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Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Se llama máximo común divisor de dos o más números al mayor de los divisores comunes a esos números. Se designa por las iniciales M.C.D. ó D. Así el máximo común divisor de los números a, b y c, se escribirá:

M.C.D.(a,b,c) ó D(a,b,c)=D

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los números 24 y 78:

Solución:

Se escriben los divisores de cada número.

Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 y 24.
Divisores de 78: 1; 2; 3; 6; 13; 26; 39 y 78.

Los divisores comunes de ambos grupos de divisores son: 1; 2; 3 y 6.

Luego el M.C.D. es el divisor mayor común encontrado, es decir M.C.D. (24; 78) = 6 ó D = 6

Métodos para Hallar el M.C.D.

Para hallar el máximo común divisor, tenemos los siguientes métodos:

1.- Descomposición de los números en sus factores primos.
2.- Descomposición de los números en forma simultanea.
3.- Por divisiones sucesivas o Algoritmo de Euclides.

Descomposición de los Números en sus Factores Primos

Cuando los números son muy grandes y mentalmente no se puede determinar por que números será divisible y nos resulta sumamente laborioso se recurre a descomponer pacientemente cada uno de los números en forma canónica (Teorema fundamental de la aritmética).

Regla:

Para hallar el M.C.D. de dos o más números, se les descompone en sus factores primos y se multiplican los factores comunes afectados de sus menores exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los números 2520; 720 y 540.

Descomposición Simultánea de los Números

El método consiste en dividir todos los números al mismo tiempo por un factor común, los cocientes nuevamente se dividen por un factor común y así sucesivamente hasta que nos queden cocientes o números primos entre sí. Luego el M.C.D. de los números será el producto de los factores comunes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de los números 1140; 780 y 960.

M.C.D. de dos Números por Divisiones Sucesivas

El siguiente teorema es la base para determinar el M.C.D. de dos números, cuya forma esquemática lleva el nombre de “Algoritmo de Euclides”.

Teorema (Teorema Fundamental):

Si A no es múltiplo de B (A>b) , los divisores comunes del par de números A y B son los mismos que los del par de números B y R y los del par de números B y R’, siendo R v R’ los restos por defecto y por exceso de la división entera A : B.

Demostración:

En efecto: se tienen los tres pares de números A, B; B, R; B y R’. Según (Si un número divide a otros dos, divide a su suma, a su diferencia y a su producto), todo divisor común del primer par, lo es de los otros dos, y recíprocamente todo divisor común del segundo o del tercer par lo es del primero, luego los tres pares de números tienen los mismos divisores comunes.

Corolario 1º:

El M.C.D. de dos números no divisibles el uno por el otro, es el mismo que el del menor y el resto por defecto o por exceso de su división.

Si los tres pares de números A, B; B, R; B y R’ tienen los mismos divisores comunes, el mayor divisor común de cada par será el mismo en los tres pares.

Corolario 2º:

La condición necesaria y suficiente para que dos números no divisibles el uno por el otro, sean primos entre si, es que lo sea el menor con cualquiera de los restos por defecto o por exceso.

La condición es necesaria, pues si A y B son primos entre sí, M.C.D.( A, B )= 1, y como.

Se verificará:

La condición es suficiente, pues si cualquiera de los pares B, R; B, R’ son primos entre sí como:

Teorema de Euclides

El corolario 1º de teorema mencionado anteriormente, nos indica claramente el procedimiento a seguir para hallar el M.C.D. de dos números naturales A y B, A>B.

En primer lugar se divide A entre B; si el resto es cero, M.C.D.(A,B) = B.

Si el resto no es cero, como M.C.D.(A,B) =M.C.D.(B,R₁). Se dividirá B entre R₁. si el resto de esta división es cero M.C.D.(A,B) =M.C.D.(B,R₁)=R₁. si la división de B entre R₁ no da resto cero y da resto R₂, como M.C.D.(B,R₁)=M.C.D.(R₁,R₂). M.C.D.(A,b) =M.C.D.(B,R₁)= M.C.D.(R₁,R₂).

Se divide R₁ entre R₂ y así sucesivamente, hasta llegar a un resto R_n = 0, cosa que seguramente ocurrirá, pues como cada resto es menor que el divisor, la sucesión de restos R₁, R₂, R₃, R_n–1 y R_nva disminuyendo. Si:

Y la forma de proceder es la que indica a continuación, y se denomina Algoritmo de Euclides.

En los cocientes sucesivos se colocan los cocientes enteros:

Es la parte superior para evitar la perdida de espacio que se produciría colocando cada cociente debajo del divisor.

Ejemplo.

Hallar el M.C.D. de los números 1112 y 251 por el Algoritmo de Euclides.

Solución:

Hallamos el M.C.D. por el Algoritmo de Euclides:

Propiedades del M.C.D. de Dos Números

1.- El M.C.D. de dos números divisibles entre si es el menor de ellos.

Ejemplos:

C.D.(40, 1200) = 40
C.D.(2A, 6A) = 2A
C.D.(37!, 51!) = 37!

2.- Todo divisor común de dos números, es divisor del M.C.D. de estos.

Ejemplo:

M.C.D.(120, 80) = 40. Los divisores comunes 2; 4; 5; 8; 10 y 20. Dividen a 40.

3.- Si se multiplican o dividen dos números por un mismo número, su M.C.D. queda multiplicado o dividido por dicho número.

Ejemplo.

Si A = 120, B = 80. : M.C.D.(120, 80) = 40

C.D. (3A, 3B) = 120
C.D. (A/5, B/5) = 8

4.- Los cocientes de dividir dos números por su M.C.D. son primos entre sí.

Ejemplo:

Si M.C.D.(48, 66) = 6

Entonces:

48 : 6 = 8
66 : 6 = 11

Luego:

8 y 11 son primos entre sí.

5.- El M.C.D. de dos números de los cuales uno de ellos esta contenido en el otro, es el menor.

Ejemplos:

C.D.(15, 150) = 15
C.D.(12k, 15k) = 12k

6.- El M.C.D. de dos números de la forma: (xⁿ– 1) (x^m– 1) es igual a x^{C.D.(n, m)} – 1

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Se llama mínimo común múltiplo de dos o as números al menor múltiplo común de esos números.

De designa por las iniciales M.C.M. ó M. Así el mínimo común múltiplo de los números a, b y c, se escribirá:

M.C.M.(a,b,c) ó M.C.M.(a,b,c)=M

Ejemplo:

Hallar el M.C.M. de 6 y 8.

Solución:

Se escriben los múltiplos de cada número.

Múltiplos de 6: 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; …
Múltiplos de 8: 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; …

Los Múltiplos comunes son: 24; 48; …

El menor de los múltiplos comunes es 24, luego:

M.C.M. (6, 8) = 24 ó M = 24

Métodos para Hallar el M.C.M.

Para hallar el mínimo común múltiplo, tenemos los siguientes métodos:

1.- Por descomposición independiente de los números en sus factores primos.
2.- Por descomposición simultanea o al mismo tiempo de los números.
3.- Por el método del M.C.D.

Por Descomposición de los Números en sus Factores Primos

La descomposición de los números en sus factores primos, combinada con la condición de divisibilidad, nos permite obtener por un procedimiento rápido el M.C.M. de dos o varios números, aplicando la siguiente regla.

Regla:

El M.C.M. de varios números, será el producto de todos los factores primos comunes y no comunes afectados a sus mayores exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.M. de 540, 600 y 720.

Por Descomposición Simultanea o al Mismo Tiempo de los Números

Este método es aun más rápido que el anterior, y consiste en dividir cada uno de los números dados por su menor divisor; lo propio se hace con los cocientes hasta obtener que todos los cocientes sean 1. El M.C.M. es el producto de todos los divisores primos.

Como ejemplo hallemos y comprobemos el M.C.M. con los números anteriores.

Por el Método del M.C.D.

Teorema (teorema fundamental):

El M.C.M. de dos números, es el cociente de dividir su producto por su M.C.D.

Regla:

Para hallar el M.C.M. de dos números se divide uno de ellos (con preferencia el menor), por el M.C.D. de dichos números y el cociente de multiplicar por el otro.

Si M.C.M.(A, B) = M, este número afecta las siguientes formas:

1ra. ( A , B ) : M.C.D. ;
2da. ( A : M.C.D. ) . B ;
3ra. ( B : M.C.D. ) . A.

Es conveniente saber elegir de ellas la mas apropiada para demostrar las propiedades.

Propiedades del M.C.M. de Dos Números.

1.- Todo múltiplo de dos números lo es de su M.C.M. y recíprocamente, todo múltiplo del M.C.M. lo es de los números.

