PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Proporcionalidad y Semejanza puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Razón de Segmentos

Se llama razón de dos segmentos al cociente que se obtiene al dividir sus correspondientes medidas expresadas en la misma unidad.

Así en la figura el segmento AB mide 6m. y el segmento CD mide 2m, entonces la razón de dichos segmentos será:

Proporcionalidad y Semejanza

Segmentos Proporcionales

Dos segmentos de recta AB y BC son proporcionales a otros CD y DE cuando lo son sus correspondientes valores numéricos.

Por ejemplo, sean AB=3m, BC=5m, CD=6m y DE=10m. Estos números que expresan sus medidas, forman la siguiente proporción: 3/5=6/10 por tanto los segmentos AB y BC son proporcionales a los otros CD y DE formándose con ellos la siguiente proporción:

Segmentos Proporcionales

Teorema de Thales

Tres o más Rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Teorema de Thales

Aplicación del Teorema de Thales en los Triángulos

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, que intersecta a los otros o a sus prolongaciones determina sobre ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Ejemplo Teorema de Thales

Teorema de la Bisectriz Interior

En todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior son proporcionales a las longitudes de los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.

Teorema de la Bisectriz Interior

Teorema de la Bisectriz Exterior

En todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados que forman el vértice del cual parte la bisectriz exterior son proporcionales a las longitudes de los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.

Teorema de la Bisectriz Exterior

Teorema del Incentro

En todo triángulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos segmentos cuyas longitudes del que une el vértice con el incentro y el incentro con el lado opuesto son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que concurren con la bisectriz y el lado opuesto a este.

Teorema del Incentro

Teorema del Excentro

En todo triángulo se cumple que la razón entre la diferencia de dos lados y el tercer lado, es igual a la razón de los segmentos que determina el excentros sobre la bisectriz exterior relativa a dicho tercer lado.

Teorema del Excentro

También se cumple:

Ejemplo Teorema del Excentro

Teorema de Menelao

Una recta secante a un triángulo determina sobre sus lados seis segmentos cumpliéndose que el producto de multiplicar las longitudes de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de multiplicar las longitudes de los tres restantes.

Teorema de Menelao

Teorema de Ceva

Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo determinan sobre sus lados seis segmentos cumpliéndose que el producto de multiplicar las longitudes de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de multiplicar las longitudes de los tres restantes.

Teorema de Ceva

Teoremas Adicionales

Teorema del Incentro y el Baricentro

Si el segmento que une el incentro con el baricentro de un triángulo es paralelo a uno de los lados, la longitud de este lado es la media aritmética de las longitudes de los otros dos lados.

  • I : Incentro del Δ ABC
  • G : Baricentro del Δ ABC

Teorema del Incentro y el Baricentro

Consecuencia:

En el triángulo rectángulo notable de 37º y 53º, el segmento que une el incentro con el baricentro, será paralelo al cateto opuesto a 53º.

  • I : Incentro del Δ ABC
  • G : Baricentro del Δ ABC

Ejemplo Teorema del Incentro y el Baricentro

Teorema:

Ejercicio Teorema del Incentro y el Baricentro

Generalización del Teorema de Menelao

Generalización del Teorema de Menelao

Generalización del Teorema de Ceva:

Generalización del Teorema de Ceva

Teorema de Van Aubel

Teorema de Van Aubel

División Armónica de un Segmento

Se dice que dos puntos B y D dividen armónicamente a un segmento dado AC cuando se verifica la relación:

División Armónica de un Segmento

Observaciones:

– Donde el punto B está en el interior del segmento AC y D en su prolongación tal como se presenta en el gráfico. Los puntos B y D se llaman conjugados armónicos respecto de A y C y viceversa.

– Los cuatro puntos A, B, C y D se dice que forman una cuaterna armónica. Además se cumple la siguiente relación:

Ejemplo División Armónica de un Segmento

Teorema de Newton:

Si los puntos B y D dividen armónicamente al AC y “O” es punto medio de BD, se cumple:

Teorema de Newton

Haz Armónico:

Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos que forman una cuaterna armónica.

Haz Armónico

– “O” es el centro del Haz Armónico.

– Los rayos OA y OC son los rayos armónicos.

– Los rayos OB y OD son los rayos conjugados armónicos.

Propiedades:

1.- Dos vértices de un triángulo y los pies de las bisectrices interior y exterior trazadas desde el tercer vértice, siempre forman una cuaterna armónica.

Propiedades Teorema de Newton

Si OB y OD son bisectrices interior y exterior respectivamente, se cumple:

Propiedades 1 Teorema de Newton

2.- En el Δ  AQC

Propiedades 2 Teorema de Newton

Los puntos A, P, C y Q formarán una cuaterna armónica, es decir:

Cuaterna Armónica

3.- En el Δ  AQC, si P y T son puntos de tangencia:

Propiedades 3 Teorema de Newton

Los puntos A, P, C y Q formarán una cuaterna armónica, es decir:

Formula Propiedades 3 Teorema de Newton

Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos interiores son respectivamente congruentes y sus elementos homólogos son proporcionales. En dos triángulos semejantes se cumple que el valor de la razón geométrica de cualquier par de elementos homólogos es una constante, llamado razón de semejanza.

Ejemplo: En la figura se muestra, que el Δ RQN es semejante al Δ LSP.

Semejanza de Triángulos

Ángulos Homólogos:

Son los ángulos respectivamente congruentes en los dos triángulos, por ejemplo, en la figura anterior:

Ángulos Homólogos

Lados Homólogos:

Son los lados opuestos a los ángulos congruentes, por ejemplo, en la figura anterior:

Lados Homólogos

Líneas Notables Homólogas:

Son las líneas notables (alturas, bisectrices, medianas, mediatrices, etc.) que parten de ángulos homólogos en triángulos semejantes.

De lo dicho anteriormente, se cumplirá lo siguiente:

Líneas Notables Homólogas

Finalidad: La semejanza de Triángulos tiene por finalidad plantear una proporción en la cual participen lados y/o líneas notables homólogas, de la cual se despejará la incógnita (lado o línea notable).

Criterios de Semejanza

Primer Criterio:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Criterios de Semejanza

Segundo Criterio:

Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos congruentes y los lados que lo forman respectivamente proporcionales.

Criterio 2 de Semejanza

Tercer Criterio:

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Criterio 3 de Semejanza

Propiedad Fundamental

Toda paralela a un lado de un triángulo, que intercepta a los otros dos lados o a su prolongación, determina un nuevo triángulo semejante al primero.

Propiedad Fundamental Criterios de Semejanza

En la figura puede apreciarse que todos los triángulos formados al trazar las paralelas y las prolongaciones de los lados del Δ ABC, son semejantes entre sí.

Polígonos Semejantes

Dos polígonos son semejantes si tiene igual número de lados, sus ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos, respectivamente proporcionales.

Polígonos Semejantes

Dos polígonos semejantes se pueden descomponer en igual número de triángulos semejantes y recíprocamente.

Observaciones:

  • Todos los cuadrados son semejantes entre sí.
  • Todas las circunferencias son semejantes entre sí.
  • Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

Propiedades:

1.- Si DA//RN//AZ

Propiedad 1 de Polígonos Semejantes

2.- Si

Propiedad 2 de Polígonos Semejantes

3.- Si se tiene un trapecio isósceles

Propiedad 3 de Polígonos Semejantes

4.- Si

Propiedad 4 de Polígonos Semejantes

5.- Si

Propiedad 5 de Polígonos Semejantes

6.- Si

Propiedad 6 de Polígonos Semejantes

Propiedades Especiales

1.- Si

Propiedades Especiales de Proporcionalidad y Semejanza

2.- Si

Propiedad Especial 2 de Proporcionalidad y Semejanza

3.- Si

Propiedad Especial 3 de Proporcionalidad y Semejanza

4.- Si     M es punto medio de AC

N es punto medio de BD

Propiedad Especial 4 de Proporcionalidad y Semejanza

5.- Si un conjunto de rectas concurrentes intercepta a dos o más rectas paralelas, entonces los segmentos determinados en éstas son proporcionales.

Propiedad Especial 5 de Proporcionalidad y Semejanza

Ejemplos de Proporcionalidad y Semejanza

Ejemplo 01:

En un triángulo ABC se tiene que la suma de las longitudes de los lados AB y BC es 16m. Calcular la longitud del tercer lado sabiendo que dicho lado es paralelo al segmento que une el incentro con el baricentro.

Solución:

Ejemplo 1 de Proporcionalidad y Semejanza

– Si “G” es baricentro, ⇒ BG=2(GM)

– Si ”I” es incentro, entonces, por el Teorema del Incentro se tiene:

Solución Ejemplo 1 de Proporcionalidad y Semejanza

– Ya que IG//AC, aplicaremos el Teorema de Thales:

Proceso Ejemplo 1 de Proporcionalidad y Semejanza

– Por dato: a+c=16… (II)

– De (I) y (II):

Respuesta Ejemplo 1 de Proporcionalidad y Semejanza

Ejemplo 02:

En un triángulo ABC se tiene que AB=5, BC=7 y AC=9. Se trazan las bisectrices interiores AP y BQ, luego por “P” se traza una recta paralela a la bisectriz BQ, la cual intercepta al segmento QC en “R”. Hallar QR.

Solución:

Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

– Por el Teorema del Incentro:

Solución Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

– Como PR // BQ aplicaremos el Teorema de Thales:

Proceso Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

– De (I) y (II)

Conclusión Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

– Aplicaremos el Teorema de la bisectriz:

Resolución Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

– De (III) y (IV):

Respuesta Ejemplo 2 de Proporcionalidad y Semejanza

Ejemplo 03:

En un triángulo ABC se tiene que AB=9, BC=4 y AC=6. Se traza la bisectriz exterior BP. Calcular CP.

Solución:

Ejemplo 3 de Proporcionalidad y Semejanza

– Por el Teorema de la bisectriz exterior:

Respuesta Ejemplo 3 de Proporcionalidad y Semejanza

Ejemplo 04:

Por el baricentro de un triángulo ABC se traza una recta que corta a los lados AB y AC en los puntos P y Q respectivamente, tal que AP=5 y PB=3. Calcular CQ si AC=12.

Solución:

Ejemplo 4 de Proporcionalidad y Semejanza

– Como “G” es baricentro, aprovechamos esa condición y trazamos la mediana BM, luego:

BG=2n y          GM=n

– Aplicaremos el Teorema de Menelao en el Δ ABM

Respuesta Ejemplo 4 de Proporcionalidad y Semejanza

Ejercicios de Proporcionalidad y Semejanza

En esta sección te compartiremos varios problemas de proporcionalidad y semejanza resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Proporcionalidad y Semejanza

Aquí te compartiremos un documento que contiene 22 problemas resueltos de proporcionalidad y semejanza, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Proporcionalidad y Semejanza

Aquí te compartiremos un documento que contiene 49 problemas de proporcionalidad y semejanza, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Proporcionalidad y Semejanza para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de proporcionalidad y semejanza para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de actividades de semejanza de triángulos para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son materiales educativos relacionados con el tema de casos de semejanza de Triángulos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Son materiales educativos relacionados con el tema de Problemas de Semejanza de triángulos para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Son materiales educativos relacionados con ejercicios de semejanza de triángulos para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Son materiales educativos relacionados con el tema de semejanza de triángulos para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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