CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Congruencia de Triángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué es la Congruencia de Triángulos?

Dos triángulos son congruentes si sus ángulos son respectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes de igual longitud (ángulos y lados homólogos).

Congruencias de Triángulos

Criterios de Congruencia de Triángulos

Para poder afirmar que dos triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de los cuales por lo menos uno, es un lado.

Criterio Lado – Ángulo – Lado (L.A.L.)

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente de igual longitud y el ángulo determinado por ellos de igual medida, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio Lado Ángulo Lado

Criterio: Ángulo – Lado – Ángulo (A.L.A.)

Si dos triángulos tienen un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a este lado respectivamente de igual medida, entonces dichos triángulos son congruentes.

Ángulo Lado Ángulo

Criterio: Lado – Lado – Lado (L.L.L.)

Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente de igual longitud, entonces dichos triángulos son congruentes.

Lado Lado Lado

Aplicaciones de la Congruencia de Triángulos

Teorema de los Puntos Medios (Base  Media):

El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.

Teorema de los Puntos Medios

Teorema de la Bisectriz:

Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

Teorema de la Bisectriz

Teorema de la Mediatriz:

Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

Teorema de la Mediatriz

Teorema de la Mediana Relativa a la Hipotenusa:

En todo triángulo rectángulo se cumple que la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Teorema de la Mediana Relativa a la Hipotenusa

Observación:

En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa está contenida en la Recta de Euler.

Propiedad Teorema de la Mediana Relativa a la Hipotenusa

Propiedades en los Triángulos Isósceles

1.- En todo triángulo isósceles, si por un punto de su base se trazan perpendiculares a los lados congruentes, la suma de las longitudes de estas perpendiculares es igual a una de las alturas congruentes.

Propiedad 1 de los Triángulos

2.- En todo triángulo isósceles, por un punto que se encuentra sobre la prolongación de su base se trazan perpendiculares a los lados congruentes, la diferencia de las longitudes de estas perpendiculares es igual a una de las alturas congruentes.

Propiedad 2 de los Triángulos

3.- Si por un punto que se encuentra sobre la base de un triángulo isósceles se trazan rectas paralelas a los lados congruentes, la suma de las longitudes de estas paralelas es igual a la longitud de los lados congruentes.

Propiedad 3 de los Triángulos

4.- Si por un punto que se encuentra sobre la prolongación de la base de un triángulo isósceles se trazan paralelas a los lados congruentes, la diferencia de las longitudes de estas paralelas es igual a la longitud de los lados congruentes.

Propiedad 4 de los Triángulos

Propiedades en los Triángulos Equiláteros

1.- En todo triángulo equilátero, si por un punto cualquiera de su interior se trazan perpendiculares a los tres lados, la suma de las longitudes de estas perpendiculares es igual a la longitud de una de las alturas del triángulo.

Propiedad 1 de los Triángulos Equiláteros

2.- Si por un punto exterior a un triángulo equilátero relativo a uno de sus lados, se trazan perpendiculares a los tres lados, la longitud de la altura del triángulo es igual a la suma de las longitudes de las perpendiculares extremas menos la longitud de la perpendicular intermedia.

Propiedad 2 de los Triángulos Equiláteros

3.- Si por un punto que se encuentra en el interior de un triángulo equilátero, se trazan paralelas a los tres lados, la longitud de uno de los lados del triángulo es igual a la suma de las longitudes de las paralelas.

Propiedad 3 de los Triángulos Equiláteros

4.- Si por un punto exterior a un triángulo equilátero, relativo a uno de sus lados, se trazan paralelas a sus tres lados, la longitud de uno de los lados del triángulo es igual a la suma de las longitudes de las dos paralelas extremas menos la longitud de la paralela intermedia.

Propiedad 4 de los Triángulos Equiláteros

Triángulos Rectángulos Notables

Son un grupo de triángulos rectángulos donde son conocidas las medidas angulares y a partir de ellas es posible determinar las proporciones de sus lados y viceversa.

Triángulos Rectángulos Notables

Propiedades Especiales

1.- Si

Primera Propiedad Especial

2.- Si

Segunda Propiedad Especial

3.- Si

Tercera Propiedad Especial

4.- Si

Cuarta Propiedad Especial

5.-

Quinta Propiedad Especial

Ejemplos de Congruencia de Triángulos

Ejemplo 01:

En la figura, calcular “x” si el Δ ABC es equilátero.

Ejemplo 1 de Congruencia de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 1 de Congruencia de Triángulos

“Completando” ángulos se observa que:

Respuesta Ejemplo 1 de Congruencia de Triángulos

Ejemplo 02:

En la figura mostrada, se pide hallar el valor de “x”.

Ejemplo 2 de Congruencia de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 2 de Congruencia de Triángulos

Como la m∡A=60, tomamos un punto P en AD tal que AP=a, luego:

El Δ ABP es equilátero

Se observa que:

Respuesta Ejemplo 2 de Congruencia de Triángulos

Ejemplo 03:

En un Δ ABC, se traza la mediana BM y en ella se ubica un punto P, tal que m∡APC=90, m ∡ABP= m ∡ PCA y, y AB=16. Calcular PC.

Solución:

Ejemplo 3 de Congruencia de Triángulos

En el Δ PCM, por teorema AM=PM=MC

Por A se traza una paralela a PC hasta que corte a la prolongación de PM en Q.

Se observa que

Solución Ejemplo 3 de Congruencia de Triángulos

Se puede ver que  el Δ ABQ es isósceles

Respuesta Ejemplo 3 de Congruencia de Triángulos

Ejercicios de Congruencia de Triángulos

En esta sección te compartiremos varios problemas de congruencia de triángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Congruencia de Triángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de congruencia de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Congruencia de Triángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 52 problemas de congruencia de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Los Triángulos para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que corresponden a 2 materiales educativos de relacionados con el tema de triángulos para 2do grado de primaria:

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a dos recursos educativos relacionados con el tema de triángulos para 3er grado de primaria:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres fichas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 4to grado de primaria:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

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Fichas para Sexto Grado de Primaria

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Los Triángulos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

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Fichas para Segundo Grado de Secundaria

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Fichas para Tercer Grado de Secundaria

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Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

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