VALOR ABSOLUTO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Valor Absoluto puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué es el Valor Absoluto?

El valor absoluto o magnitud de x ∈ R, denotado por |x| es un número no negativo definido por la siguiente regla:

Formula de Valor Absoluto

Ejemplos:

  • |7| = 7
  • |−12| = −(−12) = 12

En realidad ∀ x ∈ R, x ≠ 0, el valor absoluto |x| es la distancia en la recta numérica entre “0” y “x”.

Ejemplo de Valor Absoluto en la Recta Numérica

Ejemplo:

Definir |x−a|; a ∈ R

Ejercicio de Valor Absoluto

Para la resolución de problemas se debe tener en cuenta lo siguiente:

Teorema 01:

Teorema 1 de Valor Absoluto

Demostración:

Por definición, cuando:

Ejemplo Teorema 1 de Valor Absoluto

Por definición cuando:

Ejercicio Teorema 1 de Valor Absoluto

Luego:

Aplicacion Teorema 1 de Valor Absoluto

Teorema 02:

Teorema 2 de Valor Absoluto

Demostración:

Procedemos por el absurdo.

  • Si: x ≠ 0 ⇒ x < 0 ∨ x > 0
  • Si: x > 0 ; |x| = x ; x > 0
  • Si: x < 0 ; |x| = −x ; −x > 0

En ambos casos |x| > 0, lo cual contradice la hipótesis |x| = 0. Por lo tanto: x = 0

Ejemplo Teorema 2 de Valor Absoluto

Teorema 03:

Teorema 3 de Valor Absoluto

Demostración:

  • |x|2 = |x||x| … (Definición de potencia)

Desdoblando en dos casos:

Ejemplo Teorema 3 de Valor Absoluto

Teorema 04:

Teorema 4 de Valor Absoluto

Demostración: 

Demostracion Teorema 4 de Valor Absoluto

Extrayendo la raíz cuadrada:

Raiz Cuadrada Teorema 4 de Valor Absoluto

Teorema 05:

Teorema 5 de Valor Absoluto

Demostración:

Por definición:

Demostracion Teorema 5 de Valor Absoluto

Redefiniendo se tiene:

Ejemplo Teorema 5 de Valor Absoluto

Se concluye que:

Conclusion Teorema 5 de Valor Absoluto

Teorema 06:

Teorema 6 de Valor Absoluto

Demostración:

Partimos del teorema de la radicación:

Demostración Teorema 6 de Valor Absoluto

Luego por el Teorema 4:

Ejemplo Teorema 6 de Valor Absoluto

Teorema 07:

Teorema 7 de Valor Absoluto

Demostración (utilizando el teorema anterior)

Sea:

Demostración Teorema 7 de Valor Absoluto

Reemplazando el valor de “a”

Ejemplo Teorema 7 de Valor Absoluto

Teorema 09:

Teorema 8 de Valor Absoluto

Teorema 10:

Teorema 9 de Valor Absoluto

Demostración:

Demostración Teorema 9 de Valor Absoluto

Teorema 10:

Teorema 10 de Valor Absoluto

Ecuaciones con Valor Absoluto (Ecuación Modular)

Para resolver ecuaciones con valores absolutos sólo se deben utilizar correctamente los teoremas mencionados anteriormente:

Ejemplo 01:

Resolver:

Ejemplo de Ecuaciones con Valor Absoluto

Resolución:

A partir de:

Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto

Tenemos que:

Respuesta de Ecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 02:

Resolver:

Ejemplo 2 de Ecuaciones con Valor Absoluto

Resolución:

A partir de:

Resolucion 2 de Ecuaciones con Valor Absoluto

Tenemos que:

Respuesta 2 de Ecuaciones con Valor Absoluto

Inecuaciones con Valor Absoluto

Veamos el siguiente caso:

Formula de Inecuaciones con Valor Absoluto

I. De la definición g(x) ≥ 0 de la cual se obtiene que la solución (S1).

II. Como |f(x)| y g(x) ambos no negativos se eleva al cuadrado.

Problema de Inecuaciones con Valor Absoluto

De donde:  −g(x) ≤ f(x) ≤ g(x), obtendremos la solución (S2).

III. La solución general:

Solucion General de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 01:

Resolver:

Ejemplo de Inecuaciones con Valor Absoluto

Resolución:

De la definición, se obtiene S1:

Definicion de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ahora tenemos lo siguiente y obtenemos S2:

Proceso de Inecuaciones con Valor Absoluto

Por definición:

Conclusiones de Inecuaciones con Valor Absoluto

Graficando:

Graficando 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Por lo tanto en conjunto solución seria:

Respuesta de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 02:

Resolver:

Ejemplo 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Resolución:

Recuerde que:

Resolucion 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Entonces tenemos que:

Proceso 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Aplicando aspa simple obtenemos que:

Proceso Aspa Simple 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Por lo tanto la respuesta seria:

Respuesta 2 de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplos de Valor Absoluto

Ahora veremos algunos ejemplos de valores absolutos.

Ejemplo 01:

Resolver:

Ejemplos de Valor Absoluto

Resolución:

Viendo la primera solución: 6 ≥ 0, ahora la segunda solución:

Resolucion de Valor Absoluto

Entonces el conjunto solución seria:

Respuesta de Valor Absoluto

Ejemplo 02:

El conjunto solución del siguiente problema sera:

Ejemplo 2 de Valor Absoluto

Resolución:

Por el teorema 5.

Resolucion 2 de Valor Absoluto

Llevando al primer miembro:

Operacion 2 de Valor Absoluto

Factorizando y hallando los valores de “x”:

Factorizando Ejercicio 2 de Valor Absoluto

Entonces el conjunto solución seria:

Respuesta 2 de Valor Absoluto

Ejemplo 03:

Resolver:

Ejemplo 3 de Valor Absoluto

Resolución:

Por el teorema 5.

Resolucion 3 de Valor Absoluto

Transponiendo al primer miembro:

Proceso Resolucion 3 de Valor Absoluto

Factorizando:

Conclusion Resolucion 3 de Valor Absoluto

Reduciendo:

Reduccion 3 de Valor Absoluto

Luego tenemos lo siguiente:

Proceso 3 de Valor Absoluto

Entonces el conjunto solución seria:

Respuesta 3 de Valor Absoluto

Ejemplo 04:

Ejemplo 4 de Valor Absoluto

Resolución:

Aplicando el teorema 5.

Resolucion 4 de Valor Absoluto

Transformando:

Transformando 4 de Valor Absoluto

Extrayendo factor común:

Esxrayendo 4 de Valor Absoluto

Como |x| = x2, tendremos:

Estrayendo Ejemplo 4 de Valor Absoluto

Haciendo que los coeficientes principales sean positivos:

Coeficiente 4 de Valor Absoluto

Factorizando:

Factorizando Ejercicio 4 de Valor Absoluto

Por el método de los puntos críticos:

Respuesta 4 de Valor Absoluto

Ejemplo 05:

Resolver:

Ejemplo 5 de Valor Absoluto

Resolución:

Por el teorema 10.

Resolucion 5 de Valor Absoluto

Sumando (2) a la serie:

Respuesta 5 de Valor Absoluto

Ejemplo 06:

Resolver:

Ejemplo 6 de Valor Absoluto

Resolución:

Por el teorema 10:

Resolucion 6 de Valor Absoluto

Sumando (−1):

Resolucion Ejercicio 6 de Valor Absoluto

Dividiendo entre (−4):

Dividiendo Ejemplo 6 de Valor Absoluto

Entonces la respuesta seria:

Respuesta 6 de Valor Absoluto

Ejercicios de Valor Absoluto

En esta sección te compartiremos varios problemas de valor absoluto resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Valor Absoluto

Aquí te compartiremos un documento que contiene 29 problemas resueltos de valor absoluto, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Valor Absoluto

Aquí te compartiremos un documento que contiene 47 problemas del valor absoluto, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Valor Absoluto para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de valor absoluto para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de ecuaciones con valor absoluto para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos un material educativo de teoría de ejercicios de valor absoluto para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

En esta parte te recomendaremos un material educativo de teoría de valor absoluto para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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