ᐈ FUNCIONES – Formulas y Full Ejercicios

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Funciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son las Funciones ?

Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F ⊂ A x B, se define: “F es una función de A en B si y solamente si para cada x ∈ A existe a lo más un elemento y ∈ B, tal que el par ordenado (x , y) ∈ F”. Esto significa que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Si F es una función tal que:

De acuerdo a la definición analicemos los siguientes diagramas sagitales, donde: A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada.

a) Para F₁:

Observa que no es necesario que 4 ∈ B sea la segunda componente de algún par ordenado (x , y) ∈ F₁. Por lo tanto: F₁ es una función.

b) Para F₂:

Esta relación si se cumple con la definición de función. Por lo tanto: F₂ es una función.

c) Para F₃:

Esta relación también está de acuerdo con la definición de función, luego: F₃ es una función.

d) Para F₄:

Aun cuando el elemento 2 ∈ A no tiene correspondiente en B, F₄ si es una función.

e) Para F₅:

Dado que existen dos pares con un mismo “x”, es evidente que F₅ no es función.

Dominio de una Función

Denominado también pre–imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. Se puede denotar de la siguiente forma:

Dom(F)

Rango de una Función

Denominado también imagen, recorrido, o, contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegaba B. Se puede denotar de la siguiente forma:

Ran(F)

Se debe tener en cuenta que:

Ejemplos de Domingo y Rango de las Funciones

Ejemplo 01:

Dada la relación representada por el diagrama sagital, hallar Dom(F) y Ran(F).

Resolución:

La función F viene dada por:

De acuerdo a la definición:

Observar que:

Ejemplo 02:

Encontrar el dominio y Rango de la siguiente función

Resolución:

Debemos tener en cuenta que para encontrar el dominio y el rango de la función F es necesariamente conocer los valores “a” y “b”, razón por la cual deben ser hallados previo a toda otra operación:

Si F es función, entonces de acuerdo a la definición será necesario que se verifiquen las siguientes igualdades:

Efectuando (I) + (II) se consigue: a = 2

Sustituyendo: a = 2 en la relación (II): b = −1

Luego la función F será:

Nos piden el dominio y rango:

Aplicación:

La función F se denomina aplicación de A en B si y solamente si para todo elemento x ∈ A sin excepción, tiene asignado un elemento y ∈ B y solamente uno en tal caso se denota así:

El dominio de toda aplicación F: A → B, siempre coincide con el conjunto de partida A, es decir: Dom(F) = A, y también Ran(F) ⊂ B.

Función Real de Variable Real

Si los conjuntos de partida A y de llegada B de una función F son conjuntos de números reales, se diría que F es una función real de variable real, debido a ello F tendrá una representación gráfica, la cual será el conjunto de puntos en el plano ℝ² (o plano xy) generada al establecer la relación de correspondencia unívoca existente entre variable independiente “x” y su imagen la variable dependiente y: es decir:

La igualdad mostrada: y = F(x), nos expresa la relación de correspondencia de la función real F. Es evidente que:

Propiedad Geométrica:

Una relación F ⊂ x ℝ es una función real si y solamente si toda recta vertical corta a la grafica de F a lo más en un punto.

En el ejemplo mostrado en la Fig. 1, la gráfica de F es la de una función, por que la recta que se ha trazado paralela al eje Y, corta a la curva en un solo punto. Sin embargo esto mismo no sucede en la Fig. 2, con la gráfica de G, pues es cortada en dos puntos por una misma recta paralela al eje “Y”. En estos casos se dice que G es simplemente una relación en ℝ.

Funciones Especiales

Función Identidad

Se simboliza por “I”. Su regla de correspondencia es: I(x) = x, es decir: F(x) = x

Su gráfico es una recta que pasa por el origen y es bisectriz del primer cuadrante (forma un de ∠ 45° con el eje “X”).

