RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Razones Trigonométricas de un Angulo Agudo puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Triángulo Rectángulo

Es una figura geométrica que tiene tres lados y uno de sus ángulos es recto. Al lado mayor se le denomina hipotenusa y a los lados menores se les llama catetos.

Entre dichos lados se cumple el Teorema de Pitágoras, el cual señala que «el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos». Además. Los ángulos agudos del triángulo suman 90º, por lo que se denominan complementarios.

Triangulo Rectángulo

Triangulo Rectángulo Ejemplo

Ángulos Complementarios

Ángulos Complementarios

Ejemplos:

1) Halle el lado que falta en cada triángulo:

Ejemplo Triangulo Rectángulo

2) Calcule el complemento de los siguientes ángulos:

  • A) 40º             Complemento:
  • B) 32º30’        Complemento:
  • C) q                  Complemento:
  • D) 90º – q       Complemento:
  • E) 20º + q      Complemento:

Razón Trigonométrica de un Ángulo Agudo

Es el cociente que se establece entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se toma con referencia a uno de los ángulos agudos y en total son seis, cuyos nombres son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

Es importante observar que las razones trigonométricas de un ángulo son cantidades numéricas. Cada una de ellas representa la razón de una longitud a otra y nunca deben considerarse como longitudes.

Cuando se toma una razón trigonométrica se le denomina, por ejemplo: “Seno de A” y se le representa como SenA, donde se observa la unión del operador trigonométrico Sen y el ángulo A; pero esta unión no es una multiplicación.

Errores comunes:

Razón Trigonométrica

Definamos las razones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo ABC:

  • a:   cateto opuesto
  • b:   cateto adyacente
  • c:   hipotenusa

Ejemplo Razón Trigonométrica

Ejercicio Razón Trigonométrica

Ejemplo:

1) Halle todas las razones trigonométricas del ángulo «θ»

Razón Trigonométrica de un ángulo agudo

Razones Trigonométricas Recíprocas

Las razones recíprocas son aquellas cuyo valor es el inverso aritmético de la otra, por ejemplo:  y  son razones que cumplen esta condición. En las razones trigonométricas encontramos algunas parejas de razones recíprocas, a saber:

Razones Trigonométricas Recíprocas

Si efectuamos la multiplicación de dos razones recíprocas, encontramos que el resultado es la unidad. Así: 3/4 x 4/3=1, motivo por el cual deducimos la siguiente propiedad:

«El producto de dos razones recíprocas es siempre la unidad«

Formula Razones Trigonométricas Recíprocas

Nota: Obsérvese que los ángulos de las razones trigonométricas son los mismos.

Ejemplos:

Ejemplos Formula Razones Trigonométricas Recíprocas

Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios

Al definir las razones trigonométricas, hemos considerado a uno de los ángulos agudos, pero también se puede tomar las razones trigonométricas del otro ángulo o sea de su complemento y como se trata de los mismos lados encontramos algunas igualdades:

  • a:  cateto opuesto
  • b:  cateto adyacente
  • c:   hipotenusa

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

De estas igualdades deducimos la siguiente propiedad:

«La razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón trigonométrica de su ángulo complementario»

Propiedad Trigonométrica

Son Co-razones:

Seno y Coseno

Tangente y Cotangente

Secante y Cosecante

Ejemplos:

  1. Sen 42º =
  2. Ctg 34º 40′ =
  3. Tg q =
  4. Csc (90°)=
  5. Cos (θ+20°)
  6. Sen 6x = Cos 3x ⇒
  7. Sec (3x – 15°) = Csc (x + 25°) ⇒
  8. Tg 2x . Tg 3x = 1 ⇒

Propiedad Fundamental de las Razones Trigonométricas

A continuación vamos a establecer de que dependen las razones trigonométricas. Sea APO = θ  un ángulo agudo, en la recta OP tome los puntos cualesquiera B y D trácense BC y DE perpendiculares a OA. Tome también un punto F en OP y trácese la perpendicular FG.

Propiedad fundamental de las razones trigonométricas

Pero los triángulos BOC, DOE y FOG tienen un ángulo común:

Ángulo Común de Razones Trigonométricas

Por consiguiente la tangente del ángulo «θ» es la misma ya sea que se  obtenga del triángulo BOC, DOC o FOG. Una demostración similar puede hacerse para cada razón trigonométrica, por lo que deducimos:

«Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son independientes de los lados del triángulo rectángulo que las contiene y dependen únicamente de la magnitud de dicho ángulo«.

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

Razones trigonométricas de 30º y 60º

Construimos un triángulo equilátero, en el cual trazamos la altura y formamos dos triángulos rectángulos de 30º y 60º. Si uno de los lados del triángulo equilátero es «L», los lados del triángulo rectángulo son L/2 y L√3/2 , de donde deducimos la propiedad:

Ejemplo Ángulo Común de Razones Trigonométricas

Pero para tomar el valor de las razones trigonométricas de 30º y 60º, es más cómodo dar un valor a «L», pues las razones no dependen de la longitud de los lados. Así para , tenemos:

Razones trigonométricas

Formulas de Razones trigonométricas

Razones trigonométricas de 45º

Construimos un triángulo rectángulo isósceles y a uno de los catetos le llamamos «L», luego la  hipotenusa se calcula por Pitágoras y su valor es «L√2». Para obtener las razones trigonométricas de 45º, hacemos L=1 y tenemos:

Razones trigonométricas de 45º

Formulas Razones trigonométricas de 45º

Razones Trigonométricas de 37º y 53º

Para obtener las razones trigonométricas de estos ángulos recurrimos a un triángulo rectángulo, donde sus lados son proporcionales a tres números consecutivos: 3, 4 y 5. Sus ángulos agudos son exactamente 36,87º y 53,13º los cuales aproximamos a 37º y 53º para fines prácticos.

Razones Trigonométricas de 37º y 53º

Formulas Razones Trigonométricas de 37º y 53º

Resolución de Triángulos Rectángulos

Las aplicaciones de la Trigonometría en campos como la topografía y navegación requieren resolver triángulo rectángulos. La expresión «Resolver un triángulo» significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

En está sección veremos que podemos resolver  cualquier triángulo rectángulo si se nos da:

  1. La longitudes de dos lados.
  2. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

Conociendo las longitudes de dos lados:

Ejemplo:

Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución:

Para calcular «x», aplicamos el teorema de Pitágoras:

Conociendo las longitudes de dos lados

  • Para determinar la medida del ángulo θ, calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: Tg θ = 1/2 ⇒ θ = 26°3´ (aproximadamente)

Como: θ + α = 90° ⇒ α = 63°30´

Con lo cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

Conociendo un lado y la medida de un ángulo agudo

Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

incógnitas: x, y

Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

  • Cálculo de x:

Formula de longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

  • Cálculo de y:

Formula Y de longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

  • En el Δ rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90°- θ

Conclusión:

Conclusión de longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

Incógnitas: x, y

  • Cálculo de x:

Ejemplo Conociendo un lado y la medida de un ángulo agudo

  • Cálculo de y:

Ejemplo ángulo agudo

  • En el Δ rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90°- θ

Conclusión:

Formula ángulo agudo

Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

Incógnitas: x, y

ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo

  • Cálculo de x:

ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto

  • Cálculo de y:

Ejemplo Ángulo Agudo y la Longitud del Cateto Opuesto

  • En el Δ rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90°- θ

Conclusión:

Conclusión Ángulo Agudo y la Longitud del Cateto Opuesto

Ejemplos:

Ejemplos Ángulo Agudo y la Longitud del Cateto Opuesto

Área de una Región Triangular (S)

El área de cualquier región triangular esta dado por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.

Así tenemos:

Área de una Región Triangular

Demostración:

Ejemplo Área de una Región Triangular

Por geometría S, se calcula así:

Resolución Ejemplo Área de una Región Triangular

(h: altura relativa al lado «b»)

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulos que:

h= a Sen θ

Luego:

Conclusión Ejemplo Área de una Región Triangular

Ángulos Verticales

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para l desarrollo del tema:

Línea Vertical:

Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal:

Se denomina  así a toda aquella perpendicular a la vertical.

Plano Vertical:

Es aquel que contiene a toda línea vertical.

Línea Visual:

Llamada también línea de mira, es aquella recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

Ángulos Verticales

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y a línea horizontal. Que parten de la vista del observador.

Ángulos de Elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

Ángulos de Elevación

Ángulos de Depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

Ángulos de Depresión

Al ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación o de visibilidad.

Ángulo de Observación

Ejemplos de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Ahora veremos algunos ejemplos de razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Ejemplo 01:

Si: Tg θ = 0,4. Calcule el valor de: Sen θ. Cos θ

Resolución:

Del dato:

Ejemplo 1 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Resolución Ejemplo 1 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Luego:

Respuesta Ejemplo 1 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Ejemplo 02

Dado: Sen(2x+10°)=Cos(x+5°)

Determine el valor de:

Ejemplo 2 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Resolución:

Del dato:Resolución Ejemplo 2 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Reemplazando en la incógnita:

Respuesta Ejemplo 2 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Ejemplo 03:

Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5cm; AC= 6cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º.

Resolución:

Graficando tenemos:

Ejemplo 3 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Nos piden: S

De la figura:

Resolución Ejemplo 3 de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Ejercicios de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

En esta sección te compartiremos varios problemas de razones trigonométricas de un ángulo agudo para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios para Resolver de Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Aquí te compartiremos un documento que contiene 57 problemas de razones trigonométricas de un ángulo agudo, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de razones trigonométricas de un ángulo agudo para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos algunos enlaces de materiales educativos relacionados con el tema de razones trigonométricas de un ángulo agudo para 4to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos algunos enlaces de fichas educativas relacionadas con el tema de razones trigonométricas de un ángulo agudo para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

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