BINOMIO DE NEWTON

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Binomio de Newton puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Factorial de un Número

Se define como el producto de los “n” primeros números naturales y representados por el símbolo n!.

Propiedad de Binomio de Newton

Simbologías:

Simbologias de Factorial de un Numero

El Semifactorial de un Número

Es el producto de los enteros impares:

  • 1 x 3 x 5 x 7 x …….x n, si “n” es impar

Y el producto de los enteros pares:

  • 2 x 4 x 6 x 8 x …….x n, si “n” es par

Simbologías:

Simbologias Semifactorial de un Numero

Principales Propiedades de los Factoriales (N!)

Las principales propiedades de los factoriales son:

Propiedad 01:

Sea: n!; n ∈ N

Propiedad 1 de Factoriales

Propiedad 02:

Si:

Propiedad 2 de Factoriales

Propiedad 03:

Si:

Propiedad 3 de Factoriales

Propiedad 04:

Se cumple:

Propiedad 4 de Factoriales

También:

Propiedad 4 de Factoriales

Propiedad 05:

Se cumple:

Propiedad 5 de Factoriales

Propiedad 06:

Se cumple:

Propiedad 6 de Factoriales

También:

Formula 6 de Factoriales

Propiedad 07:

Sea: n!!; n ∈ N

Propiedad 7 de Factoriales

Propiedad degradativa de los semifactoriales

Propiedad 08:

Producto de los semifactoriales de enteros consecutivos:

Propiedad 8 de Factoriales

Propiedad 09:

Si:

Propiedad 9 de Factoriales

Propiedad 10:

Si:

Propiedad 10 de Factoriales

Propiedad 11:

Relación de los semifactoriales y el factorial:

Propiedad 11 de Factoriales

El Coeficiente Binomial

Sean m ∈ R y n ∈ R tales que m ≥ n, llamaremos coeficiente binomial a:

El Coeficiente Binomial

Se calcula mediante:

Calculos de El Coeficiente Binomial

También:

Representacion de El Coeficiente Binomial

El Coeficiente Polinomial

Sean los elementos de N, tales que:

Ejemplo de Coeficiente Polinomial

Llamaremos coeficiente polinómico o multinómico al símbolo:

Formula de Coeficiente Polinomial

Formula:

Propiedad de Coeficiente Polinomial

Consecuencia:

Consecuencias Propiedad de Coeficiente Polinomial

Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales

Propiedad 01:

Propiedad 1 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 02:

Propiedad 2 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 03:

Formula 2 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 04:

Propiedad de los coeficientes binomiales complementarios:

Propiedad 4 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 05:

Suma de pares de coeficientes binomiales:

Propiedad 5 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 06:

Suma de C.B. de inferiores iguales y superiores decrecientes:

Propiedad 6 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 07:

Suma de equivalentes en la versión de complementos:

Propiedad 7 de Coeficientes Binomiales

Donde: m, n ∈ N, m > n

Propiedad 08:

Propiedad 8 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 09:

Propiedad 9 de Coeficientes Binomiales

Donde: m ∈ N impares

Propiedad 10:

Propiedad 10 de Coeficientes Binomiales

Donde: m ∈ N pares

Propiedad 11:

Propiedad 11 de Coeficientes Binomiales

Donde: m, n, p ∈ N

Propiedad 12:

Igualdad de coeficientes binomiales:

Propiedad 12 de Coeficientes Binomiales

También

Formula 12 de Coeficientes Binomiales

Propiedad 13:

Propiedades degradativas de los coeficientes binomiales:

Degradación del exponente superior e inferior; n ∈ R ; k ∈ N

Propiedad 13 de Coeficientes Binomiales

Degradación únicamente del índice superior; n ∈ R ; k ∈ N

Formula 13 de Coeficientes Binomiales

Degradación únicamente del índice inferior; n ∈ R ; k ∈ N

Formulas 13 de Coeficientes Binomiales

Potenciación

La potenciación de exponente “n” es una operación que a cada para de números reales “x” , “n”, se le asigna la regla de correspondiente “x”.

Teorema de Potenciacion

Veamos a continuación la demostración:

A partir de la equivalencia notable:

Ejemplo de Teorema de Potenciacion

Si hacemos: a1 = a2 = a3 =  … = an = y

Proceso de Teorema de Potenciacion

Por lo tanto la igualdad se transforma en:

Igualdad de Teorema de Potenciacion

El cual puede expresar mediante sumatoria como:

Expresion de Teorema de Potenciacion

Término General

Propiedad de Termino General

Término Central

Propiedad de Termino Central

Los Términos Centrales

Propiedad de Los Terminos Centrales

Los Términos T Y T´ Equidistantes del Desarrollo de (x +y)n

Propiedades de los Terminos Equidistantes

Descripción de las Características de la Expansión (x +y)n ; x ∈ N

Propiedades de los Caracteristicas de Expansion

El desarrollo consta de “n + 1” términos; los cuales se determinaron de combinar repetidamente las variables “x” e “y” en grupos “n” es decir también el número de términos de (x +y)n será:

Desarrollo Propiedades de los Caracteristicas de Expansion

Si se tiene: (x + y)n

Los términos del desarrollo tienen signos positivos, con x > 0 ; y >0

Si se tiene: (x − y)n

Los términos del desarrollo tienen signos alternados, primero positivo con x > 0 ; y >0

Si se tiene: (−x − y)n

Con n par, todos los términos tienen signos positivos.

Si se tiene: (−x − y)n

Con n impar, todos los términos tienen signos negativos.

Si se tiene: (−x + y)n

Con n par, todos los términos tienen signos alternados empezando con positivo.

Si se tiene: (−x + y)n

Con n impar, todos los términos tienen signos alternados empezando con negativo.

Los coeficientes de cada término son números combinatorios o coeficientes binomiales de la forma.

Desarrollo de Coeficientes Binomiales

Los coeficientes binomiales de los términos equidistantes de los extremos son iguales entre si, siempre que (n + 1) sea par, en caso contrario, el termino central único carece de pareja.

Sea:

Coeficientes Binomiales de los Terminos Equisdistantes

El desarrollo de la expresión posee infinitos términos el cual estará sujeto a la condición de convergencia siguiente:

Desarrollo Coeficientes Binomiales de los Terminos Equisdistantes

En caso contrario el desarrollo carece de sentido.

Triángulo Aritmético y el Teorema del Binomio de Newton

Los elementos de las filas y diagonales del triángulo aritmético corresponden a las expansiones de los binomios de Newton conforme se muestra.

Triángulo Aritmético y el Teorema del Binomio de Newton

Suma de Coeficientes de (x +y)n

En:

Resolucion Teorema del Binomio de Newton

Suma de Exponentes del Desarrollo de (xα + yβ)n

Suma de Exponentes del Desarrollo

Coeficiente de Máximo Valor Absoluto de (x +y)n

Si:

Coeficiente de Maximo Valor Absoluto

Si:

Ejemplo de Coeficiente de Maximo Valor Absoluto

orresponden a los términos centrales.

Término de Máximo Valor Absoluto de (x +y)m

Si el término “Tk+1” es el de máximo valor absoluto.

Termino de Maximo Valor Absoluto

Ejemplos de Binomio de Newton

Ahora veremos algunos ejemplos de binomio de newton.

Ejemplo 01:

Calcular:

Ejemplo 1 de Binomio de Newton

Resolución:

Recordemos la propiedad:

Resolucion 1 de Binomio de Newton

Entonces:

Proceso 1 de Binomio de Newton

Extrayendo factor común en los denominadores:

Factor Comun de Binomio de Newton

Simplificando:

Respuesta 1 de Binomio de Newton

Ejemplo 02:

Simplificar:

Ejemplo 2 de Binomio de Newton

Resolución:

Recordemos la propiedad:

Resolucion 2 de Binomio de Newton

Entonces:

Proceso 2 de Binomio de Newton

Reduciendo:

Reduciendo Ejemplo 2 de Binomio de Newton

Recordemos:

Recordatorio 2 de Binomio de Newton

Entonces:

Respuesta 2 de Binomio de Newton

Ejemplo 03:

Hallar “x”:

Ejemplo 3 de Binomio de Newton

Resolución:

Transformando el primer miembro:

Resolucion 3 de Binomio de Newton

Factorizando en el denominador:

Factorizando 3 de Binomio de Newton

Reduciendo:

Respuesta 3 de Binomio de Newton

Ejemplo 04:

Resolver:

Ejemplo 4 de Binomio de Newton

Resolución:

Apoyándonos con la propiedad:

Resolucion 4 de Binomio de Newton

Degradación únicamente del índice superior; n ∈ R ; k ∈ N

Entonces en nuestro problema:

Degradacion del Ejemplo 4 de Binomio de Newton

Eliminado términos semejantes en ambos miembros:

Respuesta 4 de Binomio de Newton

Ejemplo 05:

Hallar “n” en:

Ejemplo 5 de Binomio de Newton

Resolución:

Con las propiedades del problema anterior:

Resolucion 5 de Binomio de Newton

Simplificando:

Respuesta 5 de Binomio de Newton

Ejemplo 06:

Encontrar el cuarto término de:

Ejemplo 6 de Binomio de Newton

Resolución:

Recordemos la fórmula del término general:

Resolucion 6 de Binomio de Newton

Nos pide el cuarto término entonces k = 3, entonces tenemos:

Respuesta 6 de Binomio de Newton

Ejemplo 07:

La suma de los coeficientes en el desarrollo del siguiente ejercicio sera:

Ejemplo 7 de Binomio de Newton

Resolución:

Para encontrar la sumatoria de coeficientes, debemos hacer:

Respuesta 7 de Binomio de Newton

Entonces reemplazando:

Conclusion 7 de Binomio de Newton

Ejercicios de Binomio de Newton

En esta sección te compartiremos varios problemas de binomio de newton resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Binomio de Newton

Aquí te compartiremos un documento que contiene 24 problemas resueltos de binomio de newton, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Binomio de Newton

Aquí te compartiremos un documento que contiene 55 problemas del binomio de newton, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Binomio de Newton para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de binomio de newton para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de segunda ley de newton en un conjunto de cuerpos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son materiales educativos relacionados con el tema de segunda ley de newton para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de binomio de newton para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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