Función Constante

Se simboliza por C. Su regla de correspondencia es: C(x) = k, es decir: F(x) = k

Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje X).

Función Valor Absoluto

Se simboliza por | |. Su regla de correspondencia F(x) = y = | x |, es decir:

Donde se cumple que:

La gráfica de la función valor absoluto es:

Función Cúbica

Regla de correspondencia: F(x) = y = x3

La gráfica de la función raíz cubica es:

Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia:

Donde se cumple que:

La gráfica de la función raíz cuadrada es:

Función Máximo Entero

Regla de correspondencia:

Donde se define:

Y se cumple que:

La gráfica de la función máximo entero es:

Función Signo

Su símbolo es “Sgn” y su regla de correspondencia viene dada por:

Es decir:

Y se cumple que:

La gráfica de la función signo es:

Función Escalón Unitario

Se simboliza por “U”, su regla de correspondencia viene dada por:

Es decir:

Donde:

La gráfica de la función escalón unitario es:

Función Cuadrática

Está determinada por la regla de correspondencia.

Donde: a, b ∧ c, son constantes, tal que: a ≠ 0

Además:

La concavidad será hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de “a”.

Función Polinómica

Es aquella función con dominio en ℝ, cuya regla de correspondencia viene dada por:

Donde: “n” es un número entero no negativo, y, a₀ ; a₁ ; …. ; a_n, son constantes tal que a₀≠ 0.

Observación:

Las funciones: Constante, Lineal y Cuadrática; son casos particulares de la función polinómica, notar que estas ocurren para n = 0, n = 1 y n = 2 respectivamente.

Función Racional

Si g ∧ h son funciones polinómicas, la función F cuya regla de correspondencia es así:

Se denomina Función Racional.

El dominio de una Función Racional es el conjunto de los números reales tales que: h(x) ≠ 0

Observación:

Cualquier función polinómica es una función racional esto ocurre cuando h(x) es una función constante, en particular cuando h(x) = 1 ; ∀ x ∈ Dom(h).

Clases de Funciones

Función Inyectiva o Univalente:

Una función F es Inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento de dominio.

Para una mayor comprensión a continuación presentaremos unos ejemplos:

Ejemplo 01:

Sea la función numérica F representada por el diagrama sagital.

Es Inyectiva puesto que a cada elemento del rango le corresponde solo un elemento del dominio.

Ejemplo 02:

Analicemos a la función G definida por el diagrama sagital.

No es Inyectiva, pues el elemento “1” del rango le corresponden dos elementos del dominio: “2 y 4”

Reconocimiento Gráfico:

Si F es una función real de variable real Inyectiva, entonces toda recta horizontal debe cortar a su gráfica en un solo punto.

Ejemplo 01:

Sea la función F cuya gráfica es:

Reconocemos que es una función Inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su gráfica en sólo un punto.

Ejemplo 02:

Sea la función G cuya gráfica es:

Reconocemos que no es una función inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su grafica en más de un punto.

Definición Práctica

Una función F es Inyectiva si para cada x₁ , x₂ ∈ Dom(F), se cumple la relación:

Función Suryectiva, Sobreyectiva o Epiyectiva

Una función F es suryectiva si el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada, es decir, dada la función F: A → B, F es Suryectiva si y solamente si ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A/F(x) = y, equivalentemente: Ran(F) = B

Observación:

Si se da una función y no es específica el conjunto de llegada la función es implícitamente suryectiva.

Función Biyectiva

Una función F que va desde A hasta B (F: A→B), es biyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva.

Funciones Importantes

Función Par

Si F es una función Par, debe verificarse que:

Se reconoce gráficamente por su simetría al eje Y.

Función Impar

Si F es una función Impar, debe verificarse que:

Se reconoce gráficamente por su simetría respecto al origen “O” de coordenadas.

