CIRCUNFERENCIA

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Circunferencia puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

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¿Qué es la Circunferencia?

Es la figura geométrica formada por el conjunto de puntos equidistantes de otro punto coplanar denominado centro.

Circunferencia

Círculo

Es la reunión de la circunferencia con todos sus puntos interiores.

El Circulo

Observación:

El interior de una circunferencia es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro esmenor que la longitud del radio.
El exterior de una circunferencia es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que la longitud del radio
La circunferencia es un conjunto no convexo (cóncavo).
El círculo es un conjunto convexo.

Teorema:

“Por tres puntos no colineales pasa una y sólo una circunferencia”. Es decir, tres puntos no colineales determinan una circunferencia.

Teorema El Circulo

Longitud de la Circunferencia

Longitud de la Circunferencia

Elementos de la Circunferencia

Elementos de la Circunferencia

Circunferencias Congruentes

Se dice que dos circunferencias son congruentes cuando sus radios son congruentes.

Arco de circunferencia

Es la porción de circunferencia limitada por dos puntos aferentes de ella.

Medida de los Arcos

El arco de una circunferencia (segmento) se puede medir en forma métrica, es decir en su longitud, también se le mide en forma angular. Esta última es la que nos interesa por el momento. Así una circunferencia de radio arbitrario mide 360º y una semicircunferencia mide 180º.

Ángulos en la Circunferencia

Ángulo Central

Es aquel ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia.

Ángulo Central

Ángulo Inscrito

Es el ángulo determinado por dos cuerdas que tienen un extremo común.

Ángulo Inscrito

Ángulo Semi inscrito

Es el ángulo determinado por una cuerda y una tangente.

Ángulo Semi inscrito

Ángulo Exinscrito

Es el ángulo determinado por una cuerda y la prolongación de otra, con la cual tiene un extremo común.

Ángulo Exinscrito

Ángulo Interior

Es el ángulo determinado por dos cuerdas secantes en el interior del a circunferencia.

Ángulo Interior

Ángulo Exterior

Es aquel cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia. Se presentan los siguientes casos:

– Angulo Exterior formado por dos Secantes:

Angulo Exterior formado por dos Secantes

– Ángulo Exterior formado por una Tangente y una Secante:

Ángulo Exterior formado por una Tangente y una Secante

– Ángulo Exterior formado por dos Tangentes (Ángulo Circunscrito):

Ángulo Exterior formado por dos Tangentes

Forma Práctica

Forma Practica de los Ángulos en la Circunferencia

Formas Practicas del Ángulo

Observación:

Es importante tener presente que dos o más arcos pueden tener medidas angulares iguales, sin embargo sus longitudes no son necesariamente iguales, recuerda que cuando hablemos de medidas angulares de los arcos, no estamos interesados en las longitudes de los radios.

Propiedades Fundamentales en la Circunferencia

1.- Si AB es diámetro:

Propiedad 1 Fundamental en la Circunferencia

2.- Si T es punto de Tangencia:

Propiedad 2 Fundamental en la Circunferencia

3.-  Si PA y PB son tangentes:

Propiedad 3 Fundamental en la Circunferencia

4.- Si AB ⊥ OM

Propiedad 4 Fundamental en la Circunferencia

5.- Si AB=CD:

Propiedad 5 Fundamental en la Circunferencia

6.- Si AB // CD:

Propiedad 6 Fundamental en la Circunferencia

7.- Si A y B son puntos de tangencia:

Propiedad 7 Fundamental en la Circunferencia

8.- Si A, B y C son puntos de tangencia:

Propiedad 8 Fundamental en la Circunferencia

9.- Si A, B y C son puntos de tangencia:

Propiedad 9 Fundamental en la Circunferencia

10.- AB y CD : Tangentes Exteriores

MN y PQ : Tangentes Interiores

Propiedad 10 Fundamental en la Circunferencia

Aplicaciones de la Tangente

Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia

Es aquel cuadrilátero que tiene sus cuatro lados tangentes a una misma circunferencia.

Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia

Teorema de Pithot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Teorema de Pithot

Observación:

Para que un cuadrilátero pueda ser circunscriptible, es requisito fundamental  que cumpla el Teorema de Pithot.
Los cuadriláteros que siempre son circunscriptibles son el cuadrado,el rombo y el trapezoide simétrico.

Generalización del Teorema de Pithot

En todo polígono circunscrito a una circunferencia con número de lados par, la suma de las longitudes de los lados no consecutivos es igual a la suma de las longitudes del resto de los lados.

Cuadrilátero Exinscrito a una Circunferencia

Es aquel cuadrilátero en el cual las prolongaciones de sus cuatro lados son tangentes a una misma circunferencia.

Teorema de Steiner

En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, se cumple que la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

Teorema de Steiner

Observación:

Para que un cuadrilátero pueda ser exinscriptible a una circunferencia, es requisito fundamental  que cumpla el Teorema de Steiner.
El cuadrilátero que siempre es exinscriptible a una circunferencia es el trapezoide simétrico.

Propiedades:

1.- Si “p” es el semiperímetro del Δ RQN

Propiedad Teorema de Steiner

2.- Si “p” es el semiperímetro del Δ QRN

Propiedad 2 Teorema de Steiner

3.- Si F y P son puntos de tangencia:

Propiedad 3 Teorema de Steiner

Teorema de Poncelet

En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo.

Teorema de Poncelet

Propiedades de Poncelet:

1.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los exradios relativos a los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa.

Propiedades Teorema de Poncelet

2.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes del irradio y el exradio relativo a un cateto es igual a la longitud de dicho cateto.

Propiedade 2 Teorema de Poncelet

3.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes del irradio y de los exradios relativos a los catetos es igual a la longitud del exradio relativo a la hipotenusa.

Propiedad 3 Teorema de Poncelet

Posiciones Relativas de dos Circunferencias

Circunferencias Exteriores:

Son aquellas cuya distancia entre los centros es mayor que la suma de las longitudes de los radios.

Circunferencias Exteriores

Circunferencias Tangentes Exteriores:

Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la suma de las longitudes de sus radios.

Circunferencias Tangentes Exteriores

Circunferencias Tangentes Interiores:

Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la diferencia de las longitudes de los radios.

Circunferencias Tangentes Interiores

Circunferencias Interiores:

Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la diferencia de las longitudes de los radios.

Circunferencias Interiores

Circunferencias Secantes:

Son aquellas en las que la distancia entre sus centros es mayor que la diferencia de las longitudes de los radios y menor que la suma de éstas.

Circunferencias Secantes

Circunferencias Ortogonales:

Son aquellas circunferencias secantes en las que el ángulo formado por los radios en los puntos de intersección de éstas es de 90º.

Circunferencias Ortogonales

Circunferencias Concéntricas:

Son aquellas cuya distancia entre los centros es cero, es decir, tienen el mismo centro.

Circunferencias Concéntricas

Propiedades Adicionales:

1.- Si L, I, D y S son puntos de tangencia

Posiciones Relativas de dos Circunferencias

2.- Si L, I, D y S son puntos de tangencia

Propiedades Adicionales 2 Posiciones Relativas de dos Circunferencias

3.- Si L, I, D y S son puntos de tangencia

Propiedades Adicionales 3 Posiciones Relativas de dos Circunferencias

4.- Si F, I, P, E son puntos de tangencia

Propiedades Adicionales 4 Posiciones Relativas de dos Circunferencias

Cuadrilátero Inscriptible

Llamado también cuadrilátero cíclico. Un cuadrilátero es inscriptible si por los cuatro vértices puede pasar una circunferencia. Las mediatrices de los lados de este cuadrilátero se intersecan en un punto, que puede estar situado en el interior o en el exterior, constituyéndose en el centro de la circunferencia circunscrita.

Cuadrilátero Inscriptible

Por lo general se estudia dos condiciones de inscriptibilidad, que permitan asegurar la existencia de la circunferencia circunscriptible al cuadrilátero.

Primera Condición:

Un cuadrilátero es inscriptible si los ángulos opuestos son suplementarios. Es decir:

Ejemplo Cuadrilátero Inscriptible

Esta condición es equivalente a decir que un ángulo interior del cuadrilátero es congruente al ángulo opuesto exterior.

Condicion Cuadrilátero Inscriptible

Segunda Condición:

Un cuadrilátero es inscriptible si el ángulo formado por un lado y una diagonal es congruente al ángulo formado por el lado opuesto y la otra diagonal.

