Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Áreas de Regiones Sombreadas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Introducción a las Áreas de Regiones Sombreadas
El problema de la determinación de áreas de regiones se remonta a la antigüedad y surgió como producto de la actividad práctica del hombre; por ejemplo, ante la necesidad de medir terrenos de cultivos, terrenos para viviendas, etc. Los cuales estaban limitados por ciertas figuras (líneas cerradas).
Pero en este desarrollo surgen muchas interrogantes, como por ejemplo, ¿Cómo medir la porción de plano que encierra una línea?, ¿Cómo podemos comparar la parte del plano encerrada por una línea con la parte del plano que encierra otra? ¿Cómo podríamos describir la porción de plano que encierra una línea cualquiera y de qué manera podríamos medirla?.
Todas estas y otras interrogantes admiten respuestas concretas que se van a dar en el presente capítulo, las cuales nos darán más claridad en el manejo del área en nuestro propio entorno.
Región Plana y Área
Región Plana:
Es una porción de plano limitada por una línea cerrada, también llamada frontera de la región, las regiones principales a tratarse en este capítulo son las regiones poligonales (triangular, cuadrangular, etc. ) y la región curvilínea ( círculo ) y algunas regiones mixtilíneas.
Área:
Valor numérico de una región plana o superficie. El área de una región es igual a la cantidad de veces que la unidad de área está contenida en dicha región.
Así por ejemplo, si la unidad de área es 1cm², entonces el área del rectángulo mostrado es igual a 40 cm².
El estudio de las áreas de las regiones planas es bastante amplio y complejo. En el presente capítulo estudiaremos solamente las áreas de las diferentes regiones poligonales y circulares. En la práctica es común el cálculo del área de un terreno, el área de una pizarra, el área de un tablero de una mesa, el área de una pared, etc.
Observación:
Se debe decir, “Hallar el área de la región sombreada”, porque la región sí se puede sombrear, pero no se debe decir “área sombreada” porque el área es un valor numérico.
Áreas de Regiones Triangulares
El área del triángulo sea este acutángulo, obtusángulo o rectángulo, conociendo su base(b) y su altura (h se halla con:
El área del triángulo equilátero conociendo su lado
El área del triángulo equilátero conociendo su altura “h”
El área de cualquier triángulo conociendo 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
El área de un triángulo conociendo sus tres lados (Teorema de Heron)
Área de un triángulo en función de sus tres alturas; conociendo las alturas AQ = ha , BR = hb y CP = hc ; el área del triángulo ABC es:
Donde:
Área de un triángulo cualesquiera circunscrito a una circunferencia de inradio “r”
Área de un triángulo cualesquiera inscrito en una circunferencia de circunradio “R”
El área de una región triangular es igual al producto entre la diferencia de su semiperímetro y un lado, y el exradio a dicho lado.
Conociendo los tres lados del triángulo podemos determinar el semiperímetro
El área será:
El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto entre su inradio y sus tres exradios.
En el gráfico se cumple la siguiente relación entre los exradios y el inradio del triángulo ABC.
Donde se conoce que:
r : inradio
R : circunradio
ra, rb, rc : exradios
Área de un triángulo en función de sus tres medianas; conociendo las medianas AM=ma , BN=mb y CP=mc , el área del triángulo ABC es:
Conociendo las alturas AQ = ha , BR = hb y CP = hc y de inradio “r” se cumple que:
Área del Triángulo Rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia inscrita al triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita relativa hacia la hipotenusa del triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la hipotenusa, por el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita relativa a un cateto del triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto del inradio y el exradio relativo hacia la hipotenusa del triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los exradios relativos a cada uno de sus catetos.
Teoremas para Relacionar las Áreas de Dos Triángulos
Estos teoremas nos permiten relacionar las áreas de dos triángulos que tienen algún elemento en común, el cual puede ser un ángulo, un lado, una altura, etc.
Teorema I
La relación de las áreas de dos triángulos que tienen una altura común, es igual a la relación de las bases.
Los triángulos ABP y PBC tienen una altura común BM, luego:
Teorema II
Si dos regiones triangulares tienen un lado de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de sus alturas relativas a dichos lados.
En el gráfico AC=DE=b
Se cumple que:
Corolarios
a) Todo triángulo es dividido en dos triángulos equivalentes por una de sus medianas.
b) El área de un triángulo es el cuádruplo del área del triángulo formado al unir los puntos medios de dos lados.
Si P y Q son puntos medios, se cumple que:
c) Todo triángulo s dividido en seis triángulos equivalentes por sus tres medianas.
Si “G” es el Baricentro entonces:
d) En todo triángulo se cumple que las áreas de los triángulos formados al trazar una bisectriz interior, son proporcionales a los lados concurrentes con dicha bisectriz.
