ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ecuaciones Trigonométricas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son las Ecuaciones Trigonométricas?

Una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que intervienen una o más razones trigonométricas de una o más variables angulares y que se verifica para determinados valores de dichas variables.

Para que una igualdad, sea una ecuación trigonométrica la variable angular tiene que estar afectada de alguna razón trigonométrica, caso contrario no será ecuación trigonométrica.

Así por ejemplo:

  • Sen x + Cos x = 1/2  →  Si es ecuación trigonométrica
  • X + Cos x = 0   → No es ecuación trigonométrica
  • Sen 4x + Sen 2x = Cos x  →  Si es ecuación trigonométrica

Solución de una Ecuación Trigonométrica

A los valores de la variable que verifican la igualdad (ecuación trigonométrica) se les denomina soluciones o raíces de la ecuación.

Debido a que un ángulo tiene infinitos ángulos coterminales, toda ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones y a este conjunto de valores se les denomina conjunto solución.

Así por ejemplo:

Si la ecuación es:  Sen x = 1/2 su conjunto solución será:

Solución de una Ecuación Trigonométrica

Tipos de Soluciones

Al resolver un ecuación trigonométrica podemos encontrar dos tipos de soluciones:

Solución General

Se denomina así, al conjunto de valores que resuelven la ecuación las cuales como son infinitas, se les representa por medio de un conjunto en comprensión.

Así por ejemplo:

Si la ecuación trigonométrica es: Sen x = 1/2

Solución General

donde: «n» es un número entero.

Solución Principal

Se denomina así a la menor solución positiva que resuelve la ecuación.

Así por ejemplo:

Si la ecuación trigonométrica es: Sen x = 1/2

La solución principal resulta de hacer n = 0 en la solución general

Solución Principal

anteriormente encontrada

Proceso Solución Principal

su solución principal será: x = π/6

Tipos de Ecuaciones Trigonométricas

Existen dos tipos de ecuaciones trigonométricas:

Ecuaciones Trigonométricas Elementales

Son las que tienen la siguiente forma:

Ecuaciones Trigonométricas Elementales

donde:

x: incógnita

n: número

Así por ejemplo, las siguientes igualdades son ecuaciones trigonométricas elementales:

Ejemplos Ecuaciones Trigonométricas Elementales

Ecuaciones Trigonométricas Diversas

Llamadas también no elementales, son aquellas que para resolverlas se necesita aplicar propiedades algebraicas (productos notables, factorización, etc.) y propiedades trigonométricas (identidades, ángulos compuestos, ángulo doble, transformación a producto, etc.)

Así por ejemplo, las siguientes igualdades son ecuaciones trigonométricas diversas (no elementales):

Ecuaciones Trigonométricas diversas

Ecuaciones Trigonométricas Elementales

a. La solución general de las ecuaciones trigonométricas elementales se halla por medio de unas expresiones que dependen de la función que intervenga en la ecuación.

Así tenemos:

Para Seno y Cosecante:

Si las ecuaciones tienen la forma:

Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Seno y Cosecante

Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Seno y Cosecante

Formula Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Seno y Cosecante

Para Coseno y Secante:

Si las ecuaciones tienen la forma:

Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Coseno y Secante

Su solución general será:

Formula de Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Coseno y Secante

Para Tangente y Cotangente:

Si las ecuaciones tienen la forma:

Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Tangente y Cotangente

Su solución general será:

Formula de Ecuaciones Trigonométricas Elementales para Tangente y Cotangente

Donde:

x: Conjunto de todos los ángulos que cumplen con la ecuación

n: número entero

Ejemplo:

Hallar la solución general de las ecuaciones siguientes:

1.- Sen 3x = 1/2

Ejemplo 1 Ecuaciones Trigonométricas Elementales

2.- Tg (3x + 45°) = 1

Ejemplo 2 Ecuaciones Trigonométricas Elementales

b. La solución principal de las ecuaciones trigonométricas elementales se halla de la siguiente manera:

    • Se halla la solución general
    • El primer valor positivo de la variable angular que se obtiene a partir de la solución general es la solución principal

Ejemplo:

Hallar la solución principal de las ecuaciones siguientes:

1. Sen 6x = √3/2

Ejercicio 1 Ecuaciones Trigonométricas Elementales

si: n = 0 entonces la solución principal será:

Conclusión Ejercicio 1 Ecuaciones Trigonométricas Elementales

Ecuaciones Trigonométricas Diversas (No Elementales).

a. Para hallar la solución general de las ecuaciones trigonométricas diversas se hace lo siguiente:

  • Transformar la ecuación en ecuaciones elementales (puede ser una o varias ecuaciones) haciendo uso de propiedades algebraicas y trigonométricas.
  • La solución general será la unión de cada uno de los conjuntos solución de las ecuaciones halladas.

Ejemplo:

Hallar la solución general de la ecuación siguiente:

1.- Cos 6x + Cos 4x = 0

Transformando a producto:

Ecuaciones Trigonométricas Diversas no Elementales

b. Para hallar la solución principal de las ecuaciones trigonométricas diversas se hace lo siguiente:

  • Transformar la ecuación en ecuaciones elementales (puede ser una o varias ecuaciones) haciendo uso de propiedades algebraicas y trigonométricas.
  • La solución general será la unión de cada uno de los conjuntos solución de las ecuaciones halladas.
  • La menor solución positiva será la solución principal.

Ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas y hallar su solución principal (SP)

01 .-

Ejemplo 1 de Solución Principal de Ecuaciones Trigonométricas Diversas

Transformando la ecuación a una elemental:

Solución Ejemplo 1 de Solución Principal de Ecuaciones Trigonométricas Diversas

Su solución general será:

Proceso Ejemplo 1 de Principal de Ecuaciones Trigonométricas Diversas

Si n = 0 entonces la solución principal será:  SP = π/3

Sistema de Ecuaciones Trigonométricas

Se denomina sistema de ecuaciones trigonométricas a aquel sistema que está compuesto por varias ecuaciones donde por lo menos una de ellas es una ecuación trigonométrica y las demás algebraicas.

Así por ejemplo son un sistema de ecuaciones trigonométricas:

Sistema de Ecuaciones Trigonométricas

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones trigonométricas es el conjunto formado por todos los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente cada ecuación del sistema.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

1 .-

Ejemplo Sistema de Ecuaciones Trigonométricas

Ejemplos de Ecuaciones Trigonométricas

Ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 01:

Resolver: Sen 4x + Sen x = 0 y dar como respuesta el número de soluciones en el intervalo

Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Solución:

Transformando la suma a producto:

Resolución Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Por lo que se debe cumplir que:

Proceso Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Resolviendo la ecuación:

Solución Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Para     n=0      entonces:     x=0
Para     n=1       entonces:    x=2π/5

Resolviendo la ecuación:

Resolución Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Conclusión Ejemplo 1 de Ecuaciones Trigonométricas

Para    n = 0    entonces;    x = π/3
Para    n = 1      entonces:   x = 2π/5

Entonces el número de soluciones es «3«.

Ejemplo 02:

Hallar la suma de las soluciones de la ecuación:

Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

si se tiene presente que x ∈ [0,2]

Solución:

Aplicando las identidades:

Solución Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

de donde:

Proceso Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

Factorizando:

Solución Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

Resolución Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

Para  n = 0  entonces:  x = 60°
Para  n = 1  entonces:  x = 240°
Para  n = 2  entonces:  x =420°

  Conclusión Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

Para  n = 0  entonces:  x = -45°
Para  n = 1   entonces:   x = 135°
Para  n = 2  entonces:    x = 315°

Por lo tanto la suma de soluciones será:

60° + 240° + 135° + 315° = 750°

La respuesta será:

Respuesta Ejemplo 2 de Ecuaciones Trigonométricas

Ejercicios de Ecuaciones Trigonométricas

En esta sección te compartiremos varios problemas de ecuaciones trigonométricas para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios para Resolver de Ecuaciones Trigonométricas

Aquí te compartiremos un documento que contiene 41 problemas de ecuaciones trigonométricas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ecuaciones Trigonométricas para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de ecuaciones trigonométricas para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos algunos enlaces de materiales educativos relacionados con el tema de ecuaciones trigonométricas para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

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