LOGARITMOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de logaritmos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Teorema de Existencia y Unicidad del Logaritmo

Para todo par de números reales “a” y “x” tales que a > 0 ; a ≠ 1 y x > 0, existe un único número real que cumple ay = x.

Ejemplo:

Si: a = 3  y  x = 81 ⇒ ∃!  y = 4/34 = 81

Definición de Logaritmo

Dado un número real a > 0  y  a ≠ 0, el logaritmo de un número x > 0 en la base “a”, es el exponente “y” al que debe elevarse “a”, de manera que se cumpla que ay = x.

Notación:

Notación de Logaritmo

Se lee: “y” es el logaritmo de x en base “a”. De la definición se tiene:

Propiedad Notación de Logaritmo

Ejemplos:

Ejemplo Propiedad Notación de Logaritmo

Tengamos en cuenta lo siguiente:

Ejecutando Propiedad Notación de Logaritmo

Identidad Fundamental del Logaritmo

Usando definición de:

Identidad Fundamental del Logaritmo

Tenemos que:

Ejercicio Identidad Fundamental del Logaritmo

Reemplazando (α) en (β) obtenemos la identidad fundamental.

Identidad Fundamental

Ejemplos:

Ejemplo Identidad Fundamental

Puesto que la base es negativa.

Propiedades sobre Logaritmos

Si los logaritmos existen en ℝ, entonces se cumplen los siguientes teoremas:

Propiedad 01:

Propiedades sobre Logaritmos

Demostración:

Demostraremos esta propiedad de dos formas.

a) Por definición:

Si:

  • Logax = m   entonces  am = x
  • Logay = n    entonces  an = y

Multiplicando ambas igualdades obtenemos:

Multiplicacion sobre Logaritmos

Por definición de logaritmos tenemos que:

Definicion de Logaritmos

b) Por identidad fundamental:

Propiedad de Identidad Fundamental

Ejemplos:

Ejemplo de Propiedad de Identidad Fundamental

Propiedad 02:

Propiedad 2 Teorema de Identidad Fundamental

Demostración:

Si:

Teorema 1 Demostracion

Entonces:

Formula Teorema 1 Demostracion

Por definición:

Definicion Teorema

Consecuencias:

Consecuencias Teorema

Ejemplos:

Ejemplo Teorema

Nota:

Nota Propiedad 2

Nota Propiedad Ejercicio

Propiedad 03:

Propiedad 3 Teorema

Demostración:

Aplicando las propiedades demostradas anteriormente:

Demostracion de Propiedad 3 Teorema

Ejemplos:

Ejemplo de Propiedad 3 Teorema

Propiedad 04:

Cambio de base

Propiedad 4 Teorema

Demostración:

Por la identidad fundamental.

Demostracion de Propiedad 4 Teorema

Consecuencias:

a) Si tenemos lo siguiente

Consecuencias de Propiedad 4 Teorema

Entonces:

Consecuencias Ejemplo de Propiedad 4 Teorema

O también:

Consecuencias Ejercicio de Propiedad 4 Teorema

b) Regla de la Cadena

Regla de la Cadena

En general:

Formula de Regla de la Cadena

Ejemplos:

Ejemplo Regla de la Cadena

c) Regla del Intercambio

Regla del Intercambio

Demostración:

Demostracion Regla del Intercambio

Ejemplos:

Ejemplo de Regla del Intercambio

Logaritmos Decimales

En las épocas en las cuales no se conocían las calculadoras, el uso de los logaritmos decimales era muy útil para realizar operaciones aritméticas engorrosas.

A continuación, haremos una explicación detallada de los componentes de un logaritmo decimal y como se calcula cada uno de ellos. En las matemáticas se acostumbra representar todo numero positivo “x” bajo la forma.

Logaritmos Decimales

Tomando logaritmo tenemos:

Formula Logaritmos Decimales

Por lo tanto:

Proceso Logaritmos Decimales

Denominaremos:

Denominacion de Logaritmos Decimales

Es decir:

Caracteristicas de Logaritmos Decimales

La mantisa es siempre un número comprendido entre 0 y 1, pudiendo ser igual a cero, pero no igual a 1. La mantisa nunca es negativa.

La característica es un número entero, es decir puede ser positivo, negativo o cero.

Cálculo de la Característica

La característica depende únicamente de la posición de la coma decimal.

Determinemos la característica de los logaritmos de los siguientes números positivos:

Calculo de las Caracteristicas

 

Es decir, debemos expresar el número “x” así:

Expresion Calculo de las Caracteristicas

Se observa que la coma decimal debe ubicarse inmediatamente después del primer número diferente de cero:

En general:

Diferencia de Calculo de las Caracteristicas

Ejemplo:

Ejemplo de Calculo de las Caracteristicas

Cálculo de la Mantisa

Hemos mostrado cómo determinar la característica del logaritmo en un número. Sin embargo, encontrar las mantisas nos es tan sencillo.

