Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Resolución de Triángulos Oblicuángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Introducción a la Resolución de Triángulos Oblicuángulos
A todo triángulo que sea diferente a un triángulo rectángulo se le denomina triángulo oblicuángulo. La resolución de triángulos oblicuángulos es un medio que nos permite calcular en forma sencilla los lados y ángulos del triángulo.
Hay diferentes teoremas o leyes que permiten resolver un triángulo, las cuales se aplican dependiendo de los datos que se tenga del triángulo en estudio.
Para la resolución de triángulos oblicuángulos es importante tener presente las siguientes leyes:
- Ley de Senos
- Ley de Cosenos
- Ley de Tangentes
- Ley de Proyecciones
Ley de Senos
Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.
Del triángulo rectángulo AHB
Del triángulo rectángulo AHB
Entonces: c Sen A = a Sen C
De la misma forma si trazamos la altura desde el vértice A, obtenemos:
Por lo tanto:
«En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulo opuestos».
Así:
Importante: La razón que se obtiene al dividir cualquiera de los lados del triángulo con el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Se traza el diámetro BD
El ángulo BCS = 90°
El ángulo BDC = ángulo BAC
el triángulo rectángulo BCD
De igual manera se cumple con los ángulos B y C, por lo tanto:
Luego el enunciado general de la Ley de Senos es:
«En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos y además, son iguales al diámetro de la circunferencia circunscrita«.
Ejemplo 01:
En un triángulo ABC hallar «b» si: a = √2 ,B = 60° y A = 45°
Solución:
Aplicando la Ley de Senos :
Ejemplo 02:
En un triángulo ABC, hallar el ángulo «B», si: b = 8cm, a = 6cm y A = 30°.
Solución:
Aplicando la Ley de Senos:
Ley de Cosenos
Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
En el triángulo rectángulo AHB: C2 = x2 + h2
En el triángulo rectángulo BHC: a2 = (b – x)2 + h2
De la expresión (2): a2 = b2 + x2 + h2 – 2bx
Reemplazando (1): a2 = b2 + c2 – 2bx
Pero: x = c Cos A, entonces:
De la misma forma, si trazamos la altura desde el vértice A, obtenemos:
Por lo tanto el enunciado general de la Ley de Cosenos es:
«En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos«
Importante: De esta Ley se deduce:
Ejemplo 01:
En un triángulo ABC hallar «c» si:
Solución:
Aplicando la Ley de Cosenos:
Ejemplo 02:
En un triángulo ABC, hallar el ángulo «A» si los lados del triángulo son:
Solución:
Aplicando la Ley de Cosenos:
Ley de Tangentes
En enunciado general de este teorema es:
«En todo triángulo, la diferencia de dos sus lados es a su suma, como la tangente de la semidiferencia de los ángulo opuestos a dichos lados es a la tangente de la semisuma de los mismos«
Ejemplo:
En un triángulo ABC hallar «b» si: a = b +1, A = 75° y B = 15°.
Solución:
Aplicando la ley de Tangentes:
Luego se resuelve el sistema de ecuaciones:
Ley de Proyecciones
Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.
Del triángulo se observa:
c = m + n
Pero:
n = a Cos B y m = b Cos A
Entonces: c = a Cos B + b Cos A, de igual manera se deducen los otros dos lados.
Por lo tanto:
Ejemplo:
En un triángulo ABC hallar «a» si:
Solución:
Aplicando la Ley de Proyecciones:
Área de una Región Triangular
Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.
Sea: S = área del triángulo
Por Geometría se sabe que:
Del triángulo rectángulo AHB se tiene:
Reemplazando (2) en (1):
Por lo tanto:
«El área de un triángulo es igual al semiproducto de sus lados, por el seno del ángulo comprendido entre dichos lados«
Ejemplo:
Hallar el área del triángulo isósceles ABC (AB = AC) mostrado en la figura.
Solución:
Aplicando la fórmula para el área:
Importante:
En algunos casos es necesario aplicar las siguientes fórmulas para el cálculo de una región triangular.
a. Área en función del semiperímetro y los lados del triángulo
a,b,c :lados
p : semiperímetro
b. Área en términos de los lados y el circunradio (R) del triángulo
a,b,c :lados
R : circunradio
Ejemplos de Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Ahora veremos algunos ejemplos de resolución de triangulo oblicuángulos:
Ejemplo 01:
Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el mayor el es doble del menor que es «θ». La relación del lado mayor al lado menor es:
Solución:
Graficamos de acuerdo a los datos:
Nos piden:
Aplicando la ley de Senos:
Ejemplo 02:
En un triángulo ABC, simplificar:
Solución:
Por la Ley de Senos sabemos que:
Reemplazando en la expresión original se tiene:
Transformando la suma de senos a producto se tiene:
Pero como
Por lo tanto:
Ejemplo 03:
Bajo que ángulo se ve la fachada de un edificio de 7m de largo, cuando el ojo del observador esta a 5m de uno de los extremos y a 8m del otro.
Solución:
Aplicando la ley de Cosenos:
de donde:
Ejercicios de Resolución de Triángulos Oblicuángulos
En esta sección te compartiremos varios problemas de resolución de triángulos oblicuángulos para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios para Resolver de Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 43 problemas de resolución de triángulos oblicuángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Resolución de Triángulos Oblicuángulos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de resolución de Triángulos oblicuángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Ahora te brindaremos algunos el enlace de una ficha educativa relacionada con el tema de resolución de triángulos rectángulos para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida: