RAZONES Y PROPORCIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Razones y Proporciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué es una Razón o Relación?

Se denomina razón a la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas pudiendo ser sus valores cualquier número real, estas cantidades pueden compararse de dos maneras, una de ellas sería hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas y la otra hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones:

  • Razón aritmética o por diferencia
  • Razón geométrica o por cociente

Razón Aritmética o por Diferencia

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.

Ejemplo:

Cantidad de canicas  de Fhary    : 21
Cantidad de canicas   de Jimi      : 7

Entonces diremos que el número de canicas de Fhary excede al de Jimi en 14.

Razón Aritmética o por Diferencia

Propiedades de las Razones Aritméticas o por Diferencias

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

Propiedades de las Razones Aritméticas o por Diferencias

Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.

Ejemplo Propiedades de las Razones Aritméticas o por Diferencias

Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.

Formula de las Razones Aritméticas o por Diferencias

Razón Geométrica o por Cociente

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la división y consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra cantidad.

Ejemplo:

Cantidad de canicas de Fhary     : 21
Cantidad de canicas de Jimi        : 7

El número de canicas de Fhary es tres veces el número de canicas que tiene  Jimi.

Razón Geométrica o por Cociente

Propiedades De Las Razones Geométricas O Por Cocientes

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

Propiedades De Las Razones Geométricas O Por Cocientes

Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

Ejemplo De Las Razones Geométricas O Por Cocientes

Si all antecedente y al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un mismo número, la razón, no varía.

Propiedades De Las Razones Geométricas

Observación: Cuando no se indique la razón, se asumirá que es una razón geométrica.

¿Qué es una Proporción?

Cuando se tiene la igualdad de dos razones del mismo tipo (ambas aritméticas o ambas geométricas).

Cuando 2 razones  tienen el mismo valor, se dice que guardan la misma proporción o que dichas razones son equivalentes, por lo tanto, al iguarlas se forma lo que se denomina una proporción. Existen dos tipos de proporción: aritmética y geométrica.

Proporción Aritmética o Equidiferencia

Es la igualdad de dos razones aritméticas equivalentes, existen:

Proporción Aritmética Discreta:

Cuando todos los términos de la proporción aritmética son diferentes entre sí.

Proporción Aritmética Discreta

En esta ecuación aparece un término especial:

Ejemplo de Proporción Aritmética Discreta

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.

Proporción Aritmética Continua:

Cuando los términos medios de la proporción aritmética  son iguales.

Proporción Aritmética Continua

En esta ecuación aparecen dos términos especiales:

Ejemplo de Proporción Aritmética Continua

Proporción Geométrica o Equicociente

Es la igualdad de dos razones geométricas equivalentes existen:

Proporción Geométrica Discreta:

Cuando todos los términos de la proporción geométrica son diferentes entre sí.

Proporción Geométrica Discreta

En esta ecuación aparece un término especial:

Termino Proporción Geométrica Discreta

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y  c” se llaman términos medios.

Proporción Geométrica Continua:

Cuando los términos medios de la proporción geométrica  son iguales.

Proporción Geométrica Continua

En ésta ecuación aparecen dos términos especiales:

Ejemplo de Proporción Geométrica Continua

Propiedades para una Proporción

Para la proporción:

Propiedades para una Proporción

Se cumple que las siguientes propiedades:

Ejemplo Propiedades para una Proporción

Propiedades para una Serie de Razones Geométricas Equivalentes

Existe una serie de razones geométricas equivalentes cuando se igualan varias razones geométricas como:

Propiedades para una Serie de Razones Geométricas Equivalentes

I.-  La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes NO hace variar la razón, es decir, la razón permanece constante:      

Ejemplo Propiedades para una Serie de Razones Geométricas Equivalentes

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes  hace variar la razón. La razón se eleva a la cantidad de razones que se utilizan:

Ejercicio Propiedades para una Serie de Razones Geométricas Equivalentes

Ejemplos de Razones y Proporciones

Ahora veremos algunos ejemplos de razones y proporciones.

Ejemplo 01:

La suma de dos números es 450 y la relación entre ellos es como 7 es a 8. Hallar el número menor.

Solución:

Sean los números “a” y “b” que están en la relación:

Ejemplo 1 de Razones y Proporciones

Por proporcionalidad se tiene:

Solución Ejemplo 1 de Razones y Proporciones

Entonces afirmamos que:

  • a = 7k
  • b = 8k

Reemplazando en la condición

Proceso Ejemplo 1 de Razones y Proporciones

Como pide hallar el menor:

Respuesta Ejemplo 1 de Razones y Proporciones

Ejemplo 02:

Las edades de Jimi y Fhary estan en la relación de 11 es a 10, si hace 9 años las edades estaban en la relación como 8 es 7. Cual será la edad de Fhary cuando su hijo tenga 20 años, si decide tenerlo cuando Jimi tenga 35 años.

Solución:

  • Edad de Jimi = A
  • Edad de Fhary = B

Entonces tenemos que:

Ejemplo 2 de Razones y Proporciones

Entonces se tiene que:

  • Edad de Jimi = 11k
  • Edad de Fhary = 10k

Hace 9 años la relación fue:

Solución Ejemplo 2 de Razones y Proporciones

Despejando la ecuación

Proceso Ejemplo 2 de Razones y Proporciones

Luego las edades son:

  • Edad de Jimi = A = 11k = 11(3) = 33 años
  • Edad de Fhary = B = 10k = 10(3) = 30 años

Luego cuando Jimi tenga 35 años habrán pasado 2 años entonces nace el hijo de Fhary, entonces la edad de Fhary cuando su hijo cumpla 20 años será:

Edad de Fhary + 2 años + 20 = 30 + 2 + 20

Respuesta Ejemplo 2 de Razones y Proporciones

Ejemplo 03:

La razón  de dos números es 0,375; si la diferencia de los términos es 35, hallar el consecuente.

Solución:

Sean los números “a” y “b” entonces:

Ejemplo 3 de Razones y Proporciones

Hallando el consecuente:

Respuesta Ejemplo 3 de Razones y Proporciones

Ejemplo 04:

Si a los números 12, 20, 2 y 5 se les añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar la cantidad añadida.

Solución:

Si añadimos “x” se tiene (12+x); (20+x); (2+x) y (5+x) luego formamos la proporción geométrica:

Ejemplo 4 de Razones y Proporciones

Ejemplo 05:

Amelia tuvo su hijo a los 18 años, ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene el hijo?

Solución:

Del enunciado se tiene que:

Ejemplo 5 de Razones y Proporciones

Luego:

Proceso Ejemplo 5 de Razones y Proporciones

Aplicando propiedad de proporciones:

Respuesta Ejemplo 5 de Razones y Proporciones

Ejercicios de Razones y Proporciones

En esta sección te compartiremos varios problemas de razones y proporciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Razones y Proporciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 10 problemas resueltos de razones y proporciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Razones y Proporciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 63 problemas del razones y proporciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Razones y Proporciones para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de razones y proporciones para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Son dos enlaces que corresponden a dos materiales educativos de razones aritméticas y geométricas para 5to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son tres enlaces que corresponden a tres recursos educativos de razones y proporciones para 6to grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Razones y Proporciones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de razones y proporciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son dos enlaces que corresponden a dos materiales educativos de razones y proporciones para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos dos enlaces que corresponden a dos materiales educativos de razones y proporciones para 2do grado de secundaria:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Es un material educativo cuyo tema es ejercicios de razones y proporciones para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos un enlace que te enviara al lugar donde podrás descargar una ficha educativa  de razones y proporciones para 5to grado de secundaria, esperamos que sea de mucha ayuda:

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