ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Áreas de Regiones Sombreadas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a las Áreas de Regiones Sombreadas

El problema de la determinación de áreas de regiones se remonta a la antigüedad y surgió como producto de la actividad práctica del hombre; por ejemplo, ante la necesidad de medir terrenos de cultivos, terrenos para viviendas, etc. Los cuales estaban limitados por ciertas figuras (líneas cerradas).

Pero en este desarrollo surgen muchas interrogantes, como por ejemplo, ¿Cómo medir la porción de plano que encierra una línea?, ¿Cómo podemos comparar la parte del plano encerrada por una línea con la parte del plano que encierra otra? ¿Cómo podríamos describir la porción de plano que encierra una línea cualquiera y de qué manera podríamos medirla?.

Todas estas y otras interrogantes admiten respuestas concretas que se van a dar en el presente capítulo, las cuales nos darán más claridad en el manejo del área en nuestro propio entorno.

Región Plana y Área

Región Plana:

Es una porción de plano limitada por una línea cerrada, también llamada frontera de la región, las regiones principales a tratarse en este capítulo son las regiones poligonales (triangular, cuadrangular, etc. ) y la región curvilínea ( círculo ) y algunas regiones mixtilíneas.

Área:

Valor numérico de una región plana o superficie. El área de una región es igual a la cantidad de veces que la unidad de área está contenida en dicha región.

Así por ejemplo, si la unidad de área es 1cm², entonces el área del rectángulo mostrado es igual a 40 cm².

Unidad de Área

El estudio de las áreas de las regiones planas es bastante amplio y complejo. En el presente capítulo estudiaremos solamente las áreas de las diferentes regiones poligonales y circulares. En la práctica es común el cálculo del área de un terreno, el área de una pizarra, el área de un tablero de una mesa, el área de una pared, etc.

Observación:

Se debe decir, “Hallar el área de la región sombreada”, porque la región sí se puede sombrear, pero no se debe decir “área sombreada” porque el área es un valor numérico.

Áreas de Regiones Triangulares

El área del triángulo sea este acutángulo, obtusángulo o rectángulo, conociendo su base(b) y su altura (h se halla con:

Áreas de Regiones Triangulares

El área del triángulo equilátero conociendo su lado

Triángulo Equilátero

El área del triángulo equilátero conociendo su altura “h”

Triángulo Equilátero Altura

El área de cualquier triángulo conociendo 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Triángulo Lados

El área de un triángulo conociendo sus tres lados (Teorema de Heron)

Teorema de Heron

Área de un triángulo en función de sus tres alturas; conociendo las alturas AQ = ha , BR = hb y CP = hc ; el área del triángulo ABC es:

Área del Triángulo

Donde:

Formulación Área del Triángulo

Área de un triángulo cualesquiera circunscrito a una circunferencia de inradio “r”

Circunscrito a una Circunferencia

Área de un triángulo cualesquiera inscrito en una circunferencia de circunradio “R”

Circunferencia de Circunradio

El área de una región triangular es igual al producto entre la diferencia de su semiperímetro y un lado, y el exradio a dicho lado.

El área de una región triangular

Conociendo los tres lados del triángulo podemos determinar el semiperímetro

Semiperímetro

El área será:

Ejemplo Semiperimetro

El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto entre su inradio y sus tres exradios.

El área de una región triangular por Raiz

En el gráfico se cumple la siguiente relación entre los exradios y el inradio del triángulo ABC.

Relación entre los Exradios y el Inradio del Triángulo

Donde se conoce que:

r : inradio
R : circunradio
ra, rb, rc : exradios

Área de un triángulo en función de sus tres medianas; conociendo las medianas AM=ma , BN=mb y CP=mc , el área del triángulo ABC es:

Área de un triángulo en función de sus tres medianas

Conociendo las alturas AQ = ha , BR = hb y CP = hc y de inradio “r” se cumple que:

Formula de Alturas

Área del Triángulo Rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia inscrita al triángulo.

Área Del Triángulo Rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita relativa hacia la hipotenusa del triángulo.

Hipotenusa del Triángulo.

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita relativa a un cateto del triángulo.

Cateto del Triángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto del inradio y el exradio relativo hacia la hipotenusa del triángulo.

Ejemplo Hipotenusa del Triángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los exradios relativos a cada uno de sus catetos.

El Área de un Triángulo Rectángulo

Teoremas para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Estos teoremas nos permiten relacionar las áreas de dos triángulos que tienen algún elemento en común, el cual puede ser un ángulo, un lado, una altura, etc.

Teorema I

La relación de las áreas de dos triángulos que tienen una altura común, es igual a la relación de las bases.

Teoremas para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Los triángulos ABP y PBC tienen una altura común BM, luego:

Ejemplo Teoremas para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Teorema II

Si dos regiones triangulares tienen un lado de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de sus alturas relativas a dichos lados.

Teorema 2 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

En el gráfico AC=DE=b

Se cumple que:

Formulación Teorema 2 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Corolarios

a) Todo triángulo es dividido en dos triángulos equivalentes por una de sus medianas.

Corolarios

b) El área de un triángulo es el cuádruplo del área del triángulo formado al unir los puntos medios de dos lados.

Cuadruplo del Área del Triángulo

Si P y Q son puntos medios, se cumple que:

Propiedad Cuadruplo del Área del Triángulo

c) Todo triángulo s dividido en seis triángulos equivalentes por sus tres medianas.

Si “G” es el Baricentro entonces:

Ejemplo Propiedad Cuadruplo del Área del Triángulo

d) En todo triángulo se cumple que las áreas de los triángulos formados al trazar una bisectriz interior, son proporcionales a los lados concurrentes con dicha bisectriz.

Bisectriz Interior

Si BP es una bisectriz interior entonces:

Formulacion Bisectriz Interior

Teorema III

Si dos regiones triangulares tienen uno de sus ángulos de igual medida o suplementarios, se cumple que sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan a dichos ángulos.

Primer caso:

Teorema 3 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

En el gráfico: m ∡ PMN = m ∡BAC = θ

Se cumple:

Caso 1 Teorema 3 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Segundo Caso:

Caso 2 Teorema 3 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

En el grafico m ∡ PMN y m ∡ BAC son suplementarios, es decir: α+ θ=180°

Se cumple que:

Ejemplo Caso 2 Teorema 3 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Teorema IV

Si dos regiones triangulares son semejantes, se cumple que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas

Teorema 4 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

En el gráfico: Δ ABC ∼ Δ MNP, se cumple que:

Caso 1 Teorema 4 para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos

Esta propiedad de relación de áreas se generaliza y se cumple que en dos regiones semejantes cualesquiera, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas.

Analizar y explicar la siguiente proposición

Al trazar una bisectriz interior relativa a uno de los lados de un triángulo cualesquiera, esta divide al triangulo en dos triángulos parciales, en donde sus áreas son proporcionales a los lados de donde partió la bisectriz. ¿Será cierto que las áreas de estos triángulos parciales sean proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz?

Áreas de Regiones Cuadrangulares

¿Qué es una región Cuadrangular?

Es una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero; esta región puede ser convexa o no convexa. Ahora pasaremos a estudiar las principales expresiones para el cálculo de las áreas de las regiones cuadrangulares, en función de ciertas dimensiones de dicho cuadrilátero.

Fórmula General

El área de una región cuadrangular convexa o no convexa es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.

Áreas de Regiones Cuadrangulares

Para el cuadrilátero convexo ABCD:

Formula General Áreas de Regiones Cuadrangulares

Para el cuadrilátero cóncavo MNLP:

Cuadrilátero Cóncavo

Área de una región Trapecial

El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.

Área de una región Trapecial

Además, si “m” es la mediana del trapecio

Área Mediana de una región Trapecial

Teorema

El área de una región trapecial, es igual al producto de la longitud de un lado lateral y la distancia del punto medio del otro lado lateral hacia él.

Teorema Área de una región Trapecial

Propiedad:

En todo trapecio, al trazar las dos diagonales las áreas de los triángulos que están conformados por los lados no paralelos y por parte de las dos diagonales  son congruentes

Propiedad Área de una región Trapecial

Se cumple que:

Ejemplo Propiedad Área de una región Trapecial

También:

Formulación Propiedad Área de una región Trapecial

* Si representamos con  el área total del trapecio se cumple:

Representación Propiedad Área de una región Trapecial

* En un trapecio cualesquiera

Ejercicio Propiedad Área de una región Trapecial

El área de un cuadrado se puede hallar conociendo uno de sus lados o una diagonal.

Área de un Cuadrado Lados

El área de un rectángulo está dado por el producto entre su base y su altura respectiva

Área de un Rectángulo altura Respectiva

* Área de un Romboide

Área de un Romboide

*   Área de un Rombo

Área de un Rombo

*   En un paralelogramo cualesquiera si AT representa el área total.

Área del Paralelogramo

En todo cuadrilátero se cumple que:

Área del Cuadrilátero

En todo cuadrilátero se cumple que:

Ejercicio del Cuadrilátero

Si M, N, A1 y A2 representan las áreas de los triángulos mostrados, se cumple que:

Áreas de los Triángulos

*   En todo trapecio se cumple que:

Áreas de los Trapecio

Fórmula de Bramaghupta

El área de una región cuadrangular inscrita o inscriptible en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias del semiperímetro de dicha región cuadrangular con la longitud de cada uno de sus lados.

Fórmula de Bramaghupta

Si representamos el semiperímetro por:

Ejemplo Fórmula de Bramaghupta

Propiedad:

El área de un región cuadrangular circunscrita a una circunferencia es igual al producto del semiperímetro de dicha región con el radio de la circunferencia inscrita (inradio del cuadrilatero)

Propiedad Fórmula de Bramaghupta

Área de Regiones Circulares

¿Qué es un Círculo?

Es una porción de plano cuyo contorno es una circunferencia. Ahora pasaremos a estudiar el cálculo del área del círculo y además definir y calcular el área de las principales porciones de círculo.

Área de un Círculo

Área de un Círculo

Si el diámetro es: D=2r

Formula Área de un Círculo

Sector Circular:

Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.

Sector Circular

En el gráfico:

R : radio del sector circular AOB
θ : medida del ángulo central

Formula Sector Circular

Además si “L” es la longitud del arco AB

Formula del Área Sector Circular

Corona Circular:

Es aquella región plana limitada por dos circunferencias concéntricas.

Corona Circular

En la figura, las circunferencias de radios R y r determinan la corona circular.

Formula Corona Circular

También, si T es punto de tangencia y AB = a, se cumplirá que:

Formula Área Corona Circular

Segmento Circular:

Es aquella porción de círculo limitada por una cuerda de dicho círculo y el arco que subtiende dicha cuerda.

Segmento Circular

En el gráfico:

r  : radio
α : medida del ángulo central correspondiente al segmento circular.

Formula Segmento Circular

Trapecio Circular:

Trapecio Circular

En el gráfico, la región sombreada se denomina trapecio circular.

θ : medida del ángulo central
R y r : radios

Formula Trapecio Circular

Si L1 y L2 son las longitudes de los arcos AB y CD respectivamente y R – r = d, se cumple que:

Ejemplo Formula Trapecio Circular

Teorema:

Al trazar regiones semejantes sobre los lados de un triángulo rectángulo, de modo que dichos lados del triángulo sean líneas homólogas de las regiones semejantes; se cumple que el área de la región trazada sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las regiones trazadas sobre los catetos.

