión aritmética es decreciente

Ejemplo 2:

Ejercicio 2 Notación de una Progresión Aritmética

La progresión se llama limitada cuando tiene un número finito de términos, llamándose al primer y al último término extremos:

Ejemplo 3:

Ejercicio 3 Notación de una Progresión Aritmética

La progresión se llama ilimitada cuando tiene infinitos términos:

Ejemplo 4:

Ejercicio 4 Notación de una Progresión Aritmética

Propiedades:

1. En una progresión aritmética un término cualquiera es igual al primer término más tantas veces la razón como términos le preceden.

Propiedad Notación de una Progresión Aritmética

En efecto, sea la progresión aritmética.

Terminos Progresión Aritmética

Por definición se tiene:

Definición Progresión Aritmética

Sumando miembro a miembro y simplificando:

Sumando Miembro a Miembro y Simplificando

La fórmula (1) está en función de cuatro variables:

Funcion de Cuatro Variables

Se puede hallar una de ellas cuando se conozcan los valores de las otras tres.

De (1) despejando:

Primer término:

Valores de las Otras Tres Variables

Razón:

Razon Valores de las Otras Tres Variables

Número de términos:

Numero de Terminos

2. En una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos:

En efecto, sea la progresión aritmética de razón “r”:

Progresión Aritmética

En la progresión:

Ejemplo Progresión Aritmética

Sumando miembro a miembro:

Sumando Miembro a Miembro

3. En una progresión aritmética de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos:

Progresión Aritmética de un Numero Impar

En la progresión:

Ejemplo Progresión Aritmética de un Numero Impar

Sumando miembro a miembro:

Ejemplo Sumando Miembro a Miembro

4. La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos:

Progresión Aritmética Limitada

En efecto, sea la progresión aritmética.

Progresión Aritmética Terminos

La suma de sus términos es:

Suma de Terminos

También:

Representacion Suma de Terminos

Sumando (α) + (β):

Sumando Terminos

Cada uno de los “n” paréntesis por ser la suma de dos términos equidistantes de los extremos, valen:(a1 + an), luego:

Suma de Terminos Equidistantes

Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la última formula:

Ultimo Termino

Se obtiene:

Resultado de Terminos Equidistantes

Medios Aritméticos o Medios Diferenciales

Son los términos de una progresión aritmética comprendido entre sus extremos.

Medios Aritméticos o Medios Diferenciales

Donde: n = m + 2

Interpolar Medios Aritméticos o Diferenciales entre Dos Números Dados

Es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean precisamente los números dados.

Ejemplo:

Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an.

Se debe formar la progresión aritmética

Interpolar Medios Aritméticos o Diferenciales entre Dos Números Dados

Para lo cual se debe calcular la razón, de:

Interpolar Medios Aritméticos

Pero:

Proceso Interpolar Medios Aritméticos

Luego:

Resultado Interpolar Medios Aritméticos

Llamada razón de interpolación

Progresiones Geométricas

Se llama progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión:

Símbolos:

  • t1 = Primer termino
  • tn = Termino de lugar “n” o último termino
  • q = Razón
  • n = Número de términos
  • S = Suma de términos
  • P = Producto de términos

Notación de una Progresión Geométrica:

Notación de una Progresión Geométrica

Por definición:

Definición Notación de una Progresión Geométrica

De donde:

Fórmula Notación de una Progresión Geométrica

La razón de una progresión geométrica, se obtiene dividiendo un termino cualquiera entre su inmediato anterior.

Si: q > 1, la progresión geométrica es creciente

Ejercicio Notación de una Progresión Geométrica

Si: 0 < q < 1, la progresión es decreciente.

Progresión Decreciente

Si: q < 0, la progresión geométrica es oscilante

Progresión Geométrica Oscilante

Propiedades:

1. En una progresión geométrica un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden.

Propiedad 1 Notación de una Progresión Geométrica

En efecto, sea la progresión geométrica

Ejemplo 1 Notación de una Progresión Geométrica

Por definición se tiene:

Definicion 1 Notación de una Progresión Geométrica

Multiplicando miembro a miembro a miembro y simplificando:

Multiplicacion 1 Notación de una Progresión Geométrica

La fórmula (1) está en función de cuatro variables: tn , t1 , q , n , se puede hallar uno de ellos cuando se conozcan los valores de los otros tres.

De (1) despejando:

Primer termino:

Primer Termino 1 Notación de una Progresión Geométrica

Razón:

Razon de Notación de una Progresión Geométrica

2. En una progresión geométrica el producto de dos términos equivalentes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos:

En efecto, sea la progresión geométrica de razón “q”:

Terminos Equidistantes de los Extremos

En la progresión:

Progresión 1 Notación de una Progresión Geométrica

Multiplicando miembro a miembro:

Multiplicacion 2 Notación de una Progresión Geométrica

3. En una progresión geométrica de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Propiedad 3 Notación de una Progresión Geométrica

En la progresión:

Progresión 3 Notación de una Progresión Geométrica

También:

Formula 3 Notación de una Progresión Geométrica

Multiplicando miembro a miembro:

Multiplicando 3 Notación de una Progresión Geométrica

4. En una progresión geométrica limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión.

Propiedad 4 Notación de una Progresión Geométrica

En efecto, sea la progresión geométrica

Progresión 4 Notación de una Progresión Geométrica

El producto de sus términos es:

Producto 4 Notación de una Progresión Geométrica

Multiplicando (1).(2):

Multiplicacion 4 Notación de una Progresión Geométrica

Cada uno de los “n” paréntesis por ser el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos (t1.tn), luego:

Terminos Equidistantes 4 Notación de una Progresión Geométrica

5. La suma de los términos de una progresión geométrica limitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo entre la diferencia de la razón y la unidad.

Propiedad 5 Notación de una Progresión Geométrica

En efecto, sea la progresión geométrica

Progresión 5 Notación de una Progresión Geométrica

La suma de sus términos es:

Terminos 5 Notación de una Progresión Geométrica

Multiplicando ambos miembros por “q”:

Multiplicando 5 Notación de una Progresión Geométrica

Es decir:

Ejercicio 5 Notación de una Progresión Geométrica

Restando (γ) – (β) y simplificando tendremos:

Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la última formula:

Ejemplo 5 Notación de una Progresión Geométrica

Se obtiene:

Problema 5 Notación de una Progresión Geométrica

6. El límite de la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón:

Propiedad 6 Notación de una Progresión Geométrica

En efecto, de la formula (3)

Formula 6 Notación de una Progresión Geométrica

Cambiando de signo a ambos miembros de la fracción:

Fraccion 6 Notación de una Progresión Geométrica

Donde por ser la progresión:

Progresión 6 Notación de una Progresión Geométrica

Tomando límites a la suma:

Limites 6 Notación de una Progresión Geométrica

Medios Geométricos o Medios Proporcionales

Son los términos de una progresión geométrica comprendidos entre sus extremos:

Medios Geométricos o Medios Proporcionales

Donde: n = m + 2

Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados

Es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean precisamente los números dados.

Ejemplo:

Interpolar “m” medios geométricos o proporcionales entre t1 y tn

Se debe formar la progresión geométrica

Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados

Para lo cual se debe calcular la razón:

De:

Ejercicio Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados

Pero:

Ejemplo Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados

Luego:

Proceso Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados

Ejemplos de Progresiones

Ahora veremos algunos ejemplos de progresiones.

Ejemplo 01:

Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente progresión aritmética.

Ejemplo 1 de Progresiones

Resolución:

Del podemos extraer los datos siguientes:

  • r = 8 – 12 = −4
  • n = 15
  • a1=12

Aplicando la fórmula: an = a1 + (n−1)r

Resolución 1 de Progresiones

Ejemplo 02:

La suma de los cuatro primeros términos de una progresión aritmética es 20 y la razón 6. ¿Cuál es el primer término?

Resolución:

De la lectura del problema:

  • S = 20
  • n = 4
  • r = 6

Aplicando la fórmula:

Resolución 2 de Progresiones

Reemplazamos lo valores que tenemos en la fórmula:

Respuesta 2 de Progresiones

Ejemplo 03:

En una progresión aritmética de 15 términos, la suma de los términos es 360. ¿Cuál es el valor del término central?

Resolución:

Sea “x” el término central de la  de un número impar de términos, esto es igual a:

Ejemplo 3 de Progresiones

Datos:

  • S = 360
  • n = 15

Tenemos la siguiente fórmula:

Resolucion 3 de Progresiones

Reemplazando los valores que tenemos en la fórmula:

Problema 3 de Progresiones

Reemplazando en (1):

Ejemplo 04:

Desde los puntos A y B, distantes entre si 510 m. se mueve simultáneamente dos cuerpos, uno al encuentro del otro. El primero de ellos recorre en el primer minuto 50 m, y en cada minuto siguiente dos metros más que en el precedente. El segundo cuerpo recorre en el primer minuto 40 m. y en cada minuto siguiente 4 m, más que en el precedente. ¿Después de cuantos minutos se encuentran estos dos cuerpos?

Resolución:

Ejemplo 4 de Progresiones

Sea “x” el número que tardan en encontrarse, el primer cuerpo habrá recorrido:

Ejercicio 4 de Progresiones

Los dos juntos habrán recorrido:

Problema 4 de Progresiones

Igualando cada factor a cero:

Proceso 4 de Progresiones

Por lo tanto se encuentran después de:

Respuesta 4 de Progresiones

Ejemplo 05:

Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 7, el último es 567 y la suma de todos los términos 847.

Resolución:

De la lectura del problema:

  • t1 = 7
  • tn = 567
  • S = 847

Tenemos la siguiente fórmula:

Ejercicio 5 de Progresiones

Reemplazamos los valores que tenemos en la formula y obtenemos:

Proceso 5 de Progresiones

Ahora tenemos la siguiente fórmula:

Reemplazamos los valores en esa fórmula y tenemos lo siguiente:

Resolucion 5 de Progresiones

Aplicamos uno de los teoremas de las ecuaciones exponenciales y tenemos:

Aplicacion Ejercicio 5 de Progresiones

Nos piden hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica, entonces:

Respuesta Ejercicio 5 de Progresiones

Ejercicios de Progresiones

En esta sección te compartiremos varios problemas de progresiones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Progresiones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 29 problemas resueltos de progresiones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Progresiones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 67 problemas del progresiones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

 

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Progresiones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de progresiones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos el enlace de un material educativo de progresiones aritméticas para 4to grado de secundaria, esperamos que sea de mucha utilidad:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos el link de un material educativo de progresiones aritméticas para 5to grado de secundaria que esperamos que te sirva:

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