Si BP es una bisectriz interior entonces:
Teorema III
Si dos regiones triangulares tienen uno de sus ángulos de igual medida o suplementarios, se cumple que sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan a dichos ángulos.
Primer caso:
En el gráfico: m ∡ PMN = m ∡BAC = θ
Se cumple:
Segundo Caso:
En el grafico m ∡ PMN y m ∡ BAC son suplementarios, es decir: α+ θ=180°
Se cumple que:
Teorema IV
Si dos regiones triangulares son semejantes, se cumple que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas
En el gráfico: Δ ABC ∼ Δ MNP, se cumple que:
Esta propiedad de relación de áreas se generaliza y se cumple que en dos regiones semejantes cualesquiera, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas.
Analizar y explicar la siguiente proposición
Al trazar una bisectriz interior relativa a uno de los lados de un triángulo cualesquiera, esta divide al triangulo en dos triángulos parciales, en donde sus áreas son proporcionales a los lados de donde partió la bisectriz. ¿Será cierto que las áreas de estos triángulos parciales sean proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz?
Áreas de Regiones Cuadrangulares
¿Qué es una región Cuadrangular?
Es una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero; esta región puede ser convexa o no convexa. Ahora pasaremos a estudiar las principales expresiones para el cálculo de las áreas de las regiones cuadrangulares, en función de ciertas dimensiones de dicho cuadrilátero.
Fórmula General
El área de una región cuadrangular convexa o no convexa es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.
Para el cuadrilátero convexo ABCD:
Para el cuadrilátero cóncavo MNLP:
Área de una región Trapecial
El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.
Además, si “m” es la mediana del trapecio
Teorema
El área de una región trapecial, es igual al producto de la longitud de un lado lateral y la distancia del punto medio del otro lado lateral hacia él.
Propiedad:
En todo trapecio, al trazar las dos diagonales las áreas de los triángulos que están conformados por los lados no paralelos y por parte de las dos diagonales son congruentes
Se cumple que:
También:
* Si representamos con el área total del trapecio se cumple:
* En un trapecio cualesquiera
* El área de un cuadrado se puede hallar conociendo uno de sus lados o una diagonal.
* El área de un rectángulo está dado por el producto entre su base y su altura respectiva
* Área de un Romboide
* Área de un Rombo
* En un paralelogramo cualesquiera si AT representa el área total.
* En todo cuadrilátero se cumple que:
* En todo cuadrilátero se cumple que:
Si M, N, A1 y A2 representan las áreas de los triángulos mostrados, se cumple que:
* En todo trapecio se cumple que:
Fórmula de Bramaghupta
El área de una región cuadrangular inscrita o inscriptible en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias del semiperímetro de dicha región cuadrangular con la longitud de cada uno de sus lados.
Si representamos el semiperímetro por:
Propiedad:
El área de un región cuadrangular circunscrita a una circunferencia es igual al producto del semiperímetro de dicha región con el radio de la circunferencia inscrita (inradio del cuadrilatero)
Área de Regiones Circulares
¿Qué es un Círculo?
Es una porción de plano cuyo contorno es una circunferencia. Ahora pasaremos a estudiar el cálculo del área del círculo y además definir y calcular el área de las principales porciones de círculo.
Área de un Círculo
Si el diámetro es: D=2r
Sector Circular:
Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.
En el gráfico:
R : radio del sector circular AOB
θ : medida del ángulo central
Además si “L” es la longitud del arco AB
Corona Circular:
Es aquella región plana limitada por dos circunferencias concéntricas.
En la figura, las circunferencias de radios R y r determinan la corona circular.
También, si T es punto de tangencia y AB = a, se cumplirá que:
Segmento Circular:
Es aquella porción de círculo limitada por una cuerda de dicho círculo y el arco que subtiende dicha cuerda.
En el gráfico:
r : radio
α : medida del ángulo central correspondiente al segmento circular.
Trapecio Circular:
En el gráfico, la región sombreada se denomina trapecio circular.
θ : medida del ángulo central
R y r : radios
Si L1 y L2 son las longitudes de los arcos AB y CD respectivamente y R – r = d, se cumple que:
Teorema:
Al trazar regiones semejantes sobre los lados de un triángulo rectángulo, de modo que dichos lados del triángulo sean líneas homólogas de las regiones semejantes; se cumple que el área de la región trazada sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las regiones trazadas sobre los catetos.