2.- Si los dos números dados son primos entre sí, el M.C.M. es su producto. Pues si A y B son primos entre sí, M.C.D. = 1, y eligiendo la primera forma:

M.C.M.(A, B) = (AxB):1 = AxB

Ejemplo.

M.C.M.(8, 21) = 8 x 21 =168

3.- El M.C.M. de dos números de los cuales uno contiene al otro, es el mayor de ellos..

Ejemplo.

M.C.M. (30, 120) = 120
M.C.M. (8!, 13!) = 13!

4.- El producto del M.C.D. de dos números por el M.C.M. es siempre igual al producto de los números.

Ejemplo.

Luego:

M.C.M. x M.C.D. = 4 x 180 = 20 x 36

5.- El M.C.M. de dos números es igual al producto de su M.C.D. por los cocientes obtenidos al dividir los números por su M.C.D., es decir M.C.M.=M.C.D. x q x q’ siendo q y q’ los cocientes primos entre sí, A: M.C.D. y B: M.C.D.

Ejemplo.

6.- Si dos números se multiplican por otro, su M.C.M. queda multiplicado por este otro.

Ejemplo.

Consecuencia:

Si dos números se dividen por un factor común su M.C.M. queda dividido por dicho factor.

7.- Los cocientes de dividir el M.C.M. de dos números por cada uno de ellos, son primos entre sí.

Ejemplos de MCD y MCM

Ahora veremos algunos ejemplos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Ejemplo 01:

¿Cuántos divisores comunes tienen los números: 5040; 6720 y 12600?

Solución:

Para calcular la cantidad de divisores comunes de 5040; 6720 y 12600, se siguen los dos pasos siguientes:

Se halla el M.C.D.
Se halla la cantidad de divisores del M.C.D.

Es decir:

Por lo tanto la cantidad de divisores comunes de 5040; 6720 y 12600 es:

Ejemplo 02:

¿Cuál es el menor número que tiene como divisores a: 48; 90 y 96? Dar como respuesta la cifra de mayor orden del número calculado.

Solución:

Para calcular el menor número que contenga a 48; 90 y 96, basta con calcular el M.C.M. de dichos números.

Nos piden la cifra de mayor orden:

Ejemplo 03:

Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo además que los cocientes sucesivos para hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3; 3.

Solución:

Sean A y B los números, tal que A>B, donde:

Completando el algoritmo de Euclides de derecha a izquierda.

Entonces los números serian:

Ejemplo 04:

Hallar la suma de dos números si se sabe que en el cálculo del M.C.D. por el “Algoritmo de Euclides” se obtuvieron como cocientes sucesivos: 3; 1; 2 y 4; además el M.C.M. de dichos números es 1872.

Solución:

Sea: M.C.D.(A, B) = d, además: M.C.M.(A, B) = 1872

Completando el cuadro del algoritmo de Euclides:

Se sabe:

Luego: 13d . 48d = 1872d

Resolviendo: d = 3

Por lo tanto:

B = 13(3) = 39
A = 48(3) = 144

Nos piden:

Ejemplo 05:

Hallar dos números primos entre sí, que se diferencian en 7 unidades y que además su M.C.M. es 330. Dar como respuesta la suma de cifras del menor de dichos números.

Solución:

Si A y B son “primos entre si” (PESI), entonces:

M.C.D.(A, B) = 1
M.C.D.(A, B) = A.B

Luego, del enunciado:

Nos piden la suma de cifras de B, es decir:

Ejercicios de MCD y MCM

En esta sección te compartiremos varios problemas de máximo común divisor y mínimo común múltiplo resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de MCD y MCM

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Ejercicios para Resolver de MCD y MCM

Aquí te compartiremos un documento que contiene 90 problemas del máximo común divisor y mínimo común múltiplo, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

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MCD y MCM para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de MCD y MCM para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son 2 recursos educativos relacionados con el tema de máximo común divisor y mínimo común múltiplo para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

MCD y MCM para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de MCD y MCM para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de propiedades de MCM y MCD para 1er grado de secundaria, esperemos que te ayude en tu aprendizaje o enseñanza:

Ficha 01 – Propiedades de MCM y MCD

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces que perteneces a 2 fichas educativas relacionados con el tema de mínimo común múltiplo y máximo común divisor para 2do grado de secundaria, esperemos que te sirva: