IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Identidades Trigonométricas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Identidad Trigonométrica

Una identidad es una ecuación que es satisfecha para todos los valores permitidos de su variable.

Ejemplo 1:

Escribir tres identidades algebraicas, cualesquiera:

(a)  x² – 1 = (x + 1)(x – 1) ,  para todo «x»

(b) x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2  ,  para todo «x»

(c) para todo x ≠ 1

Ejemplo 1 de Identidad Trigonométrica

Ejemplos 2:

Escribir identidades con funciones trigonométricas a partir de las identidades algebraicas anteriores.

(a) Sen² θ – 1 = (Senθ +1)(Senθ-1)  ,   para todo valor de «θ»

(b) Cosθ + 1 + 2 Cosθ -3 =3 Cosθ – 2  ,   para todo valor de «θ»

(c) para todo valor de Tgθ ≠ 0

Ejemplo 2 de Identidad Trigonométrica

Es posible relacionar las funciones trigonométricas entre si, mediante igualdades, por ello definimos que:

Concepto Identidad Trigonométrica

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Del triángulo mostrado, se puede deducir:

Identidades Reciprocas:

Identidades Reciprocas

Formulas de Identidades Reciprocas

Identidades por Cociente:

Utilizando el gráfico anterior:

Identidades por Cociente

Identidades Pitagóricas:

Aplicando el teorema de PITÁGORAS en la figura anterior, se obtiene:

Identidades Pitagóricas

Dividiendo entre: Cos² x la identidad (6), obtenemos:

Formulación Identidades Pitagóricas

usando las identidades (4) y (2):

Uso de las Identidades Pitagóricas

Del mismo modo, usando las identidades (6), (5) y (1)

Resolución Identidades Pitagóricas

Identidades Trigonométricas Auxiliares

Las identidades trigonométricas auxiliares más importantes son:

Identidades Trigonométricas Auxiliares

Demostraciones de Identidades Trigonométricas

Para demostrar identidades trigonométricas no hay una técnica ni un procedimiento especial. Las siguientes sugerencias ayudan a realizar dichas demostraciones.

1.-  Demostrar que un miembro de la igualdad dada es igual al otro.

2.-  Escoger el miembro más complicado de la identidad.

3.-  Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos.

4.-  Hacer uso de las identidades algebraicas. Entre las identidades más  importantes tenemos:

Demostraciones de Identidades Trigonométricas

5.-  Si hubiera productos indicados, desarrollar y simplificar.

6.- De las identidades trigonométricas fundamentales se pueden deducir otras así:

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Ejemplos:

1.-  Demostrar: Sen²x. Sec x + Cos x =Sec x

Consideremos el lado izquierdo de la identidad: Sen²x. Sec x + Cos x

Usando la identidad (2):

Uso de la Identidad

Efectuando operaciones se tendrá:

Efectuando Operaciones

Empleando la identidad (6):

Empleo de Identidad

Finalmente de (2): Sec x

2.-  Demostrar: Tg x + Ctg x = Sec x . Csc x

Trabajando con Tg x + Ctg x

Utilizando las identidades ( ) y ( )

Utilizando las Identidades

Sumando las fracciones:

Suma de Fracciones

Utilizando la identidad ( ), tendremos:

Uso de Identidad

Propiedad:

Propiedad de Identidad

Usando las identidades recíprocas:    ……………..

Simplificaciones

Con la ayuda de las identidades trigonométricas estudiadas podemos reducir al máximo expresiones trigonométricas que contengan diversos grados de dificultad.

Ejemplo 01:

1.-  Simplificar: Sen x . Cos x . Tg x

Solución:

Colocando la expresión en términos de senos y cosenos:

Ejemplo 1 de Simplificaciones

al simplificar: «Cos x» queda:

Solución Ejemplo 1 de Simplificaciones

Ejemplo 02:

Reducir: (Sen x + Cos x)² + ( Sen x – Cos x)²

Solución:

Utilizando la Identidad de Legendre:

Ejemplo 2 de Simplificaciones

Ejemplos de Identidades Trigonométricas

Ahora veremos algunos ejemplos de identidades trigonométricas:

Ejemplo 01:

Simplificar: R = (Sec x – Cos x)(Csc x – Sen x)(Tg x + Ctg x)

Solución:

Expresando en términos de senos y cosenos:

Aplicaciones de Identidad Trigonométrica

Luego de reemplazar las identidades correspondientes, se obtiene:

Ejercicio de Identidad Trigonométrica

Finalmente: R = 1

Ejemplo 02:

Reducir:

Ejercicio 2 de Identidad Trigonométrica

Solución:

Usando las identidades fundamentales, obtenemos:

Solución Ejercicio 2 de Identidad Trigonométrica

Efectuando:

Conclusión Ejercicio 2 de Identidad Trigonométrica

Finalmente: M = Tg x

Ejemplo 03:

A qué es igual:

Ejercicio 3 de Identidad Trigonométrica

Solución:

Utilizando las identidades auxiliares (11) y (12), se obtiene:

Solución Ejercicio 3 de Identidad Trigonométrica

luego, efectuando operaciones:

Proceso Ejercicio 3 de Identidad Trigonométrica

finalmente: S = 1

Ejemplo 04:

Simplificar:

Ejercicio 4 de Identidad Trigonométrica

Solución:

Desarrollando las identidades algebraicas en el numerador:

Solución Ejercicio 4 de Identidad Trigonométrica

luego de simplificar y usar la identidad auxiliar (10), se tiene:

Conclusión Ejercicio 4 de Identidad Trigonométrica

finalmente: K = 2

Ejercicios de Identidades Trigonométricas

En esta sección te compartiremos varios problemas de identidades trigonométricas para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios para Resolver de Identidades Trigonométricas

Aquí te compartiremos un documento que contiene 48 problemas de identidades trigonométricas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Identidades Trigonométricas para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de identidades trigonométricas estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos algunos enlaces de materiales educativos relacionados con el tema de identidades trigonométricas al 1er cuadrante para 4to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos algunos el enlace de dos fichas educativas relacionadas con el tema de identidades trigonométricas para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

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