RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Sistema de Coordenadas Rectangulares.

Es el sistema que consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) las cuales se cortan perpendicularmente en el número cero. Estas dos rectas numéricas se denominan ejes coordenados.

Sistema de coordenadas rectangulares

  • O     :     Origen de coordenadas
  • X’X :      Eje de abscisas
  • Y’Y  :      Eje de ordenadas
  • OX  :      Semieje positivo de las abscisas
  • OX’ :      Semieje negativo de las abscisas
  • OY  :       Semieje positivo de las ordenadas
  • OY’ :       Semieje negativo de las ordenadas

Al plano que contiene estás rectas numéricas se el denomina plano cartesiano y, como se puede observar, está dividido en cuatro regiones, denominados cuadrantes (I, II, III, IV).

Se denomina coordenadas de un punto «P» al par ordenado (x;y) en donde «x» es la abscisa e «y» la ordenada dependiendo de estos valores se sabrá a que cuadrante pertenece.

Así por ejemplo:

Ejemplo Sistema de coordenadas rectangulares

Al dibujar el punto P(-3;2) se observa:

  • -3      :     abscisa
  • 2       :     ordenada

Entonces:

  • P(-3;2)  ∈ IIC

Observaciones:

Ubicación de un punto

Dado P(x;y)

  • Si: x > 0 ;  y > 0 entonces P ∈ al I C
  • Si: x < 0 ;  y > 0 entonces P ∈ al II C
  • Si: x < 0 ;  y < 0 entonces P ∈ al III C
  • Si: x > 0 ;  y < 0 entonces P ∈ al IV C

Casos particulares:

  • Si:     x = 0 ; y = 0 entonces P ∈ al origen de coordenadas
  • Si:     x = 0 ; y ≠ 0 entonces P ∈ al eje de ordenadas
  • Si:     x ≠ 0 ; y = 0 entonces P ∈ al eje de abscisas

Ejemplos:

1) Indicar a qué cuadrante pertenecen los siguientes puntos:

  • (1;3)
  • (-2;5)
  • (-√3;-√3)
  • (2;-2)
  • (0;5)
  • (-2;0)

Punto medio de un segmento

El punto medio de un segmento del cual se conocen las coordenadas de sus extremos se calcula de la siguiente manera:

Punto medio de un segmento

Ejemplo:

Hallar el punto medio del segmento PQ si P(-3; -2) y Q(11;8)

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A y B se calcula se la siguiente manera:

Distancia entre Dos Puntos

Formula Distancia entre Dos Puntos

Ejemplos:

Hallar la distancia entre los puntos M(-2;-2) y M(3;3)

Cálculo del radio vector (R)

La distancia de un punto P(x;y) al origen de coordenadas se denomina radio vector el cual siempre será positivo y se calcula de la siguiente manera:

Cálculo del radio vector

en donde «x» e «y» son las coordenadas del punto P.

Ejemplo:

Hallar el radio vector del punto R si sus coordenadas son (-5;12)

Ángulos en Posición Normal

Se denominan ángulos en posición normal, a alguien cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vértice con el origen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano (cuadrantes o sobre los ejes coordenados).

A estos ángulos también se les denomina ángulos en posición estándar.

A continuación se muestra algunos ejemplos de ángulos en posición normal.

Ángulos en Posición Normal

Ejemplo Ángulos en Posición Normal

Ángulos Cuadrantales

Se denominan ángulos cuadrantales, a aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algún semieje del sistema de coordenadas rectangulares.

A continuación se muestra algunos ejemplos de ángulos cuadrantales.

Ángulos Cuadrantales

Como se puede observar, todos los ángulos cuadrantales son de la forma 90°(k), donde k pertenece a los números enteros.

Los principales ángulos cuadrantales son:

Principales Ángulos Cuadrantales

Para determinar si un ángulo es cuadrantal se hace lo siguiente:

El ángulo dado «x» se divide entre 90º ó π /2 rad dependiendo si «x» está en grados sexagesimales o en radianes. Si el resultado es un número entero, entonces, dicho ángulo «x» es cuadrantal.

Ejemplo:

Determinar si los siguientes ángulos cuadrantales o no, y graficarlos.

  1. α = 1440°
  2. β = -810°
  3. θ = 750°

Observación:

Ubicación de un ángulo en el plano cartesiano

Para poder ubicar el cuadrante al que pertenece un ángulo tomaremos como referencia un punto del lado final del ángulo.

Conociendo un punto del lado final del ángulo se puede determinar el cuadrante al cual pertenece dicho ángulo. Para ello debemos tener en cuenta la observación 1 dado anteriormente (ubicación de un punto).

Ejemplos:

  • A qué cuadrante pertenece el ángulo «α» si su lado final contiene el punto (-3;1), graficar:
  • A qué cuadrante pertenece el ángulo «α» si su lado final contiene el punto (0;-4), graficar:

Razones Trigonométricas de los Ángulos en Posición Normal

Sea P(x;y) un punto que pertenece al lado final del ángulo «α» (ángulo en posición normal) y OP=R=radio vector tal como muestra la figura.

Razones Trigonométricas de los Ángulos en posición normal

  • R  :  radio vector de «P»
  • x   :  abscisa de «P»
  • y   :  ordenada de «P»

Se definen las razones trigonométricas de «α» de la siguiente manera:

Razones Trigonométricas

Importante:

Los signos de las razones trigonométricas dependen de los signos de la abscisa y ordenada del punto P. Además el radio vector «R» siempre es positivo.

Ejemplos:

  • Hallar las razones trigonométricas de un ángulo «α» (en posición normal) si su lado final pasa por el punto .
  • Hallar las razones trigonométricas de un ángulo «α» (en posición normal) si su lado final pasa por el punto .

Signos de las Razones Trigonométricas

Signos de las razones trigonométricas

Tabla de Signos de las razones trigonométricas

Ejemplos:

1) Hallar el signo de las siguientes expresiones, si «α» ∈ II C y «β» ∈ III C

Expresiones de Signos de las razones trigonométricas

Razones Trigonométricas de los Ángulos Coterminales

Si «α» y «β» son dos ángulos coterminales, cumplen con las siguientes propiedades:

  • Poseen los mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final)
  • Se diferencian en un número entero de vueltas
  • Las razones trigonométricas de «α» son iguales a las razones trigonométricas de «β» es decir:

Razones trigonométricas de los ángulos coterminales

Ejemplos:

Graficar y hallar las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

1. Sen 390º

Ejemplo 1 de Razones trigonométricas de los ángulos coterminales

En el gráfico se observa que los ángulos  390º y 30º son coterminales, son coterminales debido a que se diferencian en 360º (1 vuelta); por lo tanto:

Solución Ejemplo 1 de Razones trigonométricas de los ángulos coterminales

2. Cos 780º

Ejemplo 2 de Razones trigonométricas de los ángulos coterminales

En el gráfico se observa que los ángulos  780º y ………………. son coterminales son coterminales debido a que se diferencian en …………… (……….. vueltas); por lo tanto:

Cos 780° = …….

Razones Trigonométricas de los Ángulos Cuadrantales

A continuación se mostrará las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales más importantes:

Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales

Ejemplo de Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud

Ahora veremos un ejemplo de razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud.

Ejemplo 01:

Si: 12Sen α=11 y α ∈ IIQ; calcular: 23Tg α.(Sec α – Tg α)

Solución:

Ejemplo Razones Trigonométricas

Por sabe se sabe:

Solución Ejemplo Razones Trigonométricas

Por  Pitágoras:

Solución Ejemplo Razones Trigonométricas por Pitagoras

Reemplazando las razones trigonométricas de «α» en la pregunta:

Proceso Solución Ejemplo Razones Trigonométricas

Ejercicios de Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud

En esta sección te compartiremos varios problemas de razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios para Resolver de Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud

Aquí te compartiremos un documento que contiene 45 problemas de razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de razones trigonométricas de un ángulo agudo para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos algunos enlaces de materiales educativos relacionados con el tema de razones trigonométricas de un ángulo agudo para 4to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te brindaremos algunos enlaces de fichas educativas relacionadas con el tema de razones trigonométricas de un ángulo agudo para 5to grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

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