FUNCIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Funciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son las Funciones ?

Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F ⊂ A x B, se define: “F es una función de A en B si y solamente si para cada x ∈ A existe a lo más un elemento y ∈ B, tal que el par ordenado (x , y) ∈ F”. Esto significa que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Si F es una función tal que:

Formula de Funciones

De acuerdo a la definición analicemos los siguientes diagramas sagitales, donde: A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada.

Propiedad de Funciones

Propiedad 1 de Funciones

a) Para F1:

F1 Funciones

Observa que no es necesario que 4 ∈ B sea la segunda componente de algún par ordenado (x , y) ∈ F1. Por lo tanto: F1 es una función.

b) Para F2:

F2 Funciones

Esta relación si se cumple con la definición de función. Por lo tanto: F2 es una función.

c) Para F3:

F3 Funciones

Esta relación también está de acuerdo con la definición de función, luego: F3 es una función.

d) Para F4:

F4 Funciones

Aun cuando el elemento 2 ∈ A no tiene correspondiente en B, F4 si es una función.

e) Para F5:

F5 Funciones

Dado que existen dos pares con un mismo “x”, es evidente que F5 no es función.

Dominio de una Función

Denominado también pre–imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. Se puede denotar de la siguiente forma:

  • Dom(F)

Rango de una Función

Denominado también imagen, recorrido, o, contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegaba B. Se puede denotar de la siguiente forma:

  • Ran(F)

Se debe tener en cuenta que:

Rango de una Funcion

Ejemplos de Domingo y Rango de las Funciones

Ejemplo 01:

Dada la relación representada por el diagrama sagital, hallar Dom(F) y Ran(F).

Resolución:

La función F viene dada por:

De acuerdo a la definición:

Definicion 1 Rango de una Funcion

Observar que:

Proceso 1 Rango de una Funcion

Ejemplo 02:

Encontrar el dominio y Rango de la siguiente función

Ejercicio 2 Rango de una Funcion

Resolución:

Debemos tener en cuenta que para encontrar el dominio y el rango de la función F es necesariamente conocer los valores “a” y “b”, razón por la cual deben ser hallados previo a toda otra operación:

Si F es función, entonces de acuerdo a la definición será necesario que se verifiquen las siguientes igualdades:

Resolución 2 Rango de una Funcion

Efectuando (I) + (II) se consigue: a = 2

Sustituyendo: a = 2 en la relación (II):     b = −1

Luego la función F será:

Nos piden el dominio y rango:

Dominio y Rango Ejercicio 2 Rango de una Funcion

Aplicación:

La función F se denomina aplicación de A en B si y solamente si para todo elemento x ∈ A sin excepción, tiene asignado un elemento y ∈ B y solamente uno en tal caso se denota así:

Aplicacion 2 Rango de una Funcion

El dominio de toda aplicación F: A → B, siempre coincide con el conjunto de partida A, es decir: Dom(F) = A, y también Ran(F) ⊂ B.

Función Real de Variable Real

Si los conjuntos de partida A y de llegada B de una función F son conjuntos de números reales, se diría que F es una función real de variable real, debido a ello F tendrá una representación gráfica, la cual será el conjunto de puntos en el plano ℝ2 (o plano xy) generada al establecer la relación de correspondencia unívoca existente entre variable independiente “x” y su imagen la variable dependiente y: es decir:

Función Real de Variable Real

La igualdad mostrada: y = F(x), nos expresa la relación de correspondencia de la función real F. Es evidente que:Propiedad de Función Real de Variable Real

Propiedad Geométrica:

Una relación F ⊂ x ℝ es una función real si y solamente si toda recta vertical corta a la grafica de F a lo más en un punto.

En el ejemplo mostrado en la Fig. 1, la gráfica de F es la de una función, por que la recta que se ha trazado paralela al eje Y, corta a la curva en un solo punto. Sin embargo esto mismo no sucede en la Fig. 2, con la gráfica de G, pues es cortada en dos puntos por una misma recta paralela al eje “Y”. En estos casos se dice que G es simplemente una relación en ℝ.

