Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Relaciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Par Ordenado
Es un conjunto formado por los elementos los cuales se disponen los cuales se disponen en un determinado orden. Si “a” y “b” son los elementos de un par ordenado este se denota así: (a ; b), donde al elemento “a” se le llama primera componente y al elemento “b” segunda componente
Propiedades del Par Ordenado
1.- Dos pares ordenados serán iguales si y solamente si sus elementos respectivos son iguales.
2.- Dos pares ordenados serán diferentes si sus primeras componentes o sus segundas componentes son diferentes.
Observación:
En general se tendrá (a ; b) = (b ; a) si y solamente si a = b
Ejemplo:
Encontrar los valores de “x” ∧ “y” sabiendo que:
Resolución:
De acuerdo con la primera propiedad del par ordenado debemos plantear lo siguiente:
Es decir el problema consiste en resolver el siguiente sistema:
Efectuando (I) + (II) tenemos:
Reemplazando (α) en (I) :
Finalmente el valor pedido será:
Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B se define el producto cartesiano de A por B denotado así: A x B, como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al primer conjunto A y la segunda componente le pertenece al conjunto B, es decir:
Ejemplo:
Dados los conjuntos A y B, encontrar los conjuntos A x B ∧ B x A
Resolución:
Recordando que el conjunto A x B se define así:
Esta operación se realiza así:
De este modo el conjunto es:
El conjunto B x A se define así:
Es decir, luego la operación a realizar es:
Efectuando tendremos:
Propiedades del Producto Cartesiano:
1. El producto cartesiano de A por B no es conmutativo:
En particular:
2. El número de elementos del producto cartesiano de A x B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B, es decir:
RELACIONES
Relación Binaria
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina relación binaria de A en B, a todo subconjunto R del conjunto cartesiano A x B, es decir:
Si R es una relación de A en B, se denota así:
Donde al conjunto A se denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada
Ejemplo:
Dados los conjuntos A y B:
Determinar la relación A en B, definida por:
Resolución
Hallemos el producto cartesiano :
De este conjunto tomamos por pares (x ; y), de tal manera que se cumpla que x > y:
Finalmente la relación R buscada es:
Observaciones:
Si R es una relación de A en B, se deberá tener en cuenta lo siguiente:
1. Si el elemento (x ; y) pertenece a la relación R, la notación a emplearse será:
Lo cual significa que: “y está relacionado con x por medio de R”
2. Si el conjunto de partida A es igual al conjunto de llegada B (A = B), se podrá afirmar que R es una relación de A en A, o que, R es una relación en A
3. Si el conjunto: A x B, tiene “n” elementos, entonces el número total de relaciones R de A en B será igual a “2n”.
Dominio y Rango de una Relación
Dominio de un Relación
Es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:
Rango de un Relación
Es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación, es decir:
Ejemplo:
Halle el dominio y el rango de la relación R : A → B, definida por:
Donde:
Resolución:
Hallemos el producto cartesiano:
Luego la relación R pedida será:
Finalmente el dominio y el rango de la relación R según las definiciones establecidas serán:
Observación:
Si una relación de A en B, es decir: R : A → B, se cumpliré que:
Clases de Relaciones
Siendo R una relación de A en A (Relación en A2), esta podrá ser las siguientes clases:
Relación Reflexiva
Si la relación R es reflexiva, se deberá cumplir que:
Relación Simétrica
Si la relación R es simétrica, se deberá cumplir que si:
Relación Transitiva
Si la relación R es transitiva simétrica, se deberá cumplir que si:
Relación de Equivalencia
Una relación R se llamara relación de equivalencia si y solamente si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Ejemplo:
Dado el conjunto y la relación:
Se pide averiguar si R es una relación de equivalencia:
Resolución:
Debemos recordar que si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez; en consecuencia debemos analizar cada una de las clases mencionadas:
Por dato se tiene:
Primero:
Para determinar si es reflexiva, deberá cumplirse que:
De los elementos de A y R, podemos notar que:
- 2 ∈ A ∧ (2 ; 2) ∈ R
- 4 ∈ A ∧ (4 ; 4) ∈ R
- 6 ∈ A ∧ (6 ; 6) ∈ R
⇒ Luego la relación R es reflexiva.
Segundo:
Para determinar si es simétrica, deberá cumplirse que:
Haciendo una inspección de los 5 elementos de R, podemos notar que:
- (2 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 2) ∈ R
- (2 ; 4) ∈ R ∧ (4 ; 2) ∈ R
- (4 ; 4) ∈ R ∧ (4 ; 4) ∈ R
- (6 ; 6) ∈ R ∧ (6 ; 6) ∈ R
- (4 ; 2) ∈ R ∧ (2 ; 4) ∈ R
⇒ Luego la relación R es simétrica.
Tercero:
Para determinar si es transitiva, deberá cumplirse que:
Debemos notar que:
Asimismo, reconocemos que:
También observamos que:
De mismo modo observamos que:
⇒ Luego la relación R es transitiva.
