Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de logaritmos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Teorema de Existencia y Unicidad del Logaritmo
Para todo par de números reales “a” y “x” tales que a > 0 ; a ≠ 1 y x > 0, existe un único número real que cumple ay = x.
Ejemplo:
Si: a = 3 y x = 81 ⇒ ∃! y = 4/34 = 81
Definición de Logaritmo
Dado un número real a > 0 y a ≠ 0, el logaritmo de un número x > 0 en la base “a”, es el exponente “y” al que debe elevarse “a”, de manera que se cumpla que ay = x.
Notación:
Se lee: “y” es el logaritmo de x en base “a”. De la definición se tiene:
Ejemplos:
Tengamos en cuenta lo siguiente:
Identidad Fundamental del Logaritmo
Usando definición de:
Tenemos que:
Reemplazando (α) en (β) obtenemos la identidad fundamental.
Ejemplos:
Puesto que la base es negativa.
Propiedades sobre Logaritmos
Si los logaritmos existen en ℝ, entonces se cumplen los siguientes teoremas:
Propiedad 01:
Demostración:
Demostraremos esta propiedad de dos formas.
a) Por definición:
Si:
- Logax = m entonces am = x
- Logay = n entonces an = y
Multiplicando ambas igualdades obtenemos:
Por definición de logaritmos tenemos que:
b) Por identidad fundamental:
Ejemplos:
Propiedad 02:
Demostración:
Si:
Entonces:
Por definición:
Consecuencias:
Ejemplos:
Nota:
Propiedad 03:
Demostración:
Aplicando las propiedades demostradas anteriormente:
Ejemplos:
Propiedad 04:
Cambio de base
Demostración:
Por la identidad fundamental.
Consecuencias:
a) Si tenemos lo siguiente
Entonces:
O también:
b) Regla de la Cadena
En general:
Ejemplos:
c) Regla del Intercambio
Demostración:
Ejemplos:
Logaritmos Decimales
En las épocas en las cuales no se conocían las calculadoras, el uso de los logaritmos decimales era muy útil para realizar operaciones aritméticas engorrosas.
A continuación, haremos una explicación detallada de los componentes de un logaritmo decimal y como se calcula cada uno de ellos. En las matemáticas se acostumbra representar todo numero positivo “x” bajo la forma.
Tomando logaritmo tenemos:
Por lo tanto:
Denominaremos:
Es decir:
La mantisa es siempre un número comprendido entre 0 y 1, pudiendo ser igual a cero, pero no igual a 1. La mantisa nunca es negativa.
La característica es un número entero, es decir puede ser positivo, negativo o cero.
Cálculo de la Característica
La característica depende únicamente de la posición de la coma decimal.
Determinemos la característica de los logaritmos de los siguientes números positivos:
Es decir, debemos expresar el número “x” así:
Se observa que la coma decimal debe ubicarse inmediatamente después del primer número diferente de cero:
En general:
Ejemplo:
Cálculo de la Mantisa
Hemos mostrado cómo determinar la característica del logaritmo en un número. Sin embargo, encontrar las mantisas nos es tan sencillo.
Los métodos desarrollados en matemáticas superiores permiten el cálculo de una mantisa hasta el número deseado de cifras decimales. Las mantisas correspondientes a muchos números han sido calculadas y arregladas en forma de tabla (tabla de logaritmos o tabla de mantisas). Puesto que la mayoría de las mantisas son decimales ilimitados; se dan sus valores solo aproximadamente.
Dado log5,82 = 0,7649, escribir el logaritmo de 58,2 y 58200.
Las mantisas de los logaritmos de todos estos números son iguales a la mantisa dada, la diferencia está en la característica.
La característica puede combinarse con la mantisa para producir una sola cantidad.
Ejemplo:
Sin embargo, es preferible expresar un logaritmo con las partes decimales positivos, por ello escribimos
Propiedad:
Sea “n” número positivo mayor que uno (N > 1) el número de cifras en su parte entera viene dado por la característica de su logaritmo aumentado en la unidad.
Ejemplo:
Determinar el número de cifras de
Resolución:
Tomando logaritmo decimal.
Utilizando una tabla de logaritmos o una calculadora.
Por lo tanto el número de cifras de N = 20 + 1 = 21
Logaritmos Neperianos
A mediados del siglo diecisiete (1647), el padre jesuita belga Gregory Saint Vincent y su amigo A.A. de Sarasa reconocieron que el área bajo la hipérbola y = 1/x se comporta como un logaritmo.
En 1660, Newton y Leibniz lo ratificaron.
Este teorema quiere decir que, entre las funciones monótonas inyectivas de f: ℝ+ → ℝ, solamente las funciones logarítmicas tienen la propiedad de transformar productos en sumandos.
Definamos una función f: ℝ+ → ℝ con f(x) = A1x (área de 1 a x.)
El área bajo la curva cumple las siguientes propiedades.
Se observa que:
Al utilizar la anterior propiedad tenemos.
Como f(x) = A1x, entonces:
Utilizando el teorema de caracterización de las dos funciones logarítmicas, existe un número real positivo que llamaremos e ≈ 2,718281828459, tal que:
Notación:
Hemos observado entonces denotado Lnx en vez de logexy, llamaremos al número Lnx logaritmo natural de x. Esto quiere decir que Lnx es el área bajo la curva y=1/x desde 1 hasta x.
