Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Progresiones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Sucesión
Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general una sucesión numérica se escribe así:
El número “a1” se le llama primer término de la sucesión, el número “a2”, segundo término, el número “a3”, tercer término, etc.
Generalmente los términos se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante.
Progresiones Aritméticas
Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión.
Símbolos:
- a1 = Primer término
- an = Término de lugar “n” ó último término
- r = Razón o diferencia
- n = Número de términos
- S = Suma de términos
Notación de una Progresión Aritmética
Por definición:
De donde:
La razón de una progresión aritmética se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior.
Si: r > 0, la progresión aritmética es creciente
Ejemplos de Progresiones Aritméticas
Ejemplo 1:
Si: r < 0, la progresión aritmética es decreciente
Ejemplo 2:
La progresión se llama limitada cuando tiene un número finito de términos, llamándose al primer y al último término extremos:
Ejemplo 3:
La progresión se llama ilimitada cuando tiene infinitos términos:
Ejemplo 4:
Propiedades:
1. En una progresión aritmética un término cualquiera es igual al primer término más tantas veces la razón como términos le preceden.
En efecto, sea la progresión aritmética.
Por definición se tiene:
Sumando miembro a miembro y simplificando:
La fórmula (1) está en función de cuatro variables:
Se puede hallar una de ellas cuando se conozcan los valores de las otras tres.
De (1) despejando:
Primer término:
Razón:
Número de términos:
2. En una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos:
En efecto, sea la progresión aritmética de razón “r”:
En la progresión:
Sumando miembro a miembro:
3. En una progresión aritmética de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos:
En la progresión:
Sumando miembro a miembro:
4. La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos:
En efecto, sea la progresión aritmética.
La suma de sus términos es:
También:
Sumando (α) + (β):
Cada uno de los “n” paréntesis por ser la suma de dos términos equidistantes de los extremos, valen:(a1 + an), luego:
Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la última formula:
Se obtiene:
Medios Aritméticos o Medios Diferenciales
Son los términos de una progresión aritmética comprendido entre sus extremos.
Donde: n = m + 2
Interpolar Medios Aritméticos o Diferenciales entre Dos Números Dados
Es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean precisamente los números dados.
Ejemplo:
Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an.
Se debe formar la progresión aritmética
Para lo cual se debe calcular la razón, de:
Pero:
Luego:
Llamada razón de interpolación
Progresiones Geométricas
Se llama progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión:
Símbolos:
- t1 = Primer termino
- tn = Termino de lugar “n” o último termino
- q = Razón
- n = Número de términos
- S = Suma de términos
- P = Producto de términos
Notación de una Progresión Geométrica:
Por definición:
De donde:
La razón de una progresión geométrica, se obtiene dividiendo un termino cualquiera entre su inmediato anterior.
Si: q > 1, la progresión geométrica es creciente
Si: 0 < q < 1, la progresión es decreciente.
Si: q < 0, la progresión geométrica es oscilante
Propiedades:
1. En una progresión geométrica un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden.
En efecto, sea la progresión geométrica
Por definición se tiene:
Multiplicando miembro a miembro a miembro y simplificando:
La fórmula (1) está en función de cuatro variables: tn , t1 , q , n , se puede hallar uno de ellos cuando se conozcan los valores de los otros tres.
De (1) despejando:
Primer termino:
Razón:
2. En una progresión geométrica el producto de dos términos equivalentes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos:
En efecto, sea la progresión geométrica de razón “q”:
En la progresión:
Multiplicando miembro a miembro:
3. En una progresión geométrica de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
En la progresión:
También:
Multiplicando miembro a miembro:
4. En una progresión geométrica limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión.
En efecto, sea la progresión geométrica
El producto de sus términos es:
Multiplicando (1).(2):
Cada uno de los “n” paréntesis por ser el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos (t1.tn), luego:
5. La suma de los términos de una progresión geométrica limitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo entre la diferencia de la razón y la unidad.
En efecto, sea la progresión geométrica
La suma de sus términos es:
Multiplicando ambos miembros por “q”:
Es decir:
Restando (γ) – (β) y simplificando tendremos:
Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la última formula:
Se obtiene:
6. El límite de la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón:
En efecto, de la formula (3)
Cambiando de signo a ambos miembros de la fracción:
Donde por ser la progresión:
Tomando límites a la suma:
Medios Geométricos o Medios Proporcionales
Son los términos de una progresión geométrica comprendidos entre sus extremos:
Donde: n = m + 2
Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados
Es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean precisamente los números dados.
Ejemplo:
Interpolar “m” medios geométricos o proporcionales entre t1 y tn
Se debe formar la progresión geométrica
Para lo cual se debe calcular la razón:
De:
Pero:
Luego:
Ejemplos de Progresiones
Ahora veremos algunos ejemplos de progresiones.
Ejemplo 01:
Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente progresión aritmética.
Resolución:
Del podemos extraer los datos siguientes:
- r = 8 – 12 = −4
- n = 15
- a1=12
Aplicando la fórmula: an = a1 + (n−1)r
Ejemplo 02:
La suma de los cuatro primeros términos de una progresión aritmética es 20 y la razón 6. ¿Cuál es el primer término?
Resolución:
De la lectura del problema:
- S = 20
- n = 4
- r = 6
Aplicando la fórmula:
Reemplazamos lo valores que tenemos en la fórmula:
Ejemplo 03:
En una progresión aritmética de 15 términos, la suma de los términos es 360. ¿Cuál es el valor del término central?
Resolución:
Sea “x” el término central de la de un número impar de términos, esto es igual a:
Datos:
- S = 360
- n = 15
Tenemos la siguiente fórmula:
Reemplazando los valores que tenemos en la fórmula:
Reemplazando en (1):
Ejemplo 04:
Desde los puntos A y B, distantes entre si 510 m. se mueve simultáneamente dos cuerpos, uno al encuentro del otro. El primero de ellos recorre en el primer minuto 50 m, y en cada minuto siguiente dos metros más que en el precedente. El segundo cuerpo recorre en el primer minuto 40 m. y en cada minuto siguiente 4 m, más que en el precedente. ¿Después de cuantos minutos se encuentran estos dos cuerpos?
Resolución:
Sea “x” el número que tardan en encontrarse, el primer cuerpo habrá recorrido:
Los dos juntos habrán recorrido:
Igualando cada factor a cero:
Por lo tanto se encuentran después de:
Ejemplo 05:
Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 7, el último es 567 y la suma de todos los términos 847.
Resolución:
De la lectura del problema:
- t1 = 7
- tn = 567
- S = 847
Tenemos la siguiente fórmula:
Reemplazamos los valores que tenemos en la formula y obtenemos:
Ahora tenemos la siguiente fórmula:
Reemplazamos los valores en esa fórmula y tenemos lo siguiente:
Aplicamos uno de los teoremas de las ecuaciones exponenciales y tenemos:
Nos piden hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica, entonces:
Ejercicios de Progresiones
En esta sección te compartiremos varios problemas de progresiones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Progresiones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 29 problemas resueltos de progresiones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Progresiones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 67 problemas del progresiones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Progresiones para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de progresiones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos el enlace de un material educativo de progresiones aritméticas para 4to grado de secundaria, esperamos que sea de mucha utilidad:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Ahora te brindaremos el link de un material educativo de progresiones aritméticas para 5to grado de secundaria que esperamos que te sirva: