RELACIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Relaciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Par Ordenado

Es un conjunto formado por los elementos los cuales se disponen los cuales se disponen en un determinado orden. Si “a” y “b” son los elementos de un par ordenado este se denota así: (a ; b), donde al elemento “a” se le llama primera componente y al elemento “b” segunda componente

Propiedades del Par Ordenado

1.- Dos pares ordenados serán iguales si y solamente si sus elementos respectivos son iguales.

Propiedades del Par Ordenado

2.- Dos pares ordenados serán diferentes si sus primeras componentes o sus segundas componentes son diferentes.

Observación:

En general se tendrá (a ; b) = (b ; a) si y solamente si a = b

Ejemplo:

Encontrar los valores de “x” ∧ “y” sabiendo que:

Ejemplo de Propiedades del Par Ordenado

Resolución:

De acuerdo con la primera propiedad del par ordenado debemos plantear lo siguiente:

Resolucion de Propiedades del Par Ordenado

Es decir el problema consiste en resolver el siguiente sistema:

Proceso de Par Ordenado

Efectuando (I) + (II) tenemos:

Efectuando Ejercicio Par Ordenado

Reemplazando (α) en (I) :

Reemplazando Ejercicio Par Ordenado

Finalmente el valor pedido será:

Respuesta de Propiedades del Par Ordenado

Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B se define el producto cartesiano de A por B denotado así: A x B, como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al primer conjunto A y la segunda componente le pertenece al conjunto B, es decir:

Propiedad de Plano Cartesiano

Ejemplo:

Dados los conjuntos A y B, encontrar los conjuntos A x B B x A

Ejemplo de Plano Cartesiano

Resolución:

Recordando que el conjunto A x B se define así:

Resolucion de Plano Cartesiano

Esta operación se realiza así:

Operacion del Plano Cartesiano

De este modo el conjunto es:

Ejemplo del Plano Cartesiano

El conjunto B x A se define así:

Definicion del Plano Cartesiano

Es decir, luego la operación a realizar es:

Operacion de Plano Cartesiano

Efectuando tendremos:

Resolucion del Plano Cartesiano

Propiedades del Producto Cartesiano:

1. El producto cartesiano de A por B no es conmutativo:

Propiedades del Producto Cartesiano

En particular:

Ejercicio Propiedades del Producto Cartesiano

2. El número de elementos del producto cartesiano de A x B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B, es decir:

Propiedad 2 del Producto Cartesiano

RELACIONES

Relación Binaria

Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina relación binaria de A en B, a todo subconjunto R del conjunto cartesiano A x B, es decir:

Formula de Relacion Binaria

Si R es una relación de A en B, se denota así:

Propiedad de Relacion Binaria

Donde al conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada

Ejemplo:

Dados los conjuntos A y B:

Ejemplo de Relacion Binaria

Determinar la relación A en B, definida por:

Determinacion Ejemplo de Relacion Binaria

Resolución

Hallemos el producto cartesiano :

Resolucion de Relacion Binaria

De este conjunto tomamos por pares (x ; y), de tal manera que se cumpla que x > y:

Proceso de Resolucion de Relacion Binaria

Finalmente la relación R buscada es:

Conclusiones de Relacion Binaria

Observaciones:

Si R es una relación de A en B, se deberá tener en cuenta lo siguiente:

1. Si el elemento (x ; y) pertenece a la relación R, la notación a emplearse será:

Observaciones de Relacion Binaria

Lo cual significa que: “y está relacionado con x por medio de R”

 2. Si el conjunto de partida A es igual al conjunto de llegada B (A = B), se podrá afirmar que R es una relación de A en A, o que, R es una relación en A

Observaciones 2 de Relacion Binaria

3. Si el conjunto: A x B, tiene “n” elementos, entonces el número total de relaciones R de A en B será igual a “2n”.

Dominio y Rango de una Relación

Dominio de un Relación

Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:

Dominio de un Relacion

Rango de un Relación

Es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:

Rango de un Relacion

Ejemplo:

Halle el dominio y el rango de la relación R : A → B, definida por:

Ejemplo Rango de un Relacion

Donde:

Ejercicio Rango de un Relacion

Resolución:

Hallemos el producto cartesiano:

Resolucion Rango de un Relacion

Luego la relación R pedida será:

Procedimiento Rango de un Relacion

Finalmente el dominio y el rango de la relación R según las definiciones establecidas serán:

Dominio Rango de un Relacion

Observación:

Si una relación de A en B, es decir: R : A → B, se cumpliré que:

Observacion Rango de un Relacion

Clases de Relaciones

Siendo R una relación de A en A (Relación en A2), esta podrá ser las siguientes clases:

Relación Reflexiva

Si la relación R es reflexiva, se deberá cumplir que:

Propiedad de Relacion Reflexiva

Relación Simétrica

Si la relación R es simétrica, se deberá cumplir que si:

Propiedad de Relacion Simétrica

Relación Transitiva

Si la relación R es transitiva simétrica, se deberá cumplir que si:

Propiedad de Relacion Transitiva

Relación de Equivalencia

Una relación R se llamara relación de equivalencia si y solamente si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.

Ejemplo:

Dado el conjunto Conjunto de Equivalencia  y la relación:

Ejemplo de Relacion de Equivalencia

Se pide averiguar si R es una relación de equivalencia:

Resolución:

Debemos recordar que si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez; en consecuencia debemos analizar cada una de las clases mencionadas:

Por dato se tiene:

Resolucion de Relacion de Equivalencia

Primero:

Para determinar si es reflexiva, deberá cumplirse que:

Proceso de Relacion de Equivalencia

De los elementos de A y R, podemos notar que:

  • 2 ∈ A ∧ (2 ; 2) ∈ R
  • 4 ∈ A ∧ (4 ; 4) ∈ R
  • 6 ∈ A ∧ (6 ; 6) ∈ R

⇒ Luego la relación R es reflexiva.

Segundo:

Para determinar si es simétrica, deberá cumplirse que:

Proceso 2 de Relacion de Equivalencia

Haciendo una inspección de los 5 elementos de R, podemos notar que:

  • (2 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 2) ∈ R
  • (2 ; 4) ∈ R ∧ (4 ; 2) ∈ R
  • (4 ; 4) ∈ R ∧ (4 ; 4) ∈ R
  • (6 ; 6) ∈ R ∧ (6 ; 6) ∈ R
  • (4 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R

⇒ Luego la relación R es simétrica.

Tercero:

Para determinar si es transitiva, deberá cumplirse que:

Determinacion Tercero de Relacion de Equivalencia

Debemos notar que:

Asimismo, reconocemos que:

Reconociendo la Relacion de Equivalencia

También observamos que:

Observacion Relacion de Equivalencia

De mismo modo observamos que:

Relacion de Equivalencia

⇒ Luego la relación R es transitiva.

Finalmente de acuerdo a la teoría, R es una relación, reflexiva, simétrica y transitiva a la vez, por lo tanto R es de Equivalencia

Relaciones de ℝ en ℝ

Sea R una relación de A en B: R: A→B

Si A y B son subconjuntos del conjunto de los números reales ℝ, se dice, que R es una relación de ℝ en ℝ, es decir R ⊂ ℝ2.

Dominio y Rango de una Relación de en

1.- Dominio

Es el conjunto de valores reales que asume la variable independiente “x” (Primera componente)

2.- Rango

Es el conjunto de valores reales que asume la variable dependiente “y” (Segunda Componente)

Calculo del Dominio y Rango

Sea R una relación de ℝ en ℝ definida mediante una formula (regla de correspondencia) donde el dominio no es conocido, entonces para encontrar el dominio maximal (dominio máximo) de la relación se deberá despejar la variable “y” de la condición dada, el dominio de la relación será el conjunto de valores que pueda tomar la variable “x” de tal modo que “y” sea un número real.

Para encontrar el rango se despeja la variable x de la condición dada, el rango de la relación será el conjunto de valores que pueda tomar la variable “y” de tal modo que “x” sea un número real.

Ejemplo:

Dada la relación R, hallar su dominio y rango.

Formula Calculo del Dominio y Rango

Resolución:

Primero:

Para encontrar el dominio de la relación: Dom(R), despejamos “y” de la formula que define la relación dada:

Formula de Dominio y Rango

Teniendo en cuenta que “y” es un número real, deberá cumplirse que: x – 2 ≠ 0. En consecuencia:

Consecuencia de Dominio y Rango

Segundo:

Ahora hallemos el rango de la relación Ran (R) a partir de la condición dada. Veamos:

Problema 2 de Dominio y Rango

Teniendo en cuenta que “x” es un número real, deberá cumplirse que: y ≠ 0. Luego:

Respuesta 2 de Dominio y Rango

Ejemplos de Relaciones

Ahora veremos algunos ejemplos de relaciones.