Los métodos desarrollados en matemáticas superiores permiten el cálculo de una mantisa hasta el número deseado de cifras decimales. Las mantisas correspondientes a muchos números han sido calculadas y arregladas en forma de tabla (tabla de logaritmos o tabla de mantisas). Puesto que la mayoría de las mantisas son decimales ilimitados; se dan sus valores solo aproximadamente.

Dado log5,82 = 0,7649, escribir el logaritmo de 58,2 y 58200.

Las mantisas de los logaritmos de todos estos números son iguales a la mantisa dada, la diferencia está en la característica.

Cálculo de la Mantisa

La característica puede combinarse con la mantisa para producir una sola cantidad.

Ejemplo:

Ejemplo Cálculo de la Mantisa

Sin embargo, es preferible expresar un logaritmo con las partes decimales positivos, por ello escribimos

Expresiones Cálculo de la Mantisa

Propiedad:

Sea “n” número positivo mayor que uno (N > 1) el número de cifras en su parte entera viene dado por la característica de su logaritmo aumentado en la unidad.

Propiedad Cálculo de la Mantisa

Ejemplo:

Determinar el número de cifras de

Ejercicio Cálculo de la Mantisa

Resolución:

Tomando logaritmo decimal.

Resolucion Cálculo de la Mantisa

Utilizando una tabla de logaritmos o una calculadora.

Logaritmos Cálculo de la Mantisa

Por lo tanto el número de cifras de N = 20 + 1 = 21

Logaritmos Neperianos

A mediados del siglo diecisiete (1647), el padre jesuita belga Gregory Saint Vincent y su amigo A.A. de Sarasa reconocieron que el área bajo la hipérbola y = 1/x se comporta como un logaritmo.

En 1660, Newton y Leibniz lo ratificaron.

Logaritmos Neperianos

Este teorema quiere decir que, entre las funciones monótonas inyectivas de f: ℝ+ → ℝ, solamente las funciones logarítmicas tienen la propiedad de transformar productos en sumandos.

Definamos una función f: ℝ+ → ℝ con f(x) = A1x (área de 1 a x.)

Teorema 1 Logaritmos Neperianos

El área bajo la curva cumple las siguientes propiedades.

Propiedades 1 Logaritmos Neperianos

Se observa que:

Resolucion 1 Logaritmos Neperianos

Al utilizar la anterior propiedad tenemos.

Propiedad 1 Logaritmos Neperianos

Como f(x) = A1x, entonces:

Formula 1 Logaritmos Neperianos

Utilizando el teorema de caracterización de las dos funciones logarítmicas, existe un número real positivo que llamaremos e ≈ 2,718281828459, tal que:

Funciones Logaritmicas

Notación:

Notacion Funciones Logaritmicas

Hemos observado entonces denotado Lnx en vez de logexy, llamaremos al número Lnx logaritmo natural de x. Esto quiere decir que Lnx es el área bajo la curva y=1/x desde 1 hasta x.

Representacion Notacion Funciones Logaritmicas

Ejemplo:

Demostrar que:

Ejemplo Funciones Logaritmicas

Resolución

Utilicemos la curva y = 1/x

Resolucion Funciones Logaritmicas

De esta grafica podemos establecer la siguiente relación:

Relacion Funciones Logaritmicas

Entonces:

Proceso Funciones Logaritmicas

Haciendo:

Resolviendo Funciones Logaritmicas

Sabemos que:

Conclusiones Funciones Logaritmicas

Al aplicar el teorema de Sándwich concluimos que:

Teorema de Sándwich

Antilogaritmo

Se define como la operación inversa a la logaritmación.

Antilogaritmo

Propiedades:

Sea: x > 0  ;  b > 0  y  b ≠  1

Propiedades de Antilogaritmo

Ejemplos:

Ejemplo Propiedades de Antilogaritmo

Cologaritmo

Se define como el logaritmo en base “b” del inverso multiplicativo de un número “x”.

Cologaritmo

Ejemplos:

Ejemplo Cologaritmo

Función Exponencial y Logarítmica

Estas funciones se denominan trascendentes y se caracterizan por una inversa de la otra.

Función Exponencial o Función Antilogarítmica

Si “a” es un número real positivo diferente de uno (a ∈ ℝ+ ; a ≠ 1), entonces la función f: ℝ →ℝ, definida por f(x) = ax ; Dom(f) = ℝ  y Ran(f) = 〈0 ; + ∞ 〉  o también por:

Función Exponencial o Función Antilogarítmica

Es la función exponencial o antilogaritmo de base “a”.

Gráfica:

Cuando:

Grafica Exponencial o Función Antilogarítmica

Se puede observar lo siguiente:

  • Dom(f) = ℝ  y Ran(f) = ℝ+ = 〈0 ; + ∞ 〉
  • En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(f) (en todo su dominio); la función y = ax es positiva para todo valor de “x”.
  • Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa.

En una función continua, ∀ x ∈ Dom(f)

Formato Exponencial o Función Antilogarítmica

Cuando: 0 < a < 1  →  y = f(x) = ax

Formula Exponencial o Función Antilogarítmica

Se puede observar lo siguiente:

  • Dom(f) = ℝ ∧ Ran(f) = ℝ+ = 〈0 ; + ∞ 〉
  • En una función decreciente: ∀ x ∈ Dom(f) (en todo su dominio); la función y =ax es positiva para todo valor de “x”.
  • Es una función inyectiva, y por consiguiente posee inversa.
  • En un función continua, ∀ x ∈ Dom(f)

Funcion Exponencial o Función Antilogarítmica

Función Logarítmica

Denotamos la inversa de la función exponencial Ea por loga y llamamos función logarítmica con base “a” (a > 0 ; a ≠ 1)

Función Logarítmica

O también f: 〈0 ; + ∞ 〉 → ℝ, tal que:

Representacion Función Logarítmica

Donde:

Formulación Función Logarítmica

Gráfica:

Cuando: a > 1

Representacion Grafica Función Logarítmica

Se puede observar lo siguiente:

  • En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(f)
  • Corta al eje x, en el punto (1 ; 0)
  • No corta al eje “y”.

Cuando 0 < a < 1

Grafica Función Logarítmica

  • En una función creciente: ∀ x ∈ Dom(exp)
  • Corta al eje x, en el punto (1 ; 0)
  • No corta al eje “y”.

Ejemplos de Logaritmos

Ahora veremos algunos ejemplos de logaritmos.

Ejemplo 01:

El valor de “b” que satisface la igualdad:

Ejemplo 1 de Logaritmos

Resolución:

Aplicando definición tenemos:

Resolucion 1 de Logaritmos

Ejemplo 02

Hallar el valor de “x” en:

Ejemplo 2 de Logaritmos

Resolución:

Como tienen la misma base y es una suma, podemos el primer miembro llevarlo a producto:

Resolucion 2 de Logaritmos

Aplicando definición:

Aplicacion 2 de Logaritmos

Operando:

Proceso 2 de Logaritmos

Observemos que tenemos dos valores para “x”, para elegir cual o cuales son las soluciones nosotros debemos reemplazar estos valores en la ecuación inicial, y realizando este proceso llegamos a la conclusión de que:

Respuesta 1 de Logaritmos

Ejemplo 03:

Resolver e indicar el producto de las raíces:

Ejemplo 3 de Logaritmos

Resolución:

Este tipo de logaritmos se denomina logaritmos neperianos; lo cual indica que están en base “e”.

Recuerda siempre que todas las propiedades de logaritmos decimales, también se en los logaritmos neperianos.

Respuesta 3 de Logaritmos

Aplicando propiedades tenemos:

Propiedades 3 de Logaritmos

Entonces tenemos:

Conclusiones 3 de Logaritmos

Finalmente:

Conclusion 3 de Logaritmos

Ejemplo 04:

Hallar “x” en la ecuación:

Ejemplo 4 de Logaritmos

Resolución:

Propiedad:

Resolucion 4 de Logaritmos

En la ecuación dada:

Ecuacion Resolucion 4 de Logaritmos

Transformando el primer miembro:

Transformando 4 de Logaritmos

Eliminando logaritmos, tenemos:

Logaritmo 4 de Logaritmos

Entonces tenemos los valores de “x”:

Respuesta 4 de Logaritmos

Ejemplo 05:

Calcular el valor de “x”:

Ejemplo 5 de Logaritmos

Resolución:

Recuerda:

Resolucion 5 de Logaritmos

Entonces:

Respuesta 5 de Logaritmos

Ejemplo 06:

Hallar un número tal que el doble de su logaritmo en base 10 exceda en una unidad al logaritmo en base 10 de dicho número aumentado en 11/10.

Resolución:

Planteando la ecuación, sea: “N” el número buscado:

Ejemplo 6 de Logaritmo

Luego empecemos a resolver:

Proceso 6 de Logaritmo

Llevando a cociente:

Cociente 6 de Logaritmo

Entonces tenemos:

Resolucion 6 de Logaritmo

Los valores de “N” serán:

Respuesta 6 de Logaritmos

Ejemplo 07:

Simplificar:

Ejemplo 7 de Logaritmo

Resolución:

Reduciendo con las propiedades ya conocidas:

Resolucion 7 de Logaritmo

Recordemos la propiedad:

Propiedad 7 de Logaritmo

Entonces:

Respuesta 7 de Logaritmo

Ejercicios de Logaritmos

En esta sección te compartiremos varios problemas de logaritmos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Logaritmos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 27 problemas resueltos de logaritmos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Logaritmos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 85 problemas del logaritmos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Logaritmos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de logaritmos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

En esta sección te compartiremos varios enlaces que corresponden a materiales educativos relacionados con el tema de logaritmos para 2do grado de secundaria:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos otros enlaces que corresponden a recursos educativos relacionados con el tema de logaritmos para 3er grado de secundaria, esperamos que te sea de utilidad:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora observaras otros enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de logaritmos para 4to grado de secundaria, esperamos que te sea de utilidad:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te compartiremos 3 enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de logaritmos para 5to grado de secundaria, esperamos que te sirva:

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