DESIGUALDADES E INECUACIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Desigualdades e Inecuaciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son las Desigualdades?

Es una relación que nos indica que la cantidad o expresión es mayor o menor que otra. Estas se establecen sólo en el campo de los números reales.

Signos de la Relación

Los signos que se utilizan para representar una desigualdad, son:

Si: “” y “” son dos expresiones reales, entonces teniendo en cuenta a los signos de la relación presentamos los siguientes casos.

• Se lee “a es diferente a b” ó “a no es igual a b”

• Se lee “a es mayor que b”

• Se lee “a es menor que b”

• Se lee “a es mayor o igual que b”

• Se lee “a es menor o igual que b”

Axiomas de Desigualdad

Si: a, b y c son tres números reales, tendremos.

Ley de tricotomía:

Dados a ∧ b, sólo se podrá establecer entre una de las siguientes relaciones:

Ley transitiva:

Dados a, b ∧ c tal que:

Ley aditiva:

Dados a, b ∧ c se tiene que:

Ley multiplicativa:

Aquí se pueden distinguir dos cosas:

Recta Numérica

Observaciones:

1. Toda cantidad positiva es siempre mayor que cero y recíprocamente, toda cantidad mayor que cero es una cantidad positiva.

2. Toda cantidad negativa es siempre menor que cero y recíprocamente, toda cantidad menor que cero es una cantidad negativa.

Definiciones

1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b”, si la diferencia (a − b) es una cantidad positiva, es decir:

• a > b   si   a – b > 0

2. Se dice que una cantidad “a” es menor que una cantidad “b”, si la diferencia entre (a − b) es una cantidad negativa, es decir:

• a < b   si   a – b < 0

3. Dos desigualdades de tipo a > b, c > d ó a < d, c < d, se denominan desigualdades del mismo sentido.

4. Dos desigualdades de tipo a > b, c < d se denominan desigualdades de sentido contrario.

Propiedades de las Desigualdades

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el sentido de la desigualdad no varia.

En consecuencia:

Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro, en una desigualdad, sólo cambiando de signo.

En efecto, si: a + c > b

Sumando (−c) tenemos:

• a + c − c > b – c
• a > b – c

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no varía.

Es un producto o cociente de dos números positivos:

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

Siendo (a − b) positivo y/o negativo, dan un producto o cociente negativo.

4. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la tercera.

5. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

6. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo.

7. Si se multiplican miembro a miembro dos o varias desigualdades del mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

En consecuencia:

8. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, cuyos miembros son positivos como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

9. Si los dos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.

10. Si se eleva a una misma potencia par, los miembros de una desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene una desigualdad de sentido contrario.

11. Si se eleva a una misma potencia par a los miembros de una desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y el otro negativo, no se puede predecir el sentido que tiene el resultado.

12. Si a los dos miembros de una desigualdad se extrae una misma raíz de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.

Clases de Desigualdades

Desigualdades Incondicionales

Son aquellas que se verifican para cualquier valor o sistema de valores dado a través de sus letras y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejemplo:

• m² + 4 > 0

Se caracteriza para cualquier valor de real de “m”.

Desigualdades Condicionales o Inecuaciones

Son aquellas que se verifican sólo para determinados valores o sistema de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejemplo:       

• 2x – 5 > 13

Se satisface sólo para valores de x > 9

Solución de una inecuación:

Es todo valor de una incógnita o conjunto de valores de las incógnitas que hacen verdadera la desigualdad.

Clasificación de las Inecuaciones de Acuerdo a sus Soluciones

Inecuación Posible

Cuando posee soluciones o raíces:

Inecuación determinada

Cuando se satisface para varios valores de las incógnitas (aunque sea un número infinito) que no alcanzan a superar un cierto valor o se hallan comprendidos entre números determinados.

Ejemplo:

(x – 2)(x – 4) < 0

Es determinada en el campo de los números enteros, se satisface únicamente para x = 3

En efecto:

(3 – 2)(3 – 4) = (1)(–1) = –1 < 0

También determinada en el campo de los números racionales, aunque se satisface para los infinitos valores racionales comprendidos entre 2 y 4

2.1     ;     2.11     ;     2.111     ; … ;     3     ; … ;     3.999

Inecuación indeterminada

Llamada también inecuación incondicional cuando se satisface para todo valor de las incógnitas.

Ejemplo:

(x – 4)² + 5 > 0

Se satisface para valores cualesquiera de “x”

Inecuación Imposible o Absurda

Cuando carece de soluciones.

Ejemplo:

x² < –2

En el sistema de los números reales es imposible esta inecuación ya que siendo “x” un número real, puede ser positivo o negativo, pero su cuadrado siempre es positivo y todo número positivo es siempre mayor que un negativo.

Inecuaciones Equivalentes

Son aquellos que tienen las mismas soluciones:

Así:

• 3x – 5 > 2x + 1
• 5x + 2 > 4(x + 2)

Son inecuaciones equivalentes ya que x > 6 es la solución de ambas inecuaciones.

También:

• x > a
• a < x

Son equivalentes.

Las inecuaciones:

No son equivalentes

• La inecuación (1) tiene como solución x > 6 es decir:   x= 7, 8, 9, 10, ….
• La inecuación (2) para x = 8; sus miembros carecen de sentido.

Resolver una Inecuación

Es encontrar las soluciones, es decir, hallar los valores que puestos en lugar de las incógnitas verifican las inecuaciones.

Para resolver una inecuación se transforma, sucesivamente en otras inecuaciones, a ser posible equivalentes, más simples hasta llegar a una inecuación cuya resolución sea inmediata.

Principios Fundamentales para la Transformación de Inecuaciones

Primer Principio

Si a los dos miembros de una inecuación se le suma o se le resta una misma expresión entera, o en particular un número, resulta una inecuación equivalente a la propuesta.

Segundo Principio

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo o expresión entera positiva, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Tercer Principio

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo o expresión entera negativa, se invierte el sentido de la inecuación, la que se obtiene es equivalente a la dada

Cuarto Principio

Si se suman miembro a miembro dos inecuaciones del mismo sentido, todas las soluciones de las dos, lo serán de la resultante, pero no recíprocamente.

Quinto Principio

Si se restan miembro a miembro dos inecuaciones de sentido contrario, resulta otra inecuación del sentido del minuendo. Todas las soluciones de las dos serán la resultante, pero no recíprocamente.

Sexto Principio

Si se multiplican miembro a miembro dos inecuaciones del mismo sentido, cuyos miembros sean positivos, resulta una inecuación que tendrá todas las soluciones comunes dadas, pero no recíprocamente.

Séptimo Principio

Si se dividen miembro a miembro dos inecuaciones de sentido contrario, cuyos miembros sean positivos, resulta una inecuación del sentido de la inecuación dividendo, que tendrá las soluciones comunes a las dadas, pero no recíprocamente.

Octavo Principio

Si a los dos miembros de una inecuación se les eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz de grado impar, resulta una inecuación equivalente a la dada.

Intervalos

Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles como aquel conjunto de valores comprendido entre dos límites, llamado límite superior o supremo y límite inferior o ínfimo.

Clases de Intervalos:

1. Intervalo abierto

Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los extremos, se denota así:  〈 〉 ó ] [

2. Intervalo cerrado

Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos, se denota así: []

Inecuaciones de Primer Grado

Forma general:

La Forma general de las inecuacines de primer grado es:

Para resolver una inecuación lineal se transporta a todos los términos que contiene a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro, luego en la recta numérica se identifica el intervalo al cual pertenece la variable

Resolución y discusión:

Sea la inecuación:

1. Si a > 0, dividiendo ambos miembros entre una cantidad positiva el sentido de la desigualdad no varía.

2. Si a < 0, dividiendo ambos miembros entre una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

3. Si a = 0, la inecuación (1) se reduce a:

Ella verifica para todo valor de “x” si “b” es positivo y se denomina inecuación indeterminada. Si b es negativo o nulo, carece de raíces y se denomina inecuación imposible:

Se ha visto que la resolución de una inecuación de primer grado con una incógnita da lugar a soluciones elementales de la forma:

I. Si x > a, se dice que el número “a” es el límite inferior de los valores de la incógnita, lo que significa que cualquier número mayor que “a” es una solución de la inecuación. La inecuación x > a se ilustra gráficamente del siguiente modo: sobre el eje numérico se marca el punto correspondiente al número “a”, los valores de la incógnita “x” que verifican la inecuación, se representan por los puntos que se encuentran a la derecha del punto “a”.

