RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Resolución de Triángulos Oblicuángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a la Resolución de Triángulos Oblicuángulos

A todo triángulo que sea diferente a un triángulo rectángulo se le denomina triángulo oblicuángulo. La resolución de triángulos oblicuángulos es un medio que nos permite calcular en forma sencilla los lados y ángulos del triángulo.

Hay diferentes teoremas o leyes que permiten resolver un triángulo, las cuales se aplican dependiendo de los datos que se tenga del triángulo en estudio.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos es importante tener presente las siguientes leyes:

  • Ley de Senos
  • Ley de Cosenos
  • Ley de Tangentes
  • Ley de Proyecciones

Ley de Senos

Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.

Ley de Senos

Del triángulo rectángulo AHB

Del triángulo rectángulo AHB

Entonces: c Sen A = a Sen C

Ejemplo Ley de Senos

De la misma forma si trazamos la altura desde el vértice A, obtenemos:

Ejercicio Ley de Senos

Por lo tanto:

«En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulo opuestos».

Así:

Ejercicio 1 Ley de Senos

Importante: La razón que se obtiene al dividir cualquiera de los lados del triángulo con el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Circunferencia Circunscrita

Se traza el diámetro BD

El ángulo BCS = 90°

El ángulo BDC = ángulo BAC

el triángulo rectángulo BCD

Triangulo Rectángulo Circunferencia Circunscrita

De igual manera se cumple con los ángulos B y C, por lo tanto:

Ejemplo Triangulo Rectángulo Circunferencia Circunscrita

Luego el enunciado general de la Ley de Senos es:

«En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos y además, son iguales al diámetro de la circunferencia circunscrita«.

Ejemplo 01:

En un triángulo ABC hallar «b» si: a = √2 ,B = 60° y A = 45°

Solución:

Ejemplo 1 Ley de Senos

Aplicando la Ley de Senos  :

Solución Ejemplo 1 Ley de Senos

Ejemplo 02:

En un triángulo ABC, hallar el ángulo «B», si: b = 8cm, a = 6cm y A = 30°.

Solución:

Ejemplo 2 Ley de Senos

Aplicando la Ley de Senos:

Solución Ejemplo 2 Ley de Senos

Ley de Cosenos

Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.

Ley de Cosenos

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

En el triángulo rectángulo AHB:  C2 = x2 + h2

En el triángulo rectángulo BHC:  a2 = (b – x)2 + h2

De la expresión (2): a2 = b2 + x2 + h2 – 2bx

Reemplazando (1): a2 = b2 + c2 – 2bx

Pero:  x = c Cos A, entonces:

Formula Ley de Cosenos

De la misma forma, si trazamos la altura desde el vértice A, obtenemos:

Ejemplo Ley de Cosenos

Por lo tanto el enunciado general de la Ley de Cosenos es:

«En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos«

Propiedad Ley de Cosenos

Importante: De esta Ley se deduce:

Formulas Ley de Cosenos

Ejemplo 01:

En un triángulo ABC hallar «c» si:

Ejemplo 1 Ley de Cosenos

Solución:

Solución Ejemplo 1 Ley de Cosenos

Aplicando la Ley de Cosenos:

Respuesta Ejemplo 1 Ley de Cosenos

Ejemplo 02:

En un triángulo ABC, hallar el ángulo «A» si los lados del triángulo son:

Ejemplo 2 Ley de Cosenos

Solución:

Solución Ejemplo 2 Ley de Cosenos

Aplicando la Ley de Cosenos:

Respuesta Ejemplo 2 Ley de Cosenos

Ley de Tangentes

En enunciado general de este teorema es:

«En todo triángulo, la diferencia de dos sus lados es a su suma, como la tangente de la semidiferencia de los ángulo opuestos a dichos lados es a la tangente de la semisuma de los mismos«

Ley de Tangentes

Ejemplo:

En un triángulo ABC hallar «b» si: a = b +1, A = 75° y B = 15°.

Solución:

Ejemplo 1 Ley de Tangentes

Aplicando la ley de Tangentes:

Solución Ejemplo 1 Ley de Tangentes

Luego se resuelve el sistema de ecuaciones:

Conclusión Ejemplo 1 Ley de Tangentes

Ley de Proyecciones

Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.

Ley de Proyecciones

Del triángulo se observa:

c = m + n

Pero:

n = a Cos B y m = b Cos A

Entonces: c = a Cos B + b Cos A, de igual manera se deducen los otros dos lados.

Por lo tanto:

Propiedad Ley de Proyecciones

Ejemplo:

En un triángulo ABC hallar «a» si:

Ejemplo Ley de Proyecciones

Solución:

Solución Ejemplo Ley de Proyecciones

Aplicando la Ley de Proyecciones:

Resolución Ejemplo Ley de Proyecciones

Área de una Región Triangular

Sea ABC un triángulo cualquiera, al cual le trazamos la altura BH.

Área de una Región Triangular

Sea: S = área del triángulo

Por Geometría se sabe que:

Área del Triángulo

Del triángulo rectángulo AHB se tiene:

Área del Triángulo Rectángulo

Reemplazando (2) en (1):

Conclusión Área del Triángulo Rectángulo

Por lo tanto:

«El área de un triángulo es igual al semiproducto de sus lados, por el seno del ángulo comprendido entre dichos lados«

Formulas Área del Triángulo

Ejemplo:

Hallar el área del triángulo isósceles ABC (AB = AC) mostrado en la figura.

Ejemplo 1 Área del Triángulo

Solución:

Solución Ejemplo 1 Área del Triángulo

Aplicando la fórmula para el área:

Conclusión Ejemplo 1 Área del Triángulo

Importante:

En algunos casos es necesario aplicar las siguientes fórmulas para el cálculo de una región triangular.

a. Área en función del semiperímetro y los lados del triángulo

Fórmula de Herón

a,b,c :lados

p : semiperímetro

b. Área en términos de los lados y el circunradio (R) del triángulo

Área en términos de los lados y el circunradio del triángulo

a,b,c :lados

R : circunradio

Ejemplos de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Ahora veremos algunos ejemplos de resolución de triangulo oblicuángulos:

Ejemplo 01:

Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el mayor el es doble del menor que es «θ». La relación del lado mayor al lado menor es:

Solución:

Graficamos de acuerdo a los datos:

Ejemplo 1 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Nos piden:

Solución Ejemplo 1 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Aplicando la ley de Senos:

Respuesta Ejemplo 1 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Ejemplo 02:

En un triángulo ABC, simplificar:

Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Solución:

Por la Ley de Senos sabemos que:

Solución Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Reemplazando en la expresión original se tiene:

Conclusión Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Transformando la suma de senos a producto se tiene:

Proceso Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Pero como

Resolución Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Por lo tanto:

Respuesta Ejemplo 2 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Ejemplo 03:

Bajo que ángulo se ve la fachada de un edificio de 7m de largo, cuando el ojo del observador esta a 5m de uno de los extremos y a 8m del otro.

Solución:

Ejemplo 3 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Aplicando la ley de Cosenos:

Solución Ejemplo 3 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

de donde:

Respuesta Ejemplo 3 de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Ejercicios de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

En esta sección te compartiremos varios problemas de resolución de triángulos oblicuángulos para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios para Resolver de Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 43 problemas de resolución de triángulos oblicuángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Resolución de Triángulos Oblicuángulos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de resolución de Triángulos oblicuángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos algunos el enlace de una ficha educativa relacionada con el tema de resolución de triángulos rectángulos para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

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