Ejemplo:
Demostrar que:
Resolución
Utilicemos la curva y = 1/x
De esta grafica podemos establecer la siguiente relación:
Entonces:
Haciendo:
Sabemos que:
Al aplicar el teorema de Sándwich concluimos que:
Antilogaritmo
Se define como la operación inversa a la logaritmación.
Propiedades:
Sea: x > 0 ; b > 0 y b ≠ 1
Ejemplos:
Cologaritmo
Se define como el logaritmo en base “b” del inverso multiplicativo de un número “x”.
Ejemplos:
Función Exponencial y Logarítmica
Estas funciones se denominan trascendentes y se caracterizan por una inversa de la otra.
Función Exponencial o Función Antilogarítmica
Si “a” es un número real positivo diferente de uno (a ∈ ℝ+ ; a ≠ 1), entonces la función f: ℝ →ℝ, definida por f(x) = ax ; Dom(f) = ℝ y Ran(f) = 〈0 ; + ∞ 〉 o también por:
Es la función exponencial o antilogaritmo de base “a”.
Gráfica:
Cuando:
Se puede observar lo siguiente:
- Dom(f) = ℝ y Ran(f) = ℝ+ = 〈0 ; + ∞ 〉
- En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(f) (en todo su dominio); la función y = ax es positiva para todo valor de «x».
- Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa.
En una función continua, ∀ x ∈ Dom(f)
Cuando: 0 < a < 1 → y = f(x) = ax
Se puede observar lo siguiente:
- Dom(f) = ℝ ∧ Ran(f) = ℝ+ = 〈0 ; + ∞ 〉
- En una función decreciente: ∀ x ∈ Dom(f) (en todo su dominio); la función y =ax es positiva para todo valor de «x».
- Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa.
- En un función continua, ∀ x ∈ Dom(f)
Función Logarítmica
Denotamos la inversa de la función exponencial Ea por loga y llamamos función logarítmica con base “a” (a > 0 ; a ≠ 1)
O también f: 〈0 ; + ∞ 〉 → ℝ, tal que:
Donde:
Gráfica:
Cuando: a > 1
Se puede observar lo siguiente:
- En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(f)
- Corta al eje x, en el punto (1 ; 0)
- No corta al eje «y».
Cuando 0 < a < 1
- En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(exp)
- Corta al eje x, en el punto (1 ; 0)
- No corta al eje «y».
Ejemplos de Logaritmos
Ahora veremos algunos ejemplos de logaritmos.
Ejemplo 01:
El valor de “b” que satisface la igualdad:
Resolución:
Aplicando definición tenemos:
Ejemplo 02
Hallar el valor de “x” en:
Resolución:
Como tienen la misma base y es una suma, podemos el primer miembro llevarlo a producto:
Aplicando definición:
Operando:
Observemos que tenemos dos valores para “x”, para elegir cual o cuales son las soluciones nosotros debemos reemplazar estos valores en la ecuación inicial, y realizando este proceso llegamos a la conclusión de que:
Ejemplo 03:
Resolver e indicar el producto de las raíces:
Resolución:
Este tipo de logaritmos se denomina logaritmos neperianos; lo cual indica que están en base “e”.
Recuerda siempre que todas las propiedades de logaritmos decimales, también se en los logaritmos neperianos.
Aplicando propiedades tenemos:
Entonces tenemos:
Finalmente:
Ejemplo 04:
Hallar “x” en la ecuación:
Resolución:
Propiedad:
En la ecuación dada:
Transformando el primer miembro:
Eliminando logaritmos, tenemos:
Entonces tenemos los valores de “x”:
Ejemplo 05:
Calcular el valor de “x”:
Resolución:
Recuerda:
Entonces:
Ejemplo 06:
Hallar un número tal que el doble de su logaritmo en base 10 exceda en una unidad al logaritmo en base 10 de dicho número aumentado en 11/10.
Resolución:
Planteando la ecuación, sea: “N” el número buscado:
Luego empecemos a resolver:
Llevando a cociente:
Entonces tenemos:
Los valores de “N” serán:
Ejemplo 07:
Simplificar:
Resolución:
Reduciendo con las propiedades ya conocidas:
Recordemos la propiedad:
Entonces:
Ejercicios de Logaritmos
En esta sección te compartiremos varios problemas de logaritmos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Logaritmos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 27 problemas resueltos de logaritmos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Logaritmos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 85 problemas del logaritmos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Logaritmos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de logaritmos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
En esta sección te compartiremos varios enlaces que corresponden a materiales educativos relacionados con el tema de logaritmos para 2do grado de secundaria:
- Ficha 01 – Identidad Fundamental del Logaritmo
- Ficha 02- Logaritmo de un Producto y de un Cociente
- Ficha 03 – Regla de la Cadena de Logaritmos
- Ficha 04 – Ecuaciones con Logaritmos
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Ahora te brindaremos otros enlaces que corresponden a recursos educativos relacionados con el tema de logaritmos para 3er grado de secundaria, esperamos que te sea de utilidad:
- Ficha 01 – Identidad Fundamental del Logaritmo
- Ficha 02 – Propiedades de los Logaritmos
- Ficha 03 – Ecuaciones Logarítmicas
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora observaras otros enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de logaritmos para 4to grado de secundaria, esperamos que te sea de utilidad:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Para finalizar te compartiremos 3 enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de logaritmos para 5to grado de secundaria, esperamos que te sirva:
- Ficha 01 – Logaritmos
- Ficha 02 – Ecuaciones Logarítmicas
- Ficha 03 – Función Exponencial y Logarítmica