Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Binomio de Newton puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Factorial de un Número
Se define como el producto de los “n” primeros números naturales y representados por el símbolo n!.
Simbologías:
El Semifactorial de un Número
Es el producto de los enteros impares:
- 1 x 3 x 5 x 7 x …….x n, si “n” es impar
Y el producto de los enteros pares:
- 2 x 4 x 6 x 8 x …….x n, si “n” es par
Simbologías:
Principales Propiedades de los Factoriales (N!)
Las principales propiedades de los factoriales son:
Propiedad 01:
Sea: n!; n ∈ N
Propiedad 02:
Si:
Propiedad 03:
Si:
Propiedad 04:
Se cumple:
También:
Propiedad 05:
Se cumple:
Propiedad 06:
Se cumple:
También:
Propiedad 07:
Sea: n!!; n ∈ N
Propiedad degradativa de los semifactoriales
Propiedad 08:
Producto de los semifactoriales de enteros consecutivos:
Propiedad 09:
Si:
Propiedad 10:
Si:
Propiedad 11:
Relación de los semifactoriales y el factorial:
El Coeficiente Binomial
Sean m ∈ R y n ∈ R tales que m ≥ n, llamaremos coeficiente binomial a:
Se calcula mediante:
También:
El Coeficiente Polinomial
Sean los elementos de N, tales que:
Llamaremos coeficiente polinómico o multinómico al símbolo:
Formula:
Consecuencia:
Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales
Propiedad 01:
Propiedad 02:
Propiedad 03:
Propiedad 04:
Propiedad de los coeficientes binomiales complementarios:
Propiedad 05:
Suma de pares de coeficientes binomiales:
Propiedad 06:
Suma de C.B. de inferiores iguales y superiores decrecientes:
Propiedad 07:
Suma de equivalentes en la versión de complementos:
Donde: m, n ∈ N, m > n
Propiedad 08:
Propiedad 09:
Donde: m ∈ N impares
Propiedad 10:
Donde: m ∈ N pares
Propiedad 11:
Donde: m, n, p ∈ N
Propiedad 12:
Igualdad de coeficientes binomiales:
También
Propiedad 13:
Propiedades degradativas de los coeficientes binomiales:
Degradación del exponente superior e inferior; n ∈ R ; k ∈ N
Degradación únicamente del índice superior; n ∈ R ; k ∈ N
Degradación únicamente del índice inferior; n ∈ R ; k ∈ N
Potenciación
La potenciación de exponente “n” es una operación que a cada para de números reales “x” , “n”, se le asigna la regla de correspondiente “x”.
Veamos a continuación la demostración:
A partir de la equivalencia notable:
Si hacemos: a1 = a2 = a3 = … = an = y
Por lo tanto la igualdad se transforma en:
El cual puede expresar mediante sumatoria como:
Término General
Término Central
Los Términos Centrales
Los Términos T Y T´ Equidistantes del Desarrollo de (x +y)n
Descripción de las Características de la Expansión (x +y)n ; x ∈ N
1º El desarrollo consta de “n + 1” términos; los cuales se determinaron de combinar repetidamente las variables “x” e “y” en grupos “n” es decir también el número de términos de (x +y)n será:
2º Si se tiene: (x + y)n
Los términos del desarrollo tienen signos positivos, con x > 0 ; y >0
Si se tiene: (x − y)n
Los términos del desarrollo tienen signos alternados, primero positivo con x > 0 ; y >0
Si se tiene: (−x − y)n
Con n par, todos los términos tienen signos positivos.
Si se tiene: (−x − y)n
Con n impar, todos los términos tienen signos negativos.
Si se tiene: (−x + y)n
Con n par, todos los términos tienen signos alternados empezando con positivo.
Si se tiene: (−x + y)n
Con n impar, todos los términos tienen signos alternados empezando con negativo.
3º Los coeficientes de cada término son números combinatorios o coeficientes binomiales de la forma.
4º Los coeficientes binomiales de los términos equidistantes de los extremos son iguales entre si, siempre que (n + 1) sea par, en caso contrario, el termino central único carece de pareja.
5º Sea:
El desarrollo de la expresión posee infinitos términos el cual estará sujeto a la condición de convergencia siguiente:
En caso contrario el desarrollo carece de sentido.
Triángulo Aritmético y el Teorema del Binomio de Newton
Los elementos de las filas y diagonales del triángulo aritmético corresponden a las expansiones de los binomios de Newton conforme se muestra.
Suma de Coeficientes de (x +y)n
En:
Suma de Exponentes del Desarrollo de (xα + yβ)n
Coeficiente de Máximo Valor Absoluto de (x +y)n
Si:
Si:
orresponden a los términos centrales.
Término de Máximo Valor Absoluto de (x +y)m
Si el término “Tk+1” es el de máximo valor absoluto.
Ejemplos de Binomio de Newton
Ahora veremos algunos ejemplos de binomio de newton.
Ejemplo 01:
Calcular:
Resolución:
Recordemos la propiedad:
Entonces:
Extrayendo factor común en los denominadores:
Simplificando:
Ejemplo 02:
Simplificar:
Resolución:
Recordemos la propiedad:
Entonces:
Reduciendo:
Recordemos:
Entonces:
Ejemplo 03:
Hallar “x”:
Resolución:
Transformando el primer miembro:
Factorizando en el denominador:
Reduciendo:
Ejemplo 04:
Resolver:
Resolución:
Apoyándonos con la propiedad:
Degradación únicamente del índice superior; n ∈ R ; k ∈ N
Entonces en nuestro problema:
Eliminado términos semejantes en ambos miembros:
Ejemplo 05:
Hallar «n» en:
Resolución:
Con las propiedades del problema anterior:
Simplificando:
Ejemplo 06:
Encontrar el cuarto término de:
Resolución:
Recordemos la fórmula del término general:
Nos pide el cuarto término entonces k = 3, entonces tenemos:
Ejemplo 07:
La suma de los coeficientes en el desarrollo del siguiente ejercicio sera:
Resolución:
Para encontrar la sumatoria de coeficientes, debemos hacer:
Entonces reemplazando:
Ejercicios de Binomio de Newton
En esta sección te compartiremos varios problemas de binomio de newton resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Binomio de Newton
Aquí te compartiremos un documento que contiene 24 problemas resueltos de binomio de newton, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Binomio de Newton
Aquí te compartiremos un documento que contiene 55 problemas del binomio de newton, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Binomio de Newton para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de binomio de newton para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de segunda ley de newton en un conjunto de cuerpos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de segunda ley de newton para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de teoría de binomio de newton para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
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Extraordinario. Muy buen trabajo. Y muchas gracias por compartir. En beneficio de la Juventud. …