Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Valor Absoluto puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué es el Valor Absoluto?
El valor absoluto o magnitud de x ∈ R, denotado por |x| es un número no negativo definido por la siguiente regla:
Ejemplos:
- |7| = 7
- |−12| = −(−12) = 12
En realidad ∀ x ∈ R, x ≠ 0, el valor absoluto |x| es la distancia en la recta numérica entre “0” y “x”.
Ejemplo:
Definir |x−a|; a ∈ R
Para la resolución de problemas se debe tener en cuenta lo siguiente:
Teorema 01:
Demostración:
Por definición, cuando:
Por definición cuando:
Luego:
Teorema 02:
Demostración:
Procedemos por el absurdo.
- Si: x ≠ 0 ⇒ x < 0 ∨ x > 0
- Si: x > 0 ; |x| = x ; x > 0
- Si: x < 0 ; |x| = −x ; −x > 0
En ambos casos |x| > 0, lo cual contradice la hipótesis |x| = 0. Por lo tanto: x = 0
Teorema 03:
Demostración:
- |x|2 = |x||x| … (Definición de potencia)
Desdoblando en dos casos:
Teorema 04:
Demostración:
Extrayendo la raíz cuadrada:
Teorema 05:
Demostración:
Por definición:
Redefiniendo se tiene:
Se concluye que:
Teorema 06:
Demostración:
Partimos del teorema de la radicación:
Luego por el Teorema 4:
Teorema 07:
Demostración (utilizando el teorema anterior)
Sea:
Reemplazando el valor de “a”
Teorema 09:
Teorema 10:
Demostración:
Teorema 10:
Ecuaciones con Valor Absoluto (Ecuación Modular)
Para resolver ecuaciones con valores absolutos sólo se deben utilizar correctamente los teoremas mencionados anteriormente:
Ejemplo 01:
Resolver:
Resolución:
A partir de:
Tenemos que:
Ejemplo 02:
Resolver:
Resolución:
A partir de:
Tenemos que:
Inecuaciones con Valor Absoluto
Veamos el siguiente caso:
I. De la definición g(x) ≥ 0 de la cual se obtiene que la solución (S1).
II. Como |f(x)| y g(x) ambos no negativos se eleva al cuadrado.
De donde: −g(x) ≤ f(x) ≤ g(x), obtendremos la solución (S2).
III. La solución general:
Ejemplo 01:
Resolver:
Resolución:
De la definición, se obtiene S1:
Ahora tenemos lo siguiente y obtenemos S2:
Por definición:
Graficando:
Por lo tanto en conjunto solución seria:
Ejemplo 02:
Resolver:
Resolución:
Recuerde que:
Entonces tenemos que:
Aplicando aspa simple obtenemos que:
Por lo tanto la respuesta seria:
Ejemplos de Valor Absoluto
Ahora veremos algunos ejemplos de valores absolutos.
Ejemplo 01:
Resolver:
Resolución:
Viendo la primera solución: 6 ≥ 0, ahora la segunda solución:
Entonces el conjunto solución seria:
Ejemplo 02:
El conjunto solución del siguiente problema sera:
Resolución:
Por el teorema 5.
Llevando al primer miembro:
Factorizando y hallando los valores de “x”:
Entonces el conjunto solución seria:
Ejemplo 03:
Resolver:
Resolución:
Por el teorema 5.
Transponiendo al primer miembro:
Factorizando:
Reduciendo:
Luego tenemos lo siguiente:
Entonces el conjunto solución seria:
Ejemplo 04:
Resolución:
Aplicando el teorema 5.
Transformando:
Extrayendo factor común:
Como |x| = x2, tendremos:
Haciendo que los coeficientes principales sean positivos:
Factorizando:
Por el método de los puntos críticos:
Ejemplo 05:
Resolver:
Resolución:
Por el teorema 10.
Sumando (2) a la serie:
Ejemplo 06:
Resolver:
Resolución:
Por el teorema 10:
Sumando (−1):
Dividiendo entre (−4):
Entonces la respuesta seria:
Ejercicios de Valor Absoluto
En esta sección te compartiremos varios problemas de valor absoluto resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Valor Absoluto
Aquí te compartiremos un documento que contiene 29 problemas resueltos de valor absoluto, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Valor Absoluto
Aquí te compartiremos un documento que contiene 47 problemas del valor absoluto, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Valor Absoluto para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de valor absoluto para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de ecuaciones con valor absoluto para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un material educativo de teoría de ejercicios de valor absoluto para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
En esta parte te recomendaremos un material educativo de teoría de valor absoluto para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Me Parece muy interesaante y didactico su Material, sobre Valor Absoluto.
Lo estaré estudiando a partir del 01 Junio 2023, porque estoy en otra Investigación sobre Logaritmo.
Pero lo brevemente que he leido y analizado e su material indica el grado de profesionalismo y dedicación con que los Hacen. EXITOS.
Luego los Contactaré, pero de antemano estoy seguro que es muy Bueno.
Saludos desde La República Bolivariana de Venezuela, Ciudad Guayana, San Felix, 28 de MAyo 2023.
Muy buena aportacion de los diferentes temas del hermoso curso de algebra felicitaciones y sigan subiendo mas material