PRISMA Y CILINDRO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Prisma y Cilindro puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a los Prismas y Cilindros

Así como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros, también en la geometría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes, por ejemplo en las construcciones de las casas, edificios, etc., es muy común ver las columnas de forma prismática o cilíndrica, también las paredes, los tanques de ciertas cisternas u otros objetos que son de nuestra utilidad. Con el presente capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas.

Prisma

Superficie Prismática:

Dada una línea poligonal plana no secante a sí misma y una recta secante al plano que contiene a la línea poligonal en algún punto de dicha poligonal; la superficie prismática se genera mediante el desplazamiento de la recta por la poligonal, manteniéndose paralela a su posición inicial.

A la poligonal se le denomina directriz y a la recta que genera la superficie generatriz.

Prisma

Definición de un Prisma:

Es aquel poliedro determinado por una superficie prismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices.

Características del Prisma:

El prisma tiene dos caras paralelas y congruentes a las cuales se les denomina bases y las otras caras son regiones paralelográmicas y estas son denominadas caras laterales.

Toda arista contenida en alguna base del prisma es denominada arista básica y el lado común a dos caras laterales se denomina arista lateral, todas las aristas laterales son paralelas y de igual longitud.

Los prismas se nombran según el número de lados que tiene la base, por ejemplo: si tiene cinco lados, se le denomina prisma pentagonal.

Sección Transversal del Prisma:

Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a su base.

Sección Recta del Prisma:

Es la sección determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante a todas sus aristas laterales.

Caracteristicas del Prisma

Notación: Prisma cuadrangular

ABCD–A’B’C’D’

Área y Volumen de un Prisma:

Área de la Superficie Lateral (ASL):

Área de la Superficie Lateral

P: perímetro de la sección recta

Área de la Superficie Total (AST):

Área de la Superficie Total

Volumen (V):

Volumen

h: longitud de la altura

Longitud de la Altura

Clasificación de los Prismas

Prisma Oblicuo:

Es aquel prisma cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

Prisma Oblicuo

En el gráfico, se tiene el prisma cuadrangular oblicuo ABCD – A’B’C’D’

Se cumple:

Ejemplo Prisma Oblicuo

Tronco de Prisma Triangular Oblicuo

Es aquel determinado en un prisma triangular.

Tronco de Prisma Triangular Oblicuo

En el gráfico, se tiene el tronco de prisma ABC – A´B´C´

Volumen (V):

Volumen Tronco de Prisma Triangular Oblicuo

Analizar los casos en los que:

  • BB´= 0
  • BB´=0  y  CC´=0

Prisma Recto:

Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Prisma Recto

En el gráfico, se tiene el prisma pentagonal recto: ABCDE – FGHIJ.

En donde se cumple que:

Ejemplo Prisma Recto

Tronco de Prisma Triangular Recto

Es una porción de prisma recto comprendido entre una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base secante a todas sus aristas laterales.

Sus caras laterales son trapecios rectángulos.

Tronco de Prisma Triangular Recto

Prisma Regular:

Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares.

En el grafico tenemos un prisma recto pentagonal regular.

Prisma Regular

Los prismas también se clasifican por el número de lados de sus bases

–  Si la base es un triángulo se llama prisma triangular
–  Si la base es un cuadrilátero se llama prisma cuadrangular
–  Si la base es un pentágono, se llama prisma pentagonal.
–  Si la base es un hexágono, se llama prisma hexagonal

Paralelepípedo

Es aquel prisma cuyas caras todas son regiones paralelográmicas.

ParalelepípedoClasificación de los Paralelepípedos

Paralelepípedo Recto:

Es aquel paralelepípedo cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. Es decir sus caras laterales son rectángulos y sus bases paralelogramos.

Paralelepípedo Recto

Donde debe cumplirse que: θ ≠90°

Paralelepípedo Rectángulo

(Rectangular, Rectoedro u Ortoedro)

Es aquel paralelepípedo recto cuyas bases y sus caras laterales son regiones rectangulares.

Paralelepípedo Rectángulo

Tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes y de igual longitud

Cuatro Diagonales Paralelepípedo Rectángulo

Área de la superficie total  (AST):

Área de Superficie Total

Volumen (V):

Volumen del Paralelepípedo Recto

Romboedro

Es aquel paralelepípedo cuyas bases y caras laterales son rombos. Es decir son regiones romboédricas.

Romboedro

Cilindro

Superficie Cilíndrica:

Es aquella superficie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente a sí misma apoyándose en una línea curva plana y cerrada denominada directriz.

Cilindro

Definición del Cilindro:

Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por dos planos paralelos entre si y secantes a todas las generatrices.

Características del Cilindro:

Las Secciones determinadas en los planos paralelos se denominan bases y son congruentes. La porción de superficie  cilíndrica comprendida entre dichos planos es la superficie lateral del cilindro; en la cual se ubican segmentos paralelos de igual longitud cuyos extremos están ubicados en el contorno de sus bases denominados generatrices.

Sección Transversal de un Cilindro:

Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano paralelo a sus bases.

Sección Recta de un Cilindro:

Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano perpendicular y secante a todas sus generatrices.

Características del Cilindro

Área y Volumen de un Cilindro:

Área de la superficie lateral (ASL)

Área de Superficie Lateral del Cilindro

Área de la superficie total (AST)

Área de Superficie Toral del Cilindro

Volumen (V)

Volumen del Cilindro
  : Perímetro de la sección recta
ASR : Área de la sección recta

Clasificación de los Cilindros

Se clasifican en cilindros rectos (sus generatrices son perpendiculares a sus bases) y cilindros oblicuos (sus generatrices son oblicuas con respecto a las bases).

Clasificación del Cilindro

Cilindro Circular Recto

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, también es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

Cilindro Circular Recto

Área de la superficie lateral (ASL):

Ärea de la Superficie Lateral Cilindro Circular Recto

Área de la superficie Total (AST):

Ärea de la Superficie Total Cilindro Circular Recto

Volumen (V):

Volumen del Cilindro Circular Recto

Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Área de la superficie lateral (ASL):

Área de la Superficie Lateral Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

R: Radio de la sección recta

Área de la superficie Total (AST):

Área de la Superficie Total Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Volumen (V):

Volumen del Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Nota:

Las bases del cilindro oblicuo de sección recta circular son regiones elípticas cuyas áreas se calculan en función de sus semiejes

Bases de Cilindro Oblicuo

Tronco de Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Tronco de Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Área de la superficie Total (ASL):

Área de la Superficie Lateral Tronco de Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

P : Perímetro de la sección recta

Volumen (V):

Volumen del Tronco de Cilindro Oblicuo de Sección Recta Circular

Ejemplos de Prisma y Cilindro

Ejemplo 01:

Hallar el área total de un paralelepípedo rectángulo de 13 m de diagonal, siendo las dimensiones de la base 3 y 4 m.

Resolución:

Ejemplo 1 de Prisma y Cilindro

Datos:

Solución Ejemplo 1 de Prisma y Cilindro

Entonces: BC=5m

En el triángulo rectángulo ABC:

Proceso Ejemplo 1 de Prisma y Cilindro

Luego Área total será:

Respuesta Ejemplo 1 de Prisma y Cilindro

Ejemplo 02:

Un prisma recto tiene por base un trapecio isósceles cuyas bases miden 6 y 12 m y su altura mide 4 m. Hallar la longitud de la altura del prisma si su área total es equivalente al de un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son 4, 8 y 10 m.

Resolución:

Ejemplo 2 de Prisma y Cilindro

El trapecio es isósceles, en donde:

Solución Ejemplo 2 de Prisma y Cilindro

Además el área total del prisma igual al área total de un paralelepípedo rectángulo, entonces:

Proceso Ejemplo 2 de Prisma y Cilindro

Pero área total del prisma:

Respuesta Ejemplo 2 de Prisma y Cilindro

Ejemplo 03:

Calcular el volumen de un cilindro recto, si la media armónica entre las longitudes del radio y la altura es 9/5 y su área es 20π.

Resolución:

Sea r y h las longitudes del radio y la altura respectivamente.

Por dato:

Ejemplo 3 de Prisma y Cilindro

Reemplazando ( I ) en ( II )

Solucion Ejemplo 3 de Prisma y Cilindro

Volumen del cilindro será:

Respuesta Ejemplo 3 de Prisma y Cilindro

Ejemplo 04:

La altura de un prisma recto mide 6 m; su base es un rectángulo, en el que la longitud de uno de sus lados es el doble del contiguo; el área total es de .Calcular la longitud de la diagonal del prisma.

Resolución:

Ejemplo 4 de Prisma y Cilindro

Sea “x” la longitud de uno de los lados de la base, entonces la longitud del lado contiguo será 2x, entonces el área de las dos bases:

Solucion Ejemplo 4 de Prisma y Cilindro

Área lateral:

Proceso Ejemplo 4 de Prisma y Cilindro

Por dato se tiene que:

Conclusión Ejemplo 4 de Prisma y Cilindro

Luego la longitud de la diagonal será:

Respuesta Ejemplo 4 de Prisma y Cilindro

Ejercicios de Prisma y Cilindro

En esta sección te compartiremos varios problemas de prisma y cilindro resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Prisma y Cilindro

Aquí te compartiremos un documento que contiene 09 problemas resueltos de prisma y cilindro, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Prisma y Cilindro

Aquí te compartiremos un documento que contiene 47 problemas de prisma y cilindro, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Prisma y Cilindro para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que brinda fichas relacionadas con el tema de prisma y cilindro para estudiantes de primaria, todos estos recursos educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Son dos recursos educativos relacionados con los temas de prisma y cilindro para 3er grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

En esta sección te compartiremos los enlaces de las fichas cuyos temas están relacionados con el tema de prisma y cilindro para 4to grado de primaria, esperamos que sea de ayuda:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Son dos fichas educativas relacionadas con los temas de prisma y cilindro recto para 5to grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son 2 fichas educativas de pirámides y conos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Prisma y Cilindro para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de prisma y cilindro para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de área y volumen de los prismas y cilindro para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de prisma y cilindro para 2do grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de prismas y cilindros para 3er grado de secundaria que te dejaremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te dejaremos el enlace que te enviara a descargar un material educativo relacionado con el tema de prisma y cilindro para 4to grado de secundaria, esperamos que te sirva:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos un link que te enviara al lugar donde podrás obtener un material educativo relacionado con el tema de prisma y Tronco de Prisma para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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