SISTEMAS DE NÚMEROS

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Número

Es la idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta.

Numeral:

Es la palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como cantidades. Por ejemplo algunos numerales para representar al número dos son:

Sistema de Números

Orden:

Lugar o posición contada de derecha a izquierda, que ocupa una cifra dentro de un numeral.

Por ejemplo: el 7 está en el tercer orden u orden 2 dentro del numeral 982745.

Orden de Sistema de Números

Sistema de Numeración

Conjunto de normas, reglas y nomenclaturas que rigen la escritura y lectura de un conjunto de números.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas, cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones. Esos sistemas los enumeramos a continuación:

  • Números naturales
  • Números enteros
  • Números racionales
  • Números irracionales
  • Números reales
  • Números imaginarios
  • Números complejos

Sistema de Números Naturales

Número natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

Nº = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidos las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Propiedades de la Adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Propiedad Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

  • (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
  • 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir:

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

Propiedad Conmutativa:

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

En particular, para los números 7 y  4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Propiedad Modulativa o del elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural “a”, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

Propiedad Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

  • (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
  • 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

Propiedad Conmutativa:

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

  • 5 · 8 = 8 · 5 = 40
  • 9 · 4 = 4 · 9 = 36
  • 2 · 3 = 3 · 2 = 6

Propiedad Modulativa o del elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma:

Si a, b, c  son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

  • 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
  • 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Sistema de Números Enteros

Número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio “a” si es positivo o cero, y  a “ – a  ” si es negativo. Es decir:

  • si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
  • si a < 0, |a| = – a ; por ejemplo, |– 5 | = – (– 5 ) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Números Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

Si tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

  • 7 + 11 = 18
  • –7 – 11 = –18

Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

  • 7 + (–5) = 7 – 5 = 2
  • –7 + 5 = – (7 – 5) = -2
  • 14 + (–14) = 0

Propiedades de la Suma de Números Enteros

La suma de números enteros tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad Conmutativa:

a + b = b + a

Propiedad del elemento neutro:

El cero es el elemento neutro de la suma

a + 0 = a

Propiedad del elemento opuesto:

Todo número entero a, tiene un opuesto –a,

a + (– a ) = 0

Multiplicación de Números Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

Multiplicación de Números Enteros

Propiedades de la Multiplicación de Números Enteros

La multiplicación de números enteros tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Propiedad Conmutativa:

a · b = b · a

Propiedad del elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación,

a · 1 = a

Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c

Resta o Sustracción de Números Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a – b = a + (– b)

Por ejemplo:

  • 5 – (–3) = 5 + 3 = 8
  • –2 – 5 = (–2) + (–5) = –7

Sistema de Números Racionales

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 ó 5 la expresión decimal es periódica.

Suma de Números Racionales

La suma de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Suma de fracciones).

Propiedades de la Suma de Números Racionales

Cumple las siguientes propiedades:

Propiedad Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad Conmutativa:

a + b = b + a

Propiedad del elemento neutro:

El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma, tal que cumple:

a + 0 = a

Propiedad del elemento opuesto:

El opuesto de un número racional “a”, es otro número racional “–a”, que cumple:

a + (–a) = 0

Producto de Números Racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Producto de fracciones).

Propiedades del Producto de Números Racionales

Cumple las siguientes propiedades:

Propiedad Asociativa:

(a . b) . c = a . (b . c)

Propiedad Conmutativa:

a . b = b . a

Propiedad del elemento neutro:

El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto, que cumple:

a . 1 = a

Propiedad del elemento inverso:

El inverso de un número racional “a ≠ 0” es otro número racional que multiplicado por “a” da 1:

a . (1/a) = 1

Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto a la suma:

a . (b + c) = a . b + a . c

Números Decimales

Número decimal, cualquier número fraccionario expresado en el sistema de numeración decimal. Así, los números 7,84; 0,005; -2,8464646…; 3,141592… se dice que son decimales

Números Fraccionados

Es la división de dos números enteros de la forma:

Números Fraccionados

Números Racionales

Son aquellos que resultan de dividir 2 números enteros (fracciones).

Clasificación de las fracciones:

I. Por la comparación de sus términos:

* Propia:   Numerador menor que el denominador.
* Impropia:   Numerador mayor que el denominador.

II. Por los divisores de sus términos:

* Reductibles: Cuando ambos términos tienen factores comunes.
* Irreductibles: Cuando sus términos no tienen factores comunes.

III. Por su denominador:

* Decimal: Denominador de la forma: 10…0.
* Ordinaria: Denominador NO es de la forma: 10…00.

IV. Por el grupo de fracciones:

* Homogéneas: Cuando varias fracciones tienen el mismo denominador.
* Heterogéneas: Cuando varias fracciones tienen distinto denominador

Fracción Generatriz

I. Decimal exacto:

Fracción Generatriz

II. Decimal inexacto:

Periódico puro:

Decimal inexacto

Periódico mixto:

Periódico mixto

Sistema de Números Irracionales

Número irracional es un número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.

El uso de números irracionales surge a partir de la necesidad de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es Ã; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional (pi).

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.

Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.

Por ejemplo:

Sistema de Números Irracionales

Sistema de Números Reales

Número real es cualquier número racional o irracional.

Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Sistema de Números Reales

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.

El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se le llama recta real.

Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).

Sistema de Números Imaginarios

El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 ó positivo, por lo que la ecuación x 2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, ya no en sentido matemático, tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente al de los números reales), es el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación, que se puede escribir como:

Sistema de Números Imaginarios

Los números b i, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.

Un número imaginario se obtiene al sumar un número real con un número imaginario puro.

Sistema de Números Complejos

En su forma general, un número complejo se representa como Z = a ± i b, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los números reales y todos los imaginarios.

Ejemplo

Z = 5 – 6 i, es decir, 5 unidades positivas reales y 6 unidades negativas imaginarias.

Z = –5 + 6 i, es decir, 5 unidades negativas reales y 6 unidades positivas imaginarias.

Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.

Sistema de Números Complejos

Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna, así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.

En el caso de la Ingeniería Eléctrica, los números complejos se convierten en una familia muy importante para esta ingeniería, la cual es la familia de los números POLARES que tiene una parte real y una parte angular.

Ejemplo:

Ejemplo Sistema de Números Complejos

Sistemas de Números para Primaria

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Sistemas de Números para Secundaria

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