Función Periódica

Una función F se denomina Periódica, si existe un número real T ≠ 0, denominado período tal que T es el menor número positivo que verifica las siguientes condiciones:

Primera Condición:

Segunda Condición:

Observación:

Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontalmente y periódicamente en el anterior y el siguiente intervalo de longitud T.

De la grafica podemos observar que:

Notar también que si T es un periodo de “F”, 2T, 3T, también lo son:

Función Monótona

Una función F se llama Monótona si corresponde a cualquiera de las siguientes funciones que a continuación indicaremos:

I) Función Creciente:

Sean: x₁ , x₂ ∈ Dom(F), entonces se dice que F es creciente:

II) Función Decreciente:

Sean: x₁ , x₂ ∈ Dom(F), entonces se dice que F es decreciente:

Observación:

A la función Creciente también se le llama Estrictamente Creciente, asimismo como a la función decreciente también se le podrá llamar Estrictamente Decreciente.
Si una función F es Creciente o Decreciente entonces se podrá afirmar que F es una Función Inyectiva.

Igualdad de Funciones

Dadas las funciones F y G, estas serán iguales si cumplen dos condiciones:

F(x) = G(x) ; ∀ ∈ Dom(F)
Dom(F) = Dom(G)

Ejemplo:

Determinar si las funciones F y G son o no iguales:

Resolución:

De acuerdo con la definición:

Primero:

Puesto que:

Segundo:

Sin embargo:

Dado que:

Por lo tanto las funciones F y G “no son iguales”.

Álgebra de Funciones

Dadas dos funciones reales F y G cuyas reglas de correspondencia son: F(x) ∧ G(x), se definen cuatro operaciones: Adición, Sustracción, Multiplicación y División, de la siguiente manera:

Ejemplo:

Sean las Funciones F y G, si:

Encontrar las funciones:

Resolución:

De las funciones dadas tenemos:

Podemos observar que:

A continuación hallaremos cada operación pedida:

Primero “F + G”:

Segundo “F − G”:

Tercero “F . G”:

Antes de hallar F/G debemos establecer que: G(x) ≠ 0; es decir no debemos considerar aquellos valores de “x” que generan: G(x) = 0

En consecuencia:

Ahora notamos que en:

Se ha excluido al 8, puesto que: G(8) = 0, luego hallando F/G se consigue:

Composición de Funciones

Dadas dos funciones reales F y G, la composición de F con G denotado por F ο G y que se lee: F compuesta con G, es la función cuyo Dominio consiste en los elementos: x ∈ Dom(G) tales que G(x) ∈ Dom(F), cuya regla de correspondencia es:

Donde:

Además: Ran(G) ∩ Dom(F) ≠ ∅

Observación:

La composición de funciones no es conmutativa, es decir: F ο G ≠ G ο F
En particular, si: F ο G = G ο F ⇒ F = G

Ejemplo:

Cuántos elementos tiene la función F ο G si:

Resolución:

Para encontrar la función “F ο G” seguimos los primeros pasos:

Primero:

Con los datos obtenemos que:

Segundo:

Obtendremos la intersección de (I) y (II), veamos:

Tercero:

Seleccionamos aquellos pares de G y de F que admitan como segundas y primeras componentes a: 3 y 0

Cuarto:

Determinemos a la función F ο G.

Función Inversa

Sea F una función Real definida por:

Si F es una función Inyectiva, se define su función Inversa denotado por: F⁻¹ ó F^*, de la siguiente manera.

Donde:

Ejemplo 01:

Dada la función Inyectiva F definida por:

Entonces la función Inversa de F indicando su Dominio y Rango

Resolución:

Para la función dada:

Su Inversa F⁻¹, viene dada por:

Donde se cumple que:

Ejemplo 02:

Dada la función:

Encontrar la función F⁻¹ y graficarla:

Resolución:

Por tratarse de una Función Inyectiva, admite inversa. La gráfica de esta función seria:

Ahora calculemos ahora la función inversa F⁻¹:

De la condición dada, se sabe que:

Si ahora sustituimos “x” por “y”, se tendrá:

La gráfica de F⁻¹ está dada por:

En la siguiente figura observaras como quedan las gráficas de la función F y su inversa F⁻¹ con relación a la recta: y = x. Está última recta desarrolla el papel del eje de simetría entre ambas gráficas:

Propiedades Importantes de la Función Inversa

Dada una función Inyectiva F y su inversa F⁻¹ se cumplen:

Ejemplos de Funciones

Ahora veremos algunos ejemplos de funciones.