Teorema Formula Trapecio Circular

En el gráfico las regiones sobre los catetos y la hipotenusa cuyas áreas son A1 , A2  y A3 respectivamente en la cuales AB, BC y AC son sus correspondientes líneas homólogas, se cumple que:

Formula Teorema Formula Trapecio Circular

Lúnulas de Hipócrates:

Lúnulas de Hipócrates

En el gráfico; se muestran dos lúnulas de áreas S1 y S2 determinadas por las semicircunferencias de diámetros Ab, BC y Ac; se cumple:

Ejemplo Lúnulas de Hipócrates

Propiedades Adicionales

*  En todo cuadrado si AT representa el área total del cuadrado se cumple que:

Propiedad Lúnulas de Hipócrates

Ejemplo Propiedad Lúnulas de Hipócrates

*  En todo paralelogramo si AT representa el área total del cuadrado se cumple que:

Área del Paralelogramo de un Cuadrado

*  Área del pescadito

Área del pescadito

Ejemplos de Áreas de Regiones Geométricas

Ejemplo 01:

Hallar DB, si el área sombreada es 13m², además CO=8m y CB=10m.

Ejercicio 1 de Areas de Regiones Geométricas

Resolución:

Resolución Ejercicio 1 de Áreas de Regiones Geométricas

Se observa que:

Solución Ejercicio 1 de Áreas de Regiones Geométricas

En el triángulo rectángulo notable CEB

Proceso Ejercicio 1 de Áreas de Regiones Geométricas

Del gráfico:

Conclusión Ejercicio 1 de Áreas de Regiones Geométricas

El área sombreada es:

Respuesta Ejercicio 1 de Áreas de Regiones Geométricas

Ejemplo 02:

Hallar el área de la región sombreada. Si OE=EB=√3, además: OA=OB.

Ejercicio 2 de Areas de Regiones Geométricas

Resolución:

Solución Ejercicio 2 de Areas de Regiones Geométricas

Del gráfico podemos decir:

Respuesta Ejercicio 2 de Areas de Regiones Geométricas

Ejemplo 03:

Si: r=2m. Calcular el área de la región sombreada.

Ejercicio 3 de Áreas de Regiones Geométricas

Resolución:

Respuesta Ejercicio 3 de Áreas de Regiones Geométricas

Ejemplo 04:

De la figura mostrada, sobre el lado mayor del paralelogramo se ha trazado un semicírculo, calcule el área de la región sombreada.

Ejercicio 4 de Áreas de Regiones Geométricas

Resolución:

Resolución Ejercicio 4 de Áreas de Regiones Geométricas

Reemplazando en ( I )

Respuesta Ejercicio 4 de Áreas de Regiones Geométricas

Ejercicios de Áreas de Regiones Sombreadas 

En esta sección te compartiremos varios problemas de áreas de regiones sombreadas resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Áreas de Regiones Sombreadas 

Aquí te compartiremos un documento que contiene 19 problemas resueltos de áreas de regiones sombreadas , te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Áreas de Regiones Sombreadas 

Aquí te compartiremos un documento que contiene 64 problemas de áreas de regiones sombreadas , te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Áreas de Regiones Sombreadas para Primaria

Ahora te dejaremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de áreas de regiones sombreadas para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

En esta sección te compartiremos los enlaces de las fichas cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 4to grado de primaria, esperamos que sea de ayuda:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Son cinco fichas educativas relacionadas con los temas de áreas sombreadas para 5to grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son 2 fichas educativas de pirámides y conos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Áreas de Regiones Sombreadas para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de áreas de regiones sombreadas  para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

En esta sección te dejaremos los enlaces de algunas fichas cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 1er grado de secundaria, esperamos que te sirva:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

En esta parte te compartiremos los enlaces de algunos materiales educativos cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 2do grado de secundaria, esperamos que sea de ayuda:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

En esta parte te dejaremos los link de algunos recursos educativos cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 3er grado de secundaria:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los link de algunas fichas educativas que están relacionadas con el tema de áreas sombreadas para 4to grado de secundaria:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos algunos link que te enviaran al lugar donde podrás obtener estos materiales educativos relacionados con el tema de áreas de regiones sombreadas para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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