Como el valor de “x” no toma el valor infinito, éste representa el límite superior. La solución se designa de forma genérica como:

Y aplicando la notación de intervalos como:

Que se lee “x pertenece (∈) al intervalo abierto a; +∞”

II. Si x < b, se dice que el número “b” es el límite superior de la incógnita, lo que significa que cualquier número menor que “b” es solución de la inecuación. La inecuación x < b se ilustra gráficamente del siguiente modo: sobre el eje numérico se marca el punto correspondiente al número “b”, los valores de la incógnita que verifiquen la inecuación, se representan por los puntos que se encuentran a la izquierda del punto “b”. En este caso, el límite inferior es el valor de menos infinito.

La solución se designa como:

Ejemplo:

Resolver la inecuación:

Resolución:

C.D. = 30 cantidad (+)

Multiplicando ambos miembros por 30, el sentido de la desigualdad no se altera.

Dividiendo entre (–3), el sentido de la desigualdad se invierte:

—-> Graficando:

Solución:

Inecuaciones de Segundo Grado

Forma general:

La Forma general de las inecuaciones de primer grado es:

Criterios a Seguir para Resolver este Tipo de Inecuaciones

1. El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que en el segundo miembro figure el cero.
2. El primer miembro debe estar factorizado, luego se iguala cada factor a cero, para de esta manera encontrar los puntos críticos.
3. Se ubican dichos puntos encontrados sobre la recta numérica (puntos críticos).
4. Se asigna el signo (+) al último intervalo y después en los demás intervalos de variación se alternan los signos (–) , (+) , (–) , (+) , ….  de derecha a izquierda.
5. La solución de la inecuación estará dada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad es (>)o por las zonas negativas si el sentido de la desigualdad es (<).

Ejemplo:

Resolver la inecuación:

Luego pasaremos a resolver por el método de los puntos de corte o puntos críticos, para eso seguiremos los siguientes pasos:

Primero debemos encontrar los puntos críticos, para eso debemos de igualar cada factor a cero:

Estos valores debemos ubicarlos en la recta numérica:

La solución estará dada por los campos positivos, es decir:

Ejemplos de Desigualdades e Inecuaciones

Ahora veremos algunos ejemplos de desigualdades e inecuaciones.

Ejemplo 01:

Al resolver la inecuación, halla lo que se obtiene:

Resolución:

Multiplicando a la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que es 12.

Gráficamente:

Finalmente:

Ejemplo 02:

Al resolver la inecuación, indicar que se obtiene:

Resolución:

Similar al problema anterior, multipliquemos por 4.

Operando y eliminando el término 12x en ambos miembros, se obtiene.

Dividiendo entre (–1), el sentido de la desigualdad se invierte:

Gráficamente

Finalmente

Ejemplo 03:

Calcular el menor valor entero que satisface:

Resolución:

Multiplicando por “10” al sistema:

Resolviendo por partes:

Resolviendo “I”

Resolviendo “II”

Graficando:

El conjunto solución será:

Finalmente el menor entero será:

Ejemplo 04:

Determinar el conjunto solución de:

Resolución:

El primer miembro es factorizable por aspa simple:

Los puntos críticos como ya vimos anteriormente se obtendrán igualando cada factor a cero:

Ubicándolos en eje numérico:

La solución vendrá dada por los campos negativos:

Ejemplo 05:

Resolver:

Resolución:

El primer miembro es factorizable por aspa simple:

Los puntos críticos como ya vimos anteriormente se obtendrán igualando cada factor a cero:

Ubicándolos en el eje numérico:

La solución vendrá dada por los campos positivos:

Ejemplo 06:

Resolver:

 

Resolución:

Se trata de una inecuación fraccionaria, para lo cual recordemos los siguientes pasos para resolver:

1. Todos los términos se deben encontrar en el primer miembro.
2. El primer miembro debe estar completamente factorizado, es decir, el numerador y el denominador.
3. Los coeficientes principales de sus factores deben ser positivos.
4. Los factores del denominador se trasladan al numerador, pero se les debe tomar como factores abiertos, es decir, que los puntos críticos que se originen a partir de éstos no serán considerados parte de la solución.
5. Luego se pasa a resolver por el método de puntos de corte o puntos críticos.