En el gráfico las regiones sobre los catetos y la hipotenusa cuyas áreas son A1 , A2 y A3 respectivamente en la cuales AB, BC y AC son sus correspondientes líneas homólogas, se cumple que:
Lúnulas de Hipócrates:
En el gráfico; se muestran dos lúnulas de áreas S1 y S2 determinadas por las semicircunferencias de diámetros Ab, BC y Ac; se cumple:
Propiedades Adicionales
* En todo cuadrado si AT representa el área total del cuadrado se cumple que:
* En todo paralelogramo si AT representa el área total del cuadrado se cumple que:
* Área del pescadito
Ejemplos de Áreas de Regiones Geométricas
Ejemplo 01:
Hallar DB, si el área sombreada es 13m², además CO=8m y CB=10m.
Resolución:
Se observa que:
En el triángulo rectángulo notable CEB
Del gráfico:
El área sombreada es:
Ejemplo 02:
Hallar el área de la región sombreada. Si OE=EB=√3, además: OA=OB.
Resolución:
Del gráfico podemos decir:
Ejemplo 03:
Si: r=2m. Calcular el área de la región sombreada.
Resolución:
Ejemplo 04:
De la figura mostrada, sobre el lado mayor del paralelogramo se ha trazado un semicírculo, calcule el área de la región sombreada.
Resolución:
Reemplazando en ( I )
Ejercicios de Áreas de Regiones Sombreadas
En esta sección te compartiremos varios problemas de áreas de regiones sombreadas resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Áreas de Regiones Sombreadas
Aquí te compartiremos un documento que contiene 19 problemas resueltos de áreas de regiones sombreadas , te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Áreas de Regiones Sombreadas
Aquí te compartiremos un documento que contiene 64 problemas de áreas de regiones sombreadas , te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Áreas de Regiones Sombreadas para Primaria
Ahora te dejaremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de áreas de regiones sombreadas para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Cuarto Grado de Primaria
En esta sección te compartiremos los enlaces de las fichas cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 4to grado de primaria, esperamos que sea de ayuda:
- Ficha 01 – Superficie de Figuras Geométricas Triangulares
- Ficha 02 – Superficie de Figuras Geométricas Cuadrangulares
- Ficha 03 – Superficie de Figuras Geométricas Circulares y Semicirculares
Fichas para Quinto Grado de Primaria
Son cinco fichas educativas relacionadas con los temas de áreas sombreadas para 5to grado de primaria que te compartiremos en seguida:
- Ficha 01 – Área de una Región Triangular
- Ficha 02 – Área de una Región Cuadrangular
- Ficha 03 – Área de una Región Trapecial
- Ficha 04 – Área de una Región Circular
- Ficha 05 – Relación entre Áreas
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Son 2 fichas educativas de pirámides y conos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:
- Ficha 01 – Área de los Triángulos
- Ficha 02 – Área de los Cuadriláteros
- Ficha 03 – Área de los Círculos
Áreas de Regiones Sombreadas para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de áreas de regiones sombreadas para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
En esta sección te dejaremos los enlaces de algunas fichas cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 1er grado de secundaria, esperamos que te sirva:
- Ficha 01 – Área de Regiones Triangulares
- Ficha 02 – Área de Regiones Cuadrangulares
- Ficha 03 – Área de Regiones Circulares
- Ficha 04 – Relación entre Áreas
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
En esta parte te compartiremos los enlaces de algunos materiales educativos cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 2do grado de secundaria, esperamos que sea de ayuda:
- Ficha 01 – Áreas de Regiones Triangulares
- Ficha 02 – Áreas de Regiones Cuadrangulares
- Ficha 03 – Áreas de Regiones Circulares
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
En esta parte te dejaremos los link de algunos recursos educativos cuyos temas están relacionados con el tema de áreas sombreadas para 3er grado de secundaria:
- Ficha 01 – Áreas de los Triángulos
- Ficha 02 – Áreas de los Cuadriláteros
- Ficha 03 – Áreas de los Círculos
- Ficha 04 – Relación de Áreas entre Triángulos y Cuadrilateros
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos los link de algunas fichas educativas que están relacionadas con el tema de áreas sombreadas para 4to grado de secundaria:
- Ficha 01 – Área de una Región Triangular
- Ficha 02 – Área de una Región Cuadrangular
- Ficha 03 – Área de una Región Circular
- Ficha 04 – Área de los Polígonos
- Ficha 05 – Relación de Áreas
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Para finalizar te dejaremos algunos link que te enviaran al lugar donde podrás obtener estos materiales educativos relacionados con el tema de áreas de regiones sombreadas para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:
- Ficha 01 – Áreas de Regiones Triangulares
- Ficha 02 – Áreas de Regiones Cuadrangulares
- Ficha 03 – Áreas de Regiones Circulares
- Ficha 04 – Área de Polígonos Circunscritos en una Circunferencia
- Ficha 05 – Relación de Áreas
Otros Temas Relacionados
Muy bueno el resúmen, detallado y claro.
Muchas gracias por el material, muy interesante 🙂
agradecería si pudiesen mostrar detalladamente cómo se calcula el «área del pescadito»