Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Relaciones Métricas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Introducción a las Relaciones Métricas
Nos damos cuenta que en nuestro entorno ciertos fenómenos o sucesos están relacionados de alguna manera. Por ejemplo en la naturaleza, la temperatura influye en los cambios de estado del agua; en la sociedad, todo cambio en lo político y económico esta relacionado con los cambios sociales.
Así mismo al analizar u observar diversos objetos nos damos cuenta que sus dimensiones se relacionan entre si de acuerdo a la forma que presentan dichos objetos.
Es así, como en las figuras geométricas estudiaremos las principales relaciones entre las longitudes de las líneas que se asocian a ellas; las cuales también eran usadas por el hombre en la antigüedad para poder hacer diversas medidas angulares o longitudinales relacionándolos con determinadas figuras.
Proyección Ortogonal sobre una Recta
La proyección ortogonal de un punto P, sobre una recta L, es el pie de la perpendicular trazada desde P hacia L, asimismo la proyección de un segmento (cualquier figura, en general), se obtiene de proyectar todos los puntos de dicha figura, sobre la recta.
- P’ es la proyección ortogonal de P sobre la recta L; PP´ es la proyectante.
- A´B´ es la proyección ortogonal de AB sobre la recta L; AA´ es la proyectante, BB´ es la proyectante…. etc.
- Q´R es la proyección ortogonal de QR sobre la recta L.
- M´N´ es la proyección ortogonal de MN sobre la recta L.
Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo
I. En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. (Teorema de Pitágoras).
II. En todo triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es media proporcional entre la longitud de su proyección sobre la hipotenusa y la longitud de la hipotenusa.
III. En todo triángulo rectángulo, la longitud de su altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las longitudes de los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa.
IV. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de los catetos, es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa por la altura relativa a ella.
V. En todo triángulo rectángulo, la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual a la inversa del cuadrado de la longitud de la altura trazada a la hipotenusa.
Relaciones Métricas en Triángulos Oblicuángulos
Teoremas de Euclides
I) En el triángulo acutángulo
En todo triángulo acutángulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección del otro lado sobre el lado que se considera para el doble producto.
II) En el triángulo obtusángulo
En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado que se opone al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección del otro lado sobre el lado que se considera para el doble producto.
Teorema de Herón de Alejandría
Se utiliza para calcular la longitud de la altura de un triángulo en función de las longitudes de los lados del triángulo y también para determinar su área respectiva
Teorema de la Mediana
En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana trazada al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud del tercer lado.
Teorema de la Proyección de la Mediana
En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble producto de la longitud del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado.
Relación entre medianas y lados de un triángulo cualesquiera
Teorema de Stewart
Se utiliza para calcular la longitud de una ceviana cualquiera en función de las longitudes de los lados del triángulo y de las longitudes de los segmentos que determinan dicha ceviana sobre el tercer lado.
Si BD es ceviana:
Teorema de Euler
En todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus diagonales más cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales.
Este teorema se demuestra al aplicar el teorema de la mediana en los triángulos ABC y ADC para mas medianas BM y DM, luego aplicamos de nuevo el teorema de la mediana en el triángulo BMD.
Relaciones Métricas en la Circunferencia
Teorema de las Cuerdas
Si por un punto interior a una circunferencia, se trazan dos o más cuerdas, el producto de las longitudes de los segmentos determinados en una cuerda cualquiera, es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en cualquier otra cuerda.
Teorema de las Secantes
Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o más secantes, el producto de la longitud de una secante entera por la longitud de su parte externa es igual al producto de la longitud de otra secante entera por la longitud de su parte externa.
Teorema de la Tangente
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan la tangente y una secante, la longitud de la tangente es media proporcional entre la longitud de la secante entera y la longitud de su parte externa.
Teorema de Ptolomeo
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del producto de las longitudes de los lados opuestos.
Teorema de Vietta
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, la razón entre las longitudes de las diagonales es igual a la razón de la suma del producto de las longitudes de los lados que concurren en los extremos de cada diagonal.
Teorema de Pachein
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, la razón entre las longitudes de los segmentos determinados en una de las diagonales al intersecarle la otra diagonal es igual a la razón del producto de las longitudes de los lados que concurren en los extremos de la diagonal en el que se determinaron los segmentos.
Teorema de Chadu
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, si dos lados y una diagonal del cuadrilátero determinan un triángulo equilátero, entonces la diagonal que no participo es igual a la suma de los otros dos lados que no participaron del cuadrilátero.
Rectas Isogonales
Son aquellas que, partiendo del vértice, forman ángulos congruentes con los lados de un ángulo. Se dice también que la rectas m y n son simétricas, respecto a la bisectriz del mismo ángulo.
Teorema de las Rectas Isogonales
En todo triángulo, el producto de las longitudes de dos lados, es igual al producto de las longitudes de los segmentos isogonales correspondientes al ángulo que forman dichos lados, uno de ellos limitado por el tercer lado del triángulo y el otro por la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Propiedad:
En todo triángulo inscrito en una circunferencia, al trazar una altura se cumple que el producto de los lados de donde parte la altura es igual producto entre el diámetro de la circunferencia y la altura relativa al tercer lado.
Ejemplos de Relaciones Metricas
Ejemplo 01:
En un triángulo, si la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos que une su circuncentro con los excentros y con el incentro de dicho triángulo es 48m2 . Calcular la longitud de su circunradio.
Resolución:
Por el teorema de Euler sabemos que:
Sumando:
Por el Teorema de Steiner
Reemplazando:
Por dato:
Reemplazando:
Ejemplo 02:
En la figura. Hallar el valor de “x” si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 20 m
Resolución:
En el triángulo rectángulo EBC por el teorema de Stewart:
Pero:
Ejemplo 03:
En la figura mostrada, si AO = OB = 2m y OC = CB. Hallar: CT
Resolución:
En el triángulo MCO por el teorema de Euclides:
De donde:
En el triángulo rectángulo MTC, aplicamos el teorema de Pitágoras:
Reemplazando ( I ) en ( II )
Ejemplo 04:
En la figura mostrada los puntos M y L son puntos de tangencia y los puntos A, N y B son colineales, además: TH = 4m, HN = 5m y Am = 20m. Hallar la longitud del segmento AB
Resolución:
Por el teorema de la tangente:
Por teorema de la secante:
De ( I ) y ( II )
Nuevamente por el teorema de tangente:
Sumando:
De donde:
Ejercicios de Relaciones Métricas
En esta sección te compartiremos varios problemas de relaciones métricas resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Relaciones Métricas
Aquí te compartiremos un documento que contiene 15 problemas resueltos de relaciones métricas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Relaciones Métricas
Aquí te compartiremos un documento que contiene 59 problemas de relaciones métricas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – WORDF
Relaciones Métricas para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de relaciones métricas para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de problemas de relaciones métricas en triángulos rectángulos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de ejercicios de relaciones métricas en el triángulo rectángulo para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de relaciones métricas en el triángulo rectángulo para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de relaciones métricas en el triángulo rectángulo para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
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