Condicion 2 Cuadrilátero Inscriptible

Observaciones:

Los cuadriláteros que SIEMPRE son inscriptibles son el cuadrado, el rectángulo y el trapecio isósceles.
El trapecio rectángulo, el trapecio escaleno, el rombo y el paralelogramo no son inscriptibles.
Si en un triángulo se unen los pies de dos alturas se forma un cuadrilátero inscriptible.

Ejemplo Condicion 2 Cuadrilátero Inscriptible

Nota: Nótese que los triángulos ABC y BQR son semejantes entre sí.

Ejemplos de Circunferencias

Ejemplo 01:

En la figura, AB=10, BC=12 y AC=16, Hallar PB.

Ejemplo 1 de Circunferencias

Solución:

Solución Ejemplo 1 de Circunferencias

– Si “p” es el semiperímetro del Δ ABC ,por propiedad se tendrá:

Proceso Ejemplo 1 de Circunferencias

– Ahora:

Respuesta Ejemplo 1 de Circunferencias

Ejemplo 02:

En un triángulo rectángulo, los exradios relativos a los catetos miden 5 y 11. Determinar la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo.

Solución:

Ejemplo 2 de Circunferencias

– Por propiedad:

Solución Ejemplo 2 de Circunferencias

– De (I) y (II):

Proceso Ejemplo 2 de Circunferencias

– Reemplazando en (I):

Conclusión Ejemplo 2 de Circunferencias

– Reemplazando los datos:

Respuesta Ejemplo 2 de Circunferencias

Ejemplo 03:

Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD, donde los ángulos ABC y ADC son rectos. Si el semiperímetro de ABCD es 30 y AC=22, entonces la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABC y ADC, es:

Solución:

Ejemplo 3 de Circunferencias

– Por dato:

Solución Ejemplo 3 de Circunferencias

– Por el Teorema de Poncelet:

Proceso Ejemplo 3 de Circunferencias

– Sumando (II) y (III):

Conclusión Ejemplo 3 de Circunferencias

– (I) en (IV):

Respuesta Ejemplo 3 de Circunferencias

Ejemplo 04:

Un hexágono ABCDEF está circunscrito a una circunferencia tal que AB=4, BC=3, CD=2, DE=1, AF=8. Halle EF.

Solución:

Ejemplo 4 de Circunferencias

– Como este exágono circunscrito tiene un número de lados par, aplicaremos la generalización del Teorema de Pithot:

Respuesta Ejemplo 4 de Circunferencias

Ejercicios de Circunferencia

En esta sección te compartiremos varios problemas de circunferencia resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Circunferencia

Aquí te compartiremos un documento que contiene 22 problemas resueltos de circunferencia, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Circunferencia

Aquí te compartiremos un documento que contiene 46 problemas de circunferencia, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Circunferencia para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de circunferencia para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Primaria

Para el 2do grado de primaria te compartimos un enlace que te enviara al lugar donde podrás descargar gratuitamente una ficha educativa denominada el circulo y la circunferencia:

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Para el 3er grado de primaria te compartimos un enlace que te enviara al lugar donde podrás descargar gratuitamente una ficha educativa denominada circulo y circunferencia:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

Para los estudiantes del 4to grado de primaria te compartimos dos enlaces que te enviaran al lugar donde podrás descargar gratuitamente dos materiales educativos relacionados con la circunferencia:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Ahora te compartiremos 2 enlaces que te enviara a una web que te permitirá descargar dos materiales educativos relacionados con el tema de circunferencia para 5to grado de primaria:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Solo es un material educativo de la circunferencia para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Circunferencia para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de circunferencia para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Para los estudiantes del 1er grado de secundaria te compartiremos dos enlaces que te enviaran al lugar donde podrás descargar gratuitamente dos materiales educativos relacionados con la circunferencia:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos 2 enlaces que te enviara a una web que te permitirá descargar dos materiales educativos relacionados con el tema de circunferencia para 2do grado de secundaria:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de circunferencia para 3er grado de secundaria:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos tres enlaces que te enviaran a una web donde podrás descargar  materiales educativos relacionados con el tema de circunferencia para 4to grado de secundaria:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de circunferencia para 5to grado de secundaria:

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