Ejemplo 01:

Si “F” representa una función donde.

Entonces la suma de los elementos del rango es:

Resolución:

Veamos que los pares:

Tienen la misma primera componente, y de acuerdo a la definición de función, dos pares ordenados no pueden tener la misma primera componente.

Pero de acuerdo al dato del problema nos indica que “F” es función, entonces tendremos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

Reemplazando en “F”, se tendrá:

Luego el rango de la función seria:

Finalmente nos pide la suma de los elementos del rango:

Ejemplo 02:

Dada la función siguiente:

Hallar el valor de la siguiente expresión:

Resolución:

Del dato del problema podemos, observar que:

F(0) = 1
F(1) = 2
F(2) = 3

Reemplazando estos valores en “C”

Ejemplo 03:

Indicar el dominio de:

Resolución:

Del dato tenemos que:

Ahora para que “y” sea un número real:

Resolviendo por el método de los puntos críticos:

Nos piden hallar el dominio de la función, entonces tenemos:

Ejemplo 04:

Dada la función f: ℝ→ ℝ en notación funcional:

La función inversa viene dada por:

Resolución:

Empecemos por:

Para determinar la inversa de la función dada, lo que tendremos que hacer cambio de variable es decir, “y” cambiamos por “x” y la variable “x” por “y”, entonces tendremos:

Despejemos la variable “y” ahora de esta última.

Finalmente sustituimos “” por f⁻¹(x), por ser esta ultima la función inversa.

Ejemplo 05:

Indicar la regla de correspondencia de la gráfica de la función:

Resolución:

Para encontrar la ecuación de esta gráfica, debemos reconocer que se trata, de una función valor absoluto con desplazamiento doble: El desplazamiento es (3 , 1)

Entonces utilizaremos la siguiente relación:

Donde:

h: Es el desplazamiento horizontal
k: Es el desplazamiento vertical

Luego reemplazando tendremos:

Finalmente:

Ejemplo 06:

Hallar “m + n”, si en f(x) = mx + n se cumple que f(1) = 8 y f(0) = 5.

Resolución:

Como: f(x) = mx + n
odemos obtener: f(1) = m + n
Pero f(1) = 8, entonces tenemos: 8 = m + n

También podemos obtener: f(0) = n
Pero f(0) = 5, entonces tenemos: 5 = n

Reemplazamos el valor de “n” en la ecuación: 8 = m + n, entonces obtenemos que: m = 3. Finalmente nos piden:

Ejemplo 07:

Sean las funciones:

Hallar el rango de f ο g

Resolución:

Para encontrar la función “f ο g” seguimos los primeros pasos:

1° Con los datos:

2° Obtendremos la intersección de y , veamos:

3° Seleccionamos aquellos pares de y de f que admitan como segundas y primeras componentes a: 6 y 8

4° Determinemos a la función f ο g.

Ejercicios de Funciones

En esta sección te compartiremos varios problemas de funciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Funciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 25 problemas resueltos de funciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Funciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 80 problemas del funciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Funciones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de funciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos dos enlaces que corresponde a dos fichas educativas sobre el tema de conceptos y graficas de las funciones para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos dos enlaces que corresponde a dos fichas educativas sobre el tema de funciones para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de varios materiales educativos relacionados con el tema de funciones para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de varias fichas educativa relacionados con el tema de funciones para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de relaciones y funciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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