PIRÁMIDE Y CONO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Pirámide y Cono puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a las Pirámides y Conos

En la cultura egipcia y otras culturas contemporáneas se han realizado diversos avances al estudio de las figuras geométricas planas y tridimensionales; así podemos resaltar que en la construcción de las famosas pirámides de Egipto: Keops; Kefren y Micerino, nos muestran este gran avance, que inclusive con el desarrollo de la astronomía hicieron que las caras presenten orientaciones cardinales.

Pero, no sólo se debe pensar que los egipcios conocieron la forma piramidal, ya que sin ir muy lejos, en nuestra cultura autóctona podemos ver varias construcciones que se asemejaban a pirámides.

Con respecto al cono, podemos observar objetos, instrumentos o recipientes con dicha forma, aparte que es necesario conocer ciertas características para el posterior estudio de las cónicas.

Pirámide

¿Cómo se genera una Superficie Piramidal?

Se considera una línea poligonal plana denominada directriz y un punto exterior a dicho plano denominado vértice, entonces, una recta denominada generatriz que se mueve pasando por este punto y apoyándose constantemente sobre el polígono, genera una superficie denominada superficie piramidal.

En el gráfico se tiene una superficie piramidal de dos hojas

Pirámide

Es el sólido limitado por una superficie piramidal cerrada y un plano que interseca a todas las aristas de una hoja.

La región correspondiente al polígono de la sección se denomina base de la pirámide, el vértice de la superficie se denomina vértice o cúspide de la pirámide y la parte de la superficie piramidal correspondiente a la pirámide se denomina superficie lateral de la pirámide.

Pirámide Regular:

Es aquella pirámide en la cual su base es un polígono regular y sus aristas laterales son congruentes. Además sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes entre sí y su altura cae en el centro de gravedad de la base.

Pirámide Regular

Si ABCD es un cuadrado, entonces la pirámide se denominara pirámide cuadrangular regular y se denota como: Pirámide O–ABCD

Área de la Superficie Lateral (ASL)

Área de la Superficie Lateral Pirámide Regular

Área de la Superficie Total (AST)

Área de la Superficie Toral Pirámide Regular

Volumen (V)

Volumen Pirámide Regular

Tronco de Pirámide Regular:

Es la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base.

Sus caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes entre sí, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide.

Tronco de Pirámide Regular

Área de la Superficie Lateral (ASL)

Área de la Superficie Lateral Tronco de Pirámide Regular

Área de la Superficie Total (AST)

Área de la Superficie Toral Tronco de Pirámide Regular

Volumen (V)

Volumen Tronco de Pirámide Regular

Semejanza de Pirámides:

Todo plano secante a una pirámide y paralelo a su base, determina una pirámide parcial semejante al total, en dos pirámides semejantes se cumple:

* Sus líneas homólogas son proporcionales
* Las áreas, de sus bases, de sus superficies totales; son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas.
* Sus volúmenes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus líneas homólogas.

Semejanza de Pirámides

Líneas Homólogas Proporcionales

Líneas Homólogas Proporcionales

Razón de Áreas

Razón de Áreas

Razón de Volúmenes

Razón de Volúmenes

Cono

Superficie Cónica:

Es una superficie generada por una recta llamada generatriz que pasando por un punto fijo denominado vértice se desplaza por todos los puntos de una línea curva plana no secante a sí misma denominada directriz.

Cono

* En el gráfico, se muestra una superficie cónica con sus dos hojas.

* Las secciones planas determinadas en una superficie cónica por dos planos paralelos, secantes a todas las generatrices de una misma hoja; son líneas curvas semejantes.

Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada y un plano secante a ella que intersecta a todas las generatrices de una misma hoja.

Nota:

Si el pie de la altura es el centroide de la base, entonces el cono se denomina cono recto, caso contrario se denomina cono oblicuo.

Superficie Cónica

Cono Circular Recto o de Revolución

Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.

Cono Circular Recto o de Revolución

En el gráfico, se muestra un cono de revolución.

VO : Altura del cono (VO=h)
VO : Eje Del cono.

Ejemplo Cono Circular Recto o de Revolución

¿Qué es la sección axial de un cono de revolución?

Es la sección plana determinada por un plano secante al cono que contiene a su eje. En el gráfico, la sección plana VAB es una sección axial del cono de revolución.

Desarrollo de la Superficie Lateral de un Cono de Revolución

El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz de dicho cono y cuyo arco tiene igual longitud que la circunferencia que limita la base.

Desarrollo de la Superficie Lateral de un Cono de Revolución

En el gráfico, se muestra un cono de revolución y el desarrollo de su superficie lateral.

θ : Medida del ángulo de desarrollo

Medida del Angulo de Desarrollo

Área de la Superficie Lateral (ASL)

Área de la Superficie Lateral de un Cono de Revolución

Área de la Superficie Total (AST)

Área de la Superficie Total de un Cono de Revolución

g: es la generatriz del cono

Volumen (V)

Volumen de un Cono de Revolución

Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Es la porción de cono circular recto entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base. Sus bases son círculos. También se le denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta en torno a su lado perpendicular a sus bases.

Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Sección Axial de un Tronco de Cono de Revolución

Es la sección plana determinada por un plano secante al tronco de cono que contiene a su eje. En el gráfico, la sección plana AA’BB’ es una sección axial del tronco de cono de revolución.

Desarrollo de la Superficie Lateral de un Tronco de Cono de Revolución

El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución es un trapecio circular cuyos arcos correspondientes son de igual longitud que las circunferencias que limitan las bases del cono y cuyos lados laterales son de igual longitud que los generatrices de dicho tronco.

Sección Axial de un Tronco de Cono de Revolución

En el gráfico, se muestra un tronco de cono de revolución y el desarrollo de su superficie lateral.

Formula Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Área de la Superficie Lateral (ASL)   

Área de la Superficie Lateral Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Área de la Superficie Total (AST)

Área de la Superficie Total Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Volumen (V)

Volumen Tronco de Cono Circular Recto o de Revolución

Semejanza de Conos:

Todo plano secante a un cono y paralelo a su base, determina un cono parcial semejante al total, en los cuales se cumple:

*  Sus líneas homólogas son proporcionales
*  Las áreas, de sus bases, de sus superficies laterales y de sus superficies totales; son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus líneas homólogas.
*  Sus volúmenes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus líneas homólogas.

Semejanza de Conos

Ejemplos de Pirámide y Cono

Ejemplo 01:

Hallar el volumen de una pirámide sabiendo que su base es un trapecio rectángulo de diagonales perpendiculares y bases 9 y 16 cm. el pie de la altura coincide con el punto de intersección de las diagonales y el ángulo diedro cuya arista es la base mayor del trapecio mide 37º.

Resolución:

Ejemplo 1 de Pirámide y Cono

Por datos:

Solución Ejemplo 1 de Pirámide y Cono

Se pide: Volumen de la pirámide O–ABCD, igual a “V”. entonces:

Proceso Ejemplo 1 de Pirámide y Cono

En el Δ rectángulo EBD por relaciones métricas: h² = 9 (16)

De donde: h=12 … ( II )

Por semejanza de triángulos

Conclusión Ejemplo 1 de Pirámide y Cono

Reemplazando ( III ) y ( II ) en ( I ):

Respuesta Ejemplo 1 de Pirámide y Cono

Ejemplo 02:

Calcular la longitud del radio de la base de un cono recto, sabiendo que su altura mide 4 m y que la arista del tetraedro regular inscrito en el cono mide √6 m. Un vértice el tetraedro está en el centro de la base y los otros tres están en la superficie lateral.

Resolución:

Ejemplo 2 de Pirámide y Cono

En la figura observamos el tetraedro regular O–ABC de arista cuya longitud es √6 m, entonces su altura mide 2 m. En el triángulo ABC:

Solución Ejemplo 2 de Pirámide y Cono

Luego por semejanza se tiene que:

Respuesta Ejemplo 2 de Pirámide y Cono

Ejemplo 03:

Calcular el volumen de dos conos oblicuos unidos por sus vértices y tal que sus generatrices sean una prolongación de otra recíprocamente, además las dos bases están en planos paralelos. Se conocen las longitudes de los radios de las bases r y R y la distancia de los planos de las bases es H.

Resolución:

Ejemplo 3 de Pirámide y Cono

De la figura:

Solución Ejemplo 3 de Pirámide y Cono

Pero:

Proceso Ejemplo 3 de Pirámide y Cono

Además por semejanza:

Conclusión Ejemplo 3 de Pirámide y Cono

De lo cual obtenemos:

Resolución Ejemplo 3 de Pirámide y Cono

Reemplazando estas últimas expresiones en ( I )

Tenemos:

Resolución Ejercicio 3 de Pirámide y Cono

Simplificando:

Respuesta Ejercicio 3 de Pirámide y Cono

Ejemplo 04:

El área lateral de una pirámide hexagonal regular mide 20m². Hallar el área de la sección paralela a la cara lateral que pasa por el centro de la base de la pirámide.

Resolución:

Ejemplo 4 de Pirámide y Cono

AMNB es un trapecio isósceles:

Solucion Ejemplo 4 de Pirámide y Cono

Además por dato:

Proceso Ejemplo 4 de Pirámide y Cono

Reemplazando ( II ) en ( I ):

Respuesta Ejemplo 4 de Pirámide y Cono

Ejercicios de Pirámide y Cono

En esta sección te compartiremos varios problemas de pirámide y cono resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Pirámide y Cono

Aquí te compartiremos un documento que contiene 09 problemas resueltos de pirámide y cono, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Pirámide y Cono

Aquí te compartiremos un documento que contiene 41 problemas de pirámide y cono, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Pirámide y Cono para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que brinda fichas relacionadas con el tema de pirámide y cono para estudiantes de primaria, todos estos recursos educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Son dos recursos educativos relacionados con los temas de pirámides y conos para 3er grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

En esta sección te compartiremos el enlace de la ficha cuyo tema es pirámides regulares para 4to grado de primaria, esperamos que sea de ayuda:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Son dos fichas educativas relacionadas con los temas de pirámides y conos para 5to grado de primaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son 2 fichas educativas de pirámides y conos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Pirámide y Cono para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de pirámides y conos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de área y volumen de la pirámides y el cono para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de pirámide y cono para 2do grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo del tema de pirámide, cono y esfera para 3er grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te dejaremos el enlace que te enviara a descargar un material educativo relacionado con el tema de cono, pirámide y esfera para 4to grado de secundaria, esperamos que te sirva:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos un link que te enviara al lugar donde podrás obtener un material educativo relacionado con el tema de pirámide y cono para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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