Veamos para nuestro problema, que casi cumple con todos los requisitos para su solución, solamente faltaría aplicar el cuarto y quinto paso, entonces hagámoslo.

Llevando los factores del denominador al numerador.

Ahora encontremos los puntos críticos:

Ubicándolos en la recta numérica:

La solución vendrá dada por los campos positivos.

Ejemplo 07:

Dar el conjunto solución de:

Resolución:

Veamos que x² + x + 1 > 0, este trinomio dicho de otra manera es positivo para cualquier valor de “x”, ya que cumple lo siguiente:

Entonces podríamos dividirlo:

Luego llevando los factores del denominador al numerador:

—> Resolviendo por el método de los puntos críticos.

Ejemplo 08:

Se desea saber el mayor número de postulantes que hay un salón, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7 el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número, aumentado en 16.

Resolución:

Sea “n” el número de postulantes:

Empecemos a plantear el problema:

Primero:

Segundo:

• Resolviendo (I): n > 18
• Resolviendo (II): n < 21

De estas dos últimas soluciones:

Luego el mayor valor de “n” será:

Ejercicios de Desigualdades e Inecuaciones

En esta parte te compartiremos gratuitamente un material educativo que contiene varios problemas de desigualdades e inecuaciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de dichos ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de desigualdades e inecuaciones

Aquí te compartiremos un material educativo que contiene 28 problemas resueltos de desigualdades e inecuaciones, te invitamos a seleccionar la opción de tu preferencia:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Desigualdades e Inecuaciones

Aquí te compartiremos un material educativo que contiene 78 problemas del desigualdades e inecuaciones, te invitamos a elegir la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Desigualdades e Inecuaciones para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otras paginas web que comparten fichas de desigualdades e inecuaciones para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Primaria

Aquí te compartiremos el enlace que corresponde a una ficha de introducción a las inecuaciones para 2do grado de primaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Introducción a las Inecuaciones

Fichas para Tercero Grado de Primaria

Aquí te compartiremos los enlaces que corresponden a fichas relacionadas con tema de inecuaciones para 3er grado de primaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Inecuaciones de la forma x+a<b y x+a>b
• Ficha 02 – Inecuaciones de la forma ax<b y ax>b
• Ficha 03 – Ejercicios de Inecuaciones

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Aquí te brindaremos los enlaces que corresponden a fichas relacionadas con tema de intervalos e inecuaciones para 6to grado de primaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Intervalos Abiertos y Cerrados
• Ficha 02 – Inecuaciones de Primer Grado

Desigualdades e Inecuaciones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de desigualdades e inecuaciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los link que te llevaran a descargar de manera gratuita algunas fichas relacionadas con el tema de desigualdades e inecuaciones para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Ejercicios de Intervalos
• Ficha 02 – Inecuaciones de 1er Grado
• Ficha 03 – Ejercicios de Inecuaciones de 1er Grado
• Ficha 04 – Problemas de Inecuaciones de 1er Grado
• Ficha 05 – Inecuaciones de 2do Grado
• Ficha 06 – Ejercicios de Inecuaciones de 2do Grado
• Ficha 07 – Problemas de Inecuaciones de 2do Grado

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los link que te llevaran a descargar de manera gratuita algunas fichas relacionadas con el tema de desigualdades e inecuaciones para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Tipos de Intervalos
• Ficha 02 – Construcción de Intervalos
• Ficha 03 – Inecuaciones de 1er Grado
• Ficha 04 – Sistemas de Inecuaciones de 1er Grado
• Ficha 05 – Inecuaciones de 2do Grado

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los enlaces que te enviaran al lugar donde podrás descargar de manera gratuita algunas fichas relacionadas con el tema de desigualdades e inecuaciones para 3er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Desigualdades
• Ficha 02 – Inecuaciones de Primer Grado
• Ficha 03 – Inecuaciones de Segundo Grado

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los enlaces que te enviaran al lugar donde podrás obtener gratuitamente algunas fichas relacionadas con el tema de desigualdades e inecuaciones para 4to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Desigualdades e Intervalos
• Ficha 02 – Inecuaciones Lineales y Cuadráticas

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los enlaces que te enviaran al lugar donde podrás obtener gratuitamente algunas fichas relacionadas con el tema de desigualdades e inecuaciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

• Ficha 01 – Desigualdades e Intervalos
• Ficha 02 – Inecuaciones