Figura 1 Propiedad Geométrica

Figura 2 Propiedad Geométrica

Funciones Especiales

Función Identidad

Se simboliza por “I”. Su regla de correspondencia es: I(x) = x, es decir: F(x) = x

Función Identidad

Su gráfico es una recta que pasa por el origen y es bisectriz del primer cuadrante (forma un de ∠ 45° con el eje “X”).

Propiedad Funcion Identidad

Función Constante

Se simboliza por C. Su regla de correspondencia es: C(x) = k, es decir: F(x) = k

Funcion Constante

Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje X).

Propiedad de Funcion Constante

Función Valor Absoluto

Se simboliza por | |. Su regla de correspondencia F(x) = y = | x |, es decir:

Funcion Valor Absoluto

Donde se cumple que:

Relacion de Funcion Valor Absoluto

La gráfica de la función valor absoluto es:

Funcion de Valor Absoluto

Función Cúbica

Regla de correspondencia: F(x) = y = x3

Funcion Cubica

La gráfica de la función raíz cubica es:

Propiedad de Funcion Cubica

Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia:

Funcion Raiz Cuadrada

Donde se cumple que:

Propiedad de Funcion Raiz Cuadrada

La gráfica de la función raíz cuadrada es:

Grafica de Funcion Raiz Cuadrada

Función Máximo Entero

Regla de correspondencia:

Funcion Maximo Entero

Donde se define:

Definicion Funcion Maximo Entero

Y se cumple que:

La gráfica de la función máximo entero es:

Grafica Funcion Maximo Entero

Función Signo

Su símbolo es “Sgn” y su regla de correspondencia viene dada por:

Funcion Signos

Es decir:

Formula Funcion Signos

Y se cumple que:

Propiedad de Funcion Signos

La gráfica de la función signo es:

Grafica de Funcion Signos

Función Escalón Unitario

Se simboliza por “U”, su regla de correspondencia viene dada por:

Funcion Escalon Unitario

Es decir:

Función Escalón Unitario

Donde:

Propiedad Función Escalón Unitario

La gráfica de la función escalón unitario es:

Grafica de Función Escalón Unitario

Función Cuadrática

Está determinada por la regla de correspondencia.

Función Cuadrática

Donde: a, b ∧ c, son constantes, tal que: a ≠ 0

Además:

Propiedad de Función Cuadrática

La concavidad será hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de “a”.

Grafia de Función Cuadrática

Función Polinómica

Es aquella función con dominio en ℝ, cuya regla de correspondencia viene dada por:

Función Polinómica

Donde: “n” es un número entero no negativo, y, a0 ; a1 ; …. ; an, son constantes tal que a0 ≠ 0.

Observación:

Las funciones: Constante, Lineal y Cuadrática; son casos particulares de la función polinómica, notar que estas ocurren para n = 0, n = 1 y n = 2 respectivamente.

Función Racional

Si g ∧ h son funciones polinómicas, la función F cuya regla de correspondencia es así:

Función Racional

Se denomina Función Racional.

El dominio de una Función Racional es el conjunto de los números reales tales que: h(x) ≠ 0

Observación:

Cualquier función polinómica es una función racional esto ocurre cuando h(x) es una función constante, en particular cuando h(x) = 1 ; ∀ x ∈ Dom(h).

Clases de Funciones

Función Inyectiva o Univalente:

Una función F es Inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento de dominio.

Para una mayor comprensión a continuación presentaremos unos ejemplos:

Ejemplo 01:

Sea la función numérica F representada por el diagrama sagital.

Función Inyectiva o Univalente

Es Inyectiva puesto que a cada elemento del rango le corresponde solo un elemento del dominio.

Ejemplo 02:

Analicemos a la función G definida por el diagrama sagital.

Ejemplo Función Inyectiva o Univalente

No es Inyectiva, pues el elemento “1” del rango le corresponden dos elementos del dominio: “2 y 4”

Reconocimiento Gráfico:

Si F es una función real de variable real Inyectiva, entonces toda recta horizontal debe cortar a su gráfica en un solo punto.

Ejemplo 01:

Sea la función F cuya gráfica es:

Reconocimiento Gráfico

Reconocemos que es una función Inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su gráfica en sólo un punto.

Ejemplo 02:

Sea la función G cuya gráfica es:

Ejemplo Reconocimiento Gráfico

Reconocemos que no es una función inyectiva, dado que la recta horizontal mostrada corta a su grafica en más de un punto.

Definición Práctica

Una función F es Inyectiva si para cada x1 , x2 ∈ Dom(F), se cumple la relación:

Practica Reconocimiento Gráfico

Función Suryectiva, Sobreyectiva o Epiyectiva

Una función F es suryectiva si el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada, es decir, dada la función F: A → B, F es Suryectiva si y solamente si ∀ y ∈ B  ∃ x ∈ A/F(x) = y, equivalentemente:  Ran(F) = B

Observación:

Si se da una función y no es específica el conjunto de llegada la función es implícitamente suryectiva.

Función Biyectiva

Una función F que va desde A hasta B (F: A→B), es biyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva.

Funciones Importantes

Función Par

Si F es una función Par, debe verificarse que:

Función Par

Se reconoce gráficamente por su simetría al eje Y.

Grafica Función Par

Función Impar

Si F es una función Impar, debe verificarse que:

Función Impar

Se reconoce gráficamente por su simetría respecto al origen “O” de coordenadas.

Ejemplo Función Impar

Función Periódica

Una función F se denomina Periódica, si existe un número real T ≠ 0, denominado período tal que T es el menor número positivo que verifica las siguientes condiciones:

Primera Condición:

Función Periódica

Segunda Condición:

Condición Función Periódica

Observación:

Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontalmente y periódicamente en el anterior y el siguiente intervalo de longitud T.

Grafica Función Periódica

De la grafica podemos observar que:

Grafica de Función Periódica

Notar también que si T es un periodo de “F”, 2T, 3T, también lo son:

Función Monótona

Una función F se llama Monótona si corresponde a cualquiera de las siguientes funciones que a continuación indicaremos:

I) Función Creciente:

Sean: x1 , x2 ∈ Dom(F), entonces se dice que F es creciente:

Función Creciente

II) Función Decreciente:

Sean: x1 , x2 ∈ Dom(F), entonces se dice que F es decreciente:

Función Decreciente

Observación:

  1. A la función Creciente también se le llama Estrictamente Creciente, asimismo como a la función decreciente también se le podrá llamar Estrictamente Decreciente.
  2. Si una función F es Creciente o Decreciente entonces se podrá afirmar que F es una Función Inyectiva.

Igualdad de Funciones

Dadas las funciones F y G, estas serán iguales si cumplen dos condiciones:

  • F(x) = G(x) ; ∀ ∈ Dom(F)
  • Dom(F) = Dom(G)

Ejemplo:

Determinar si las funciones F y G son o no iguales:

Igualdad de Funciones

Resolución:

De acuerdo con la definición:

Primero:

Puesto que:

Resolucion Igualdad de Funciones

Segundo:

Sin embargo:

Problema Igualdad de Funciones

Dado que:

Ejercicio Igualdad de Funciones

Por lo tanto las funciones F y G “no son iguales”.

Álgebra de Funciones

Dadas dos funciones reales F y G cuyas reglas de correspondencia son: F(x) ∧ G(x), se definen cuatro operaciones: Adición, Sustracción, Multiplicación y División, de la siguiente manera:

Álgebra de Funciones

Ejemplo:

Sean las Funciones F y G, si:

Ejemplo Álgebra de Funciones

Encontrar las funciones:

Funciones Álgebraicas

Resolución:

De las funciones dadas tenemos:

Resolucion Álgebra de Funciones

Podemos observar que:

Proceso Álgebra de Funciones

A continuación hallaremos cada operación pedida:

Primero “F + G”:

Problema Álgebra de Funciones

Segundo “F G”:

Problema 2 Álgebra de Funciones

Tercero “F . G”:Problema 3 Álgebra de Funciones

Antes de hallar F/G debemos establecer que: G(x) ≠ 0; es decir no debemos considerar aquellos valores de “x” que generan: G(x) = 0

En consecuencia:

Resolucion 3 Álgebra de Funciones

Ahora notamos que en:

Notacion 3 Álgebra de Funciones

Se ha excluido al 8, puesto que: G(8) = 0, luego hallando F/G se consigue:

Exclusión 3 Álgebra de Funciones

Composición de Funciones

Dadas dos funciones reales F y G, la composición de F con G denotado por F ο G y que se lee: F compuesta con G, es la función cuyo Dominio consiste en los elementos: x ∈ Dom(G) tales que G(x) ∈ Dom(F), cuya regla de correspondencia es:

Composición de Funciones

Donde:

Ejemplo Composición de Funciones

Además: Ran(G) ∩ Dom(F) ≠ ∅

Observación:

  • La composición de funciones no es conmutativa, es decir: F ο G ≠ G ο F
  • En particular, si: F ο G = G ο F  ⇒  F = G

Ejemplo:

Cuántos elementos tiene la función F ο G si:

Ejemplo 1 Composición de Funciones

Resolución:

Para encontrar la función “F ο G” seguimos los primeros pasos:

Primero:

Con los datos obtenemos que:

Resolucion 1 Composición de Funciones

Segundo:

Obtendremos la intersección de (I) y (II), veamos:

Ejemplo 2 Composición de Funciones

Tercero:

Seleccionamos aquellos pares de G y de F que admitan como segundas y primeras componentes a: 3 y 0

Ejemplo 3 Composición de Funciones

Cuarto:

Determinemos a la función F ο G.

Ejemplo 4 Composición de Funciones

Función Inversa

Sea F una función Real definida por:

Función Inversa

Si F es una función Inyectiva, se define su función Inversa denotado por: F−1 ó F*, de la siguiente manera.

Formula de Función Inversa

Donde:

Propiedad de Función Inversa

Ejemplo 01:

Dada la función Inyectiva F definida por:

Ejemplo de Función Inversa

Entonces la función Inversa de F indicando su Dominio y Rango

Resolución:

Para la función dada:

Resolucion de Función Inversa

Su Inversa F−1, viene dada por:

Resolucion Inversa de Función Inversa

Donde se cumple que:

Cumple Función Inversa

Ejemplo 02:

Dada la función:

Ejemplo 2 de Función Inversa

Encontrar la función F−1 y graficarla:

Resolución:

Por tratarse de una Función Inyectiva, admite inversa. La gráfica de esta función seria:

Resolucion 2 de Función Inversa

Ahora calculemos ahora la función inversa F−1:

De la condición dada, se sabe que:

Calculo 2 de Función Inversa

Si ahora sustituimos “x” por “y”, se tendrá:

Sustituimos 2 de Función Inversa

La gráfica de F−1 está dada por:

Grafica 2 de Función Inversa

En la siguiente figura observaras como quedan las gráficas de la función F y su inversa F−1 con relación a la recta: y = x. Está última recta desarrolla el papel del eje de simetría entre ambas gráficas:

Relacion 2 de Función Inversa

Propiedades Importantes de la Función Inversa

Dada una función Inyectiva F y su inversa F−1 se cumplen:

Propiedades Importantes de la Función Inversa

Ejemplos de Funciones

Ahora veremos algunos ejemplos de funciones.

Ejemplo 01:

Si “F” representa una función donde.

Ejemplos 1 de Funciones

Entonces la suma de los elementos del rango es:

Resolución:

Veamos que los pares:

Resolucion 1 de Funciones

 

Tienen la misma primera componente, y de acuerdo a la definición de función, dos pares ordenados no pueden tener la misma primera componente.

Pero de acuerdo al dato del problema nos indica que “F” es función, entonces tendremos:

Componente 1 de Funciones

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

Sistema de Ecuaciones

Reemplazando en “F”, se tendrá:

Reemplazando Ejercicio 1 de Funciones

Luego el rango de la función seria:

Rango de la Funcion

Finalmente nos pide la suma de los elementos del rango:

Respuesta de Sistema de Ecuaciones

Ejemplo 02:

Dada la función siguiente:

Ejemplos 2 de Funciones

Hallar el valor de la siguiente expresión:

Expresión 2 de Funciones

Resolución:

Del dato del problema podemos, observar que:

  • F(0) = 1
  • F(1) = 2
  • F(2) = 3

Reemplazando estos valores en “C”

Respuesta 2 de Funciones

Ejemplo 03:

Indicar el dominio de:

Ejemplos 3 de Funciones

Resolución:

Del dato tenemos que:

Resolución 3 de Funciones

Ahora para que “y” sea un número real:

Proceso 3 de Funciones

Resolviendo por el método de los puntos críticos:

Grafico 3 de Funciones

Nos piden hallar el dominio de la función, entonces tenemos:

Respuesta 3 de Funciones

Ejemplo 04:

Dada la función f: ℝ→ ℝ en notación funcional:

Ejemplo 4 de Funciones

La función inversa viene dada por:

Resolución:

Empecemos por:

Resolucion 4 de Funciones

Para determinar la inversa de la función dada, lo que tendremos que hacer cambio de variable es decir, “y” cambiamos por “x” y la variable “x” por “y”, entonces tendremos:

Variable 4 de Funciones

Despejemos la variable “y” ahora de esta última.

Despejamos Ejercicio 4 de Funciones

Finalmente sustituimos “” por f1(x), por ser esta ultima la función inversa.

Respuesta 4 de Funciones

Ejemplo 05:

Indicar la regla de correspondencia de la gráfica de la función:

Ejemplo 5 de Funciones

Resolución:

Para encontrar la ecuación de esta gráfica, debemos reconocer que se trata, de una función valor absoluto con desplazamiento doble: El desplazamiento es (3 , 1)

Entonces utilizaremos la siguiente relación:

Resolucion 5 de Funciones

Donde:

  • h: Es el desplazamiento horizontal
  • k: Es el desplazamiento vertical

Luego reemplazando tendremos:

Reemplazamos Ejemplo 5 de Funciones

Finalmente:

Respuesta 5 de Funciones

Ejemplo 06:

Hallar “m + n”, si en f(x) = mx + n se cumple que f(1) = 8 y f(0) = 5.

Resolución:

Como: f(x) = mx + n
odemos obtener: f(1) = m + n
Pero f(1) = 8, entonces tenemos: 8 = m + n

También podemos obtener: f(0) = n
Pero f(0) = 5, entonces tenemos: 5 = n

Reemplazamos el valor de “n” en la ecuación: 8 = m + n, entonces obtenemos que: m = 3. Finalmente nos piden:

Respuesta 6 de Funciones

Ejemplo 07:

Sean las funciones:

Ejemplo 7 de Funciones

Hallar el rango de f ο g

Resolución:

Para encontrar la función “f ο g” seguimos los primeros pasos:

Con los datos:

Resolución 7 de Funciones

  Obtendremos la intersección de  y , veamos:

Proceso 7 de Funciones

Seleccionamos aquellos pares de  y de f que admitan como segundas y primeras componentes a: 6 y 8

Componentes Ejercicio 7 de Funciones

Determinemos a la función f ο g.

Respuesta 7 de Funciones

Ejercicios de Funciones

En esta sección te compartiremos varios problemas de funciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Funciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 25 problemas resueltos de funciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Funciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 80 problemas del funciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Funciones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de funciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos dos enlaces que corresponde a dos fichas educativas sobre el tema de conceptos y graficas de las funciones para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos dos enlaces que corresponde a dos fichas educativas sobre el tema de funciones para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de varios materiales educativos relacionados con el tema de funciones para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de varias fichas educativa relacionados con el tema de funciones para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de relaciones y funciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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