Ejemplo 01:

Sean las relaciones  y  definidas en A, calcular el número de elementos del conjunto R1 ∪ R2

Ejemplo 1 de Relaciones

Resolución:

Primeramente hallemos el producto cartesiano A x A:

Relacion 1 de Relaciones

Para encontrar la relación “R1” debemos buscar aquellos pares ordenados (x , y) que cumplan la condición de “x < y”, y obtendremos:

Ejercicio 1 de Relaciones

Ya hora para encontrar los elementos de “R2” debemos también buscar aquellos pares (x , y) que cumplan la condición “x + y = 5”, y obtendremos:

Problema 1 de Relaciones

Luego hallamos R1 ∪ R2:

Hallamos Problema 1 de Relaciones

Luego nos piden que hallemos el número de elementos de R1 ∪ R2:

Respuesta 1 de Relaciones

Ejemplo 02:

En el siguiente cuadro de doble entrada, donde:

Ejemplo 2 de Relaciones

Indica porque puntos está conformada la siguiente relación:

Relacion 2 de Relaciones

Resolución:

Luego de calcular el producto cartesiano, tenemos que buscar pares ordenados (x , y) que cumplan la condición y = x + 2, y luego de este proceso como resultado obtendremos:

Solucion 2 de Relaciones

Finalmente apoyándonos de la tabla de doble entrada:

Tabla Doble 2 de Relaciones

Ejemplo 03:

Dada la relación R, indicar su dominio:

Ejemplo 3 de Relaciones

Resolución:

Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “y” de la condición:

Resolucion 3 de Relaciones

Agrupando y transponiendo:

Agrupacion 3 de Relaciones

Factorizando en el primer miembro:

Problema 3 de Relaciones

De este último para que “y” sea un número real, debe de suceder lo siguiente:

Ejercicio 3 de Relaciones

Finalmente:

Respuesta 3 de Relaciones

Ejemplo 04:

El rango de la relación es:

Ejemplo 4 de Relaciones

Resolución:

Recordemos que para el rango debemos despejar la variable “x”, de la condición:

Resolucion 4 de Relaciones

Transponiendo términos y despejando la variable “x”:

Conclusion 4 de Relaciones

Ahora para que “x” sea un número real, se cumple que:

Numero 4 de Relaciones

Finalmente el rango será:

Respuesta 4 de Relaciones

Ejemplo 05:

Dada la relación R, indicar su dominio:

Ejemplo 5 de Relaciones

Resolución:

Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “y” de condición:

Solucion 5 de Relaciones

Transponiendo términos y despejando la variable “y”:

Transponiendo 5 de Relaciones

Ahora para que “x” sea un número real, se cumple que:

Numeral 5 de Relaciones

Resolvamos esta inecuación de segundo:

Inecuacion 5 de Relaciones

Resolviendo por el método de los puntos críticos:

Resolviendo 5 de Relaciones

Nos piden el dominio, entonces:

Respuesta 5 de Relaciones

Ejemplo 06:

El rango de la relación es:

Ejemplo 6 de Relaciones

Resolución:

Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “x” de condición:

Resolucion 6 de Relaciones

Para despejar será necesario completar a cuadrados el segundo miembro:

Cuadros del Ejercicio 6 de Relaciones

Reduciendo y despejando:

Reduciendo y Despejando Ejercicio 6 de Relaciones

Luego para que “x” sea un número real, se cumple que:

Numero Real Ejercicio 6 de Relaciones

Finalmente el rango será:

Respuesta 6 de Relaciones

Ejemplo 07:

Dadas las relaciones R1 y R2, hallar el Dom(R1) ∩ Ran (R2):

Ejemplo 7 de Relaciones

Resolución:

Calculando el dominio la relación “R1”:

Resolucion 7 de Relaciones

Entonces: Dom(R1) = x ∈ ℝ

Ahora calculemos el rango de “R2

Calculando 7 de Relaciones

Entonces en rango de “R2” será:

Rango Ejercicio 7 de Relaciones

Luego nos pide que hallemos “Dom(R1) ∩ Ran (R2)” entonces tenemos:

Respuesta 7 de Relaciones

Ejercicios de Relaciones

En esta sección te compartiremos varios problemas de relaciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Relaciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 22 problemas resueltos de relaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Relaciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 8 problemas del relaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

 

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ecuaciones de Segundo Grado para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de relaciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

El enlace que te compartiremos a continuación corresponde al tema de dominio y rango de las relaciones para 2do grado de secundaria, esperamos que sea de mucha ayuda:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos un enlace que corresponde a un material educativo relacionado con el tema de relaciones para 3er grado de secundaria:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de relaciones y funciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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