Finalmente de acuerdo a la teoría, R es una relación, reflexiva, simétrica y transitiva a la vez, por lo tanto R es de Equivalencia
Relaciones de ℝ en ℝ
Sea R una relación de A en B: R: A→B
Si A y B son subconjuntos del conjunto de los números reales ℝ, se dice, que R es una relación de ℝ en ℝ, es decir R ⊂ ℝ2.
Dominio y Rango de una Relación de ℝ en ℝ
1.- Dominio
Es el conjunto de valores reales que asume la variable independiente “x” (Primera componente)
2.- Rango
Es el conjunto de valores reales que asume la variable dependiente “y” (Segunda Componente)
Calculo del Dominio y Rango
Sea R una relación de ℝ en ℝ definida mediante una formula (regla de correspondencia) donde el dominio no es conocido, entonces para encontrar el dominio maximal (dominio máximo) de la relación se deberá despejar la variable “y” de la condición dada, el dominio de la relación será el conjunto de valores que pueda tomar la variable “x” de tal modo que “y” sea un número real.
Para encontrar el rango se despeja la variable x de la condición dada, el rango de la relación será el conjunto de valores que pueda tomar la variable “y” de tal modo que “x” sea un número real.
Ejemplo:
Dada la relación R, hallar su dominio y rango.
Resolución:
Primero:
Para encontrar el dominio de la relación: Dom(R), despejamos “y” de la formula que define la relación dada:
Teniendo en cuenta que “y” es un número real, deberá cumplirse que: x – 2 ≠ 0. En consecuencia:
Segundo:
Ahora hallemos el rango de la relación Ran (R) a partir de la condición dada. Veamos:
Teniendo en cuenta que “x” es un número real, deberá cumplirse que: y ≠ 0. Luego:
Ejemplos de Relaciones
Ahora veremos algunos ejemplos de relaciones.
Ejemplo 01:
Sean las relaciones y definidas en A, calcular el número de elementos del conjunto R1 ∪ R2
Resolución:
Primeramente hallemos el producto cartesiano A x A:
Para encontrar la relación “R1” debemos buscar aquellos pares ordenados (x , y) que cumplan la condición de “x < y”, y obtendremos:
Ya hora para encontrar los elementos de “R2” debemos también buscar aquellos pares (x , y) que cumplan la condición “x + y = 5”, y obtendremos:
Luego hallamos R1 ∪ R2:
Luego nos piden que hallemos el número de elementos de R1 ∪ R2:
Ejemplo 02:
En el siguiente cuadro de doble entrada, donde:
Indica porque puntos está conformada la siguiente relación:
Resolución:
Luego de calcular el producto cartesiano, tenemos que buscar pares ordenados (x , y) que cumplan la condición y = x + 2, y luego de este proceso como resultado obtendremos:
Finalmente apoyándonos de la tabla de doble entrada:
Ejemplo 03:
Dada la relación R, indicar su dominio:
Resolución:
Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “y” de la condición:
Agrupando y transponiendo:
Factorizando en el primer miembro:
De este último para que “y” sea un número real, debe de suceder lo siguiente:
Finalmente:
Ejemplo 04:
El rango de la relación es:
Resolución:
Recordemos que para el rango debemos despejar la variable “x”, de la condición:
Transponiendo términos y despejando la variable “x”:
Ahora para que “x” sea un número real, se cumple que:
Finalmente el rango será:
Ejemplo 05:
Dada la relación R, indicar su dominio:
Resolución:
Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “y” de condición:
Transponiendo términos y despejando la variable “y”:
Ahora para que “x” sea un número real, se cumple que:
Resolvamos esta inecuación de segundo:
Resolviendo por el método de los puntos críticos:
Nos piden el dominio, entonces:
Ejemplo 06:
El rango de la relación es:
Resolución:
Recordemos que para hallar el dominio debemos despejar “x” de condición:
Para despejar será necesario completar a cuadrados el segundo miembro:
Reduciendo y despejando:
Luego para que “x” sea un número real, se cumple que:
Finalmente el rango será:
Ejemplo 07:
Dadas las relaciones R1 y R2, hallar el Dom(R1) ∩ Ran (R2):
Resolución:
Calculando el dominio la relación “R1”:
Entonces: Dom(R1) = x ∈ ℝ
Ahora calculemos el rango de “R2”
Entonces en rango de “R2” será:
Luego nos pide que hallemos “Dom(R1) ∩ Ran (R2)” entonces tenemos:
Ejercicios de Relaciones
En esta sección te compartiremos varios problemas de relaciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Relaciones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 22 problemas resueltos de relaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Relaciones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 8 problemas del relaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ecuaciones de Segundo Grado para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de relaciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
El enlace que te compartiremos a continuación corresponde al tema de dominio y rango de las relaciones para 2do grado de secundaria, esperamos que sea de mucha ayuda:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un enlace que corresponde a un material educativo relacionado con el tema de relaciones para 3er grado de secundaria:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de teoría de relaciones y funciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación: