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Introducción a los Polígonos Regulares
Desde la antigüedad, se sabe que el hombre ha decorado sus viviendas con dibujos y ornamentos regulares. Estos gráficos repetitivos que nos dan la idea de propagarse indefinidamente en el espacio se encuentran, hoy en día, en los tapices, en los papeles pintados para empapelar paredes, en los enlosados y otros revestimientos del suelo, en los adornos arquitectónicos exteriores o interiores (mosaicos); también se usa las formas poligonales regulares en el diseño de las tuercas, en la distribución de los terrenos, etc. Inclusive hay poblaciones en las cuales la distribución de sus manzanas tienen una forma poligonal regular.
La naturaleza también nos brinda ejemplos de estas figuras y de esa armonía de proporciones que satisface los sentidos; por ejemplo, los cristales de nieve, las ondas en la superficie del agua, el panal de abejas, etc.
¿Qué es un Polígono Regular?
Es aquel polígono que es equiángulo y equilátero a la vez.
Teorema
Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a dos circunferencias concéntricas.
En el gráfico se muestra el polígono regular A1 A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , ….., An inscrito en la circunferencia de radio R y circunscrito a una circunferencia de radio “r”.
Elementos Asociados al Polígono Regular
Centro (O)
Centro de la circunferencia inscrita y circunscrita al polígono regular.
Inradio (r)
Radio de la circunferencia inscrita al polígono regular.
Circunradio (R)
Radio de la circunferencia circunscrita al polígono regular.
Apotema (an)
Es el segmento perpendicular a un lado de un polígono regular, trazado desde el centro de la circunferencia.
Ángulo Central (∡A3 OA4)
Es un ángulo que tiene su vértice en el centro del polígono regular, cuyos lados lo determinan los circunradios que pasan por dos vértices consecutivos del polígono regular.
n: número de lados del polígono
Además en todo polígono regular de “n” lados:
* Medida del ángulo interior (αn)
* Medida del ángulo exterior (βn)
Triángulo Elemental de un Polígono Regular
Se llama triángulo elemental del polígono regular, a aquel triángulo cuyos vértices son dos vértices consecutivos del polígono y el tercer vértice es el centro de la circunferencia a la cual está inscrita dicho polígono.
Nota:
El triángulo elemental de cualquier polígono regular resulta ser un triángulo isósceles ya que AO=OB=R; a excepción del hexágono regular en el que su triángulo elemental resulta ser un triángulo equilátero.
Triángulos Elementales:
Cálculo de los Elementos del Polígono Regular
Lado del Polígono Regular
Apotema del Polígono Regular
La apotema de cualquier polígono regular viene a ser la distancia del centro de la circunferencia hacia cualesquiera de los lados del polígono.
Por el teorema de Pitágoras:
Fórmula Trigonométrica:
Lado del Polígono Regular de Doble Número de Lados (L2n)
Con l2n designaremos al lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia, cuyo número de lados es el doble que el de otro polígono regular de “n” lados inscrito en la misma circunferencia.
En el Δ OCD, por el Teorema de Euclides:
Pero:
Resumen de los Polígonos Regulares
Principales Polígonos Regulares
Ejemplos de Polígonos Regulares
Ejemplo 01:
Calcular el lado y la apotema de un cuadrado, si el radio de la circunferencia circunscrita mide 3√2.
Resolución
Reemplazando el circunradio R=3√2
Ejemplo 02:
Si un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una circunferencia, la razón de sus apotemas es:
Resolución:
Ejemplo 03:
Cuál es el perímetro de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide √3n.
Resolución:
Se observa que el radio viene a ser la apotema del hexágono circunscrito a la circunferencia
En el triángulo notable sombreado
El Δ ABO es equilátero
Piden el perímetro:
Ejemplo 04:
El ángulo formado por los lados iguales de un triángulo isósceles es de 36º, si el lado desigual mide 10 m, determinar uno de los lados iguales (√5+2,23).
Resolución
Se observa que el triángulo isósceles es el triángulo elemental del decágono regular.
Ejercicios de Polígonos Regulares
En esta sección te compartiremos varios problemas de polígonos regulares resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Polígonos Regulares
Aquí te compartiremos un documento que contiene 20 problemas resueltos de polígonos regulares, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Polígonos Regulares
Aquí te compartiremos un documento que contiene 61 problemas de polígonos regulares, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Polígonos Regulares para Primaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de polígonos regulares para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Cuarto Grado de Primaria
En esta sección te compartiremos los enlaces de las fichas cuyos temas están relacionados con el tema de polígonos para 4to grado de primaria, esperamos que sea de ayuda:
Fichas para Quinto Grado de Primaria
Son dos fichas educativas relacionadas con los temas de polígonos para 5to grado de primaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Solo es un material educativo de los polígonos regulares y sus propiedades para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:
Polígonos Regulares para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de polígonos regulares para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
En esta sección te dejaremos los enlaces de algunas fichas cuyos temas están relacionados con el tema de polígonos para 1er grado de secundaria, esperamos que te sirva:
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
En esta parte te compartiremos los enlaces de algunos materiales educativos cuyos temas están relacionados con el tema de polígonos para 2do grado de secundaria, esperamos que sea de ayuda:
- Ficha 01 – Clasificación y Propiedades de los Polígonos
- Ficha 02 – Ejercicios de Polígonos Regulares
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos los link de algunas fichas educativas que están relacionadas con el tema de polígonos para 4to grado de secundaria:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Para finalizar te dejaremos algunos link que te enviaran al lugar donde podrás obtener estos materiales educativos relacionados con el tema de polígonos para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:
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