Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Proporcionalidad y Semejanza puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Razón de Segmentos
Se llama razón de dos segmentos al cociente que se obtiene al dividir sus correspondientes medidas expresadas en la misma unidad.
Así en la figura el segmento AB mide 6m. y el segmento CD mide 2m, entonces la razón de dichos segmentos será:
Segmentos Proporcionales
Dos segmentos de recta AB y BC son proporcionales a otros CD y DE cuando lo son sus correspondientes valores numéricos.
Por ejemplo, sean AB=3m, BC=5m, CD=6m y DE=10m. Estos números que expresan sus medidas, forman la siguiente proporción: 3/5=6/10 por tanto los segmentos AB y BC son proporcionales a los otros CD y DE formándose con ellos la siguiente proporción:
Teorema de Thales
Tres o más Rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Aplicación del Teorema de Thales en los Triángulos
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, que intersecta a los otros o a sus prolongaciones determina sobre ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Teorema de la Bisectriz Interior
En todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior son proporcionales a las longitudes de los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.
Teorema de la Bisectriz Exterior
En todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados que forman el vértice del cual parte la bisectriz exterior son proporcionales a las longitudes de los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.
Teorema del Incentro
En todo triángulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos segmentos cuyas longitudes del que une el vértice con el incentro y el incentro con el lado opuesto son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que concurren con la bisectriz y el lado opuesto a este.
Teorema del Excentro
En todo triángulo se cumple que la razón entre la diferencia de dos lados y el tercer lado, es igual a la razón de los segmentos que determina el excentros sobre la bisectriz exterior relativa a dicho tercer lado.
También se cumple:
Teorema de Menelao
Una recta secante a un triángulo determina sobre sus lados seis segmentos cumpliéndose que el producto de multiplicar las longitudes de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de multiplicar las longitudes de los tres restantes.
Teorema de Ceva
Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo determinan sobre sus lados seis segmentos cumpliéndose que el producto de multiplicar las longitudes de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de multiplicar las longitudes de los tres restantes.
Teoremas Adicionales
Teorema del Incentro y el Baricentro
Si el segmento que une el incentro con el baricentro de un triángulo es paralelo a uno de los lados, la longitud de este lado es la media aritmética de las longitudes de los otros dos lados.
- I : Incentro del Δ ABC
- G : Baricentro del Δ ABC
Consecuencia:
En el triángulo rectángulo notable de 37º y 53º, el segmento que une el incentro con el baricentro, será paralelo al cateto opuesto a 53º.
- I : Incentro del Δ ABC
- G : Baricentro del Δ ABC
Teorema:
Generalización del Teorema de Menelao
Generalización del Teorema de Ceva:
Teorema de Van Aubel
División Armónica de un Segmento
Se dice que dos puntos B y D dividen armónicamente a un segmento dado AC cuando se verifica la relación:
Observaciones:
– Donde el punto B está en el interior del segmento AC y D en su prolongación tal como se presenta en el gráfico. Los puntos B y D se llaman conjugados armónicos respecto de A y C y viceversa.
– Los cuatro puntos A, B, C y D se dice que forman una cuaterna armónica. Además se cumple la siguiente relación:
Teorema de Newton:
Si los puntos B y D dividen armónicamente al AC y “O” es punto medio de BD, se cumple:
Haz Armónico:
Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos que forman una cuaterna armónica.
– “O” es el centro del Haz Armónico.
– Los rayos OA y OC son los rayos armónicos.
– Los rayos OB y OD son los rayos conjugados armónicos.
Propiedades:
1.- Dos vértices de un triángulo y los pies de las bisectrices interior y exterior trazadas desde el tercer vértice, siempre forman una cuaterna armónica.
Si OB y OD son bisectrices interior y exterior respectivamente, se cumple:
2.- En el Δ AQC
Los puntos A, P, C y Q formarán una cuaterna armónica, es decir:
3.- En el Δ AQC, si P y T son puntos de tangencia:
Los puntos A, P, C y Q formarán una cuaterna armónica, es decir:
Semejanza de Triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos interiores son respectivamente congruentes y sus elementos homólogos son proporcionales. En dos triángulos semejantes se cumple que el valor de la razón geométrica de cualquier par de elementos homólogos es una constante, llamado razón de semejanza.
Ejemplo: En la figura se muestra, que el Δ RQN es semejante al Δ LSP.
Ángulos Homólogos:
Son los ángulos respectivamente congruentes en los dos triángulos, por ejemplo, en la figura anterior:
Lados Homólogos:
Son los lados opuestos a los ángulos congruentes, por ejemplo, en la figura anterior:
Líneas Notables Homólogas:
Son las líneas notables (alturas, bisectrices, medianas, mediatrices, etc.) que parten de ángulos homólogos en triángulos semejantes.
De lo dicho anteriormente, se cumplirá lo siguiente:
Finalidad: La semejanza de Triángulos tiene por finalidad plantear una proporción en la cual participen lados y/o líneas notables homólogas, de la cual se despejará la incógnita (lado o línea notable).
Criterios de Semejanza
Primer Criterio:
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Segundo Criterio:
Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos congruentes y los lados que lo forman respectivamente proporcionales.
Tercer Criterio:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Propiedad Fundamental
Toda paralela a un lado de un triángulo, que intercepta a los otros dos lados o a su prolongación, determina un nuevo triángulo semejante al primero.
En la figura puede apreciarse que todos los triángulos formados al trazar las paralelas y las prolongaciones de los lados del Δ ABC, son semejantes entre sí.
Polígonos Semejantes
Dos polígonos son semejantes si tiene igual número de lados, sus ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos, respectivamente proporcionales.
Dos polígonos semejantes se pueden descomponer en igual número de triángulos semejantes y recíprocamente.
Observaciones:
- Todos los cuadrados son semejantes entre sí.
- Todas las circunferencias son semejantes entre sí.
- Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.
Propiedades:
1.- Si DA//RN//AZ
2.- Si
3.- Si se tiene un trapecio isósceles
4.- Si
5.- Si
6.- Si
Propiedades Especiales
1.- Si
2.- Si
3.- Si
4.- Si M es punto medio de AC
N es punto medio de BD
5.- Si un conjunto de rectas concurrentes intercepta a dos o más rectas paralelas, entonces los segmentos determinados en éstas son proporcionales.
Ejemplos de Proporcionalidad y Semejanza
Ejemplo 01:
En un triángulo ABC se tiene que la suma de las longitudes de los lados AB y BC es 16m. Calcular la longitud del tercer lado sabiendo que dicho lado es paralelo al segmento que une el incentro con el baricentro.
Solución:
– Si “G” es baricentro, ⇒ BG=2(GM)
– Si ”I” es incentro, entonces, por el Teorema del Incentro se tiene:
– Ya que IG//AC, aplicaremos el Teorema de Thales:
– Por dato: a+c=16… (II)
– De (I) y (II):
Ejemplo 02:
En un triángulo ABC se tiene que AB=5, BC=7 y AC=9. Se trazan las bisectrices interiores AP y BQ, luego por “P” se traza una recta paralela a la bisectriz BQ, la cual intercepta al segmento QC en “R”. Hallar QR.
Solución:
– Por el Teorema del Incentro:
– Como PR // BQ aplicaremos el Teorema de Thales:
– De (I) y (II)
– Aplicaremos el Teorema de la bisectriz:
– De (III) y (IV):
Ejemplo 03:
En un triángulo ABC se tiene que AB=9, BC=4 y AC=6. Se traza la bisectriz exterior BP. Calcular CP.
Solución:
– Por el Teorema de la bisectriz exterior:
Ejemplo 04:
Por el baricentro de un triángulo ABC se traza una recta que corta a los lados AB y AC en los puntos P y Q respectivamente, tal que AP=5 y PB=3. Calcular CQ si AC=12.
Solución:
– Como “G” es baricentro, aprovechamos esa condición y trazamos la mediana BM, luego:
BG=2n y GM=n
– Aplicaremos el Teorema de Menelao en el Δ ABM
Ejercicios de Proporcionalidad y Semejanza
En esta sección te compartiremos varios problemas de proporcionalidad y semejanza resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Proporcionalidad y Semejanza
Aquí te compartiremos un documento que contiene 22 problemas resueltos de proporcionalidad y semejanza, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Proporcionalidad y Semejanza
Aquí te compartiremos un documento que contiene 49 problemas de proporcionalidad y semejanza, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Proporcionalidad y Semejanza para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de proporcionalidad y semejanza para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de actividades de semejanza de triángulos para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de casos de semejanza de Triángulos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de Problemas de Semejanza de triángulos para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con ejercicios de semejanza de triángulos para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Son materiales educativos relacionados con el tema de semejanza de triángulos para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
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