ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ángulos Diedros y Poliedros puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

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Introducción a los Ángulos Diedros y Poliedros

Así como el hombre al interactuar con la naturaleza, idealiza los conceptos básicos como puntos, rectas o planos, también define a los cuerpos geométricos o sólidos geométricos como el tetraedro, el cubo, el cilindro, la pirámide, el cono, la esfera; que tampoco existen en la naturaleza, pero proceden de idealizar cuerpos reales de la propia naturaleza o de los creados por el hombre, tales como un pedazo de roca, los troncos de los árboles, el granizo, los dados, una caja de cartón, etc.

La gran diversidad de formas existentes en la naturaleza así como los objetos diseñados por el hombre nos hace pensar que habríamos de estudiar un número muy elevado de sólidos geométricos, sin embargo, el problema se simplifica, considerando dos grandes grupos como son los poliedros y los cuerpos redondos.

En el presente capítulo sólo veremos el estudio de los poliedros y principalmente el análisis a los poliedros regulares.

Ángulo Diedro

Es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen en común su recta de origen. A dicho origen se le denomina ARISTA y a los semiplanos se le denominan CARAS.

Ángulo Diedro

Elementos:

P y Q : Son los semiplanos que se intersectan y se denominan caras del ángulo diedro
AB : Es la Arista y es el origen común de los semiplanos P y Q
∡ XOY : Ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro
α :  Medida del Ángulo Diedro

Notación:

*  Se denota con cuatro letras: P-AB-Q, Las letras de los extremos correspondientes a cada cara y las del medio a la arista.
*  Con dos letras: AB, las letras corresponden y se emplean cuando el diedro está aislado.

Ángulo Plano o Ángulo Rectilíneo de un Ángulo Diedro

Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentra en las caras del diedro. Todo ángulo diedro tiene infinitos ángulos rectilíneos, todos ellos congruentes. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.

Medida del Ángulo Diedro

La medida de cualquier ángulo plano o rectilíneo de un ángulo diedro nos da la medida del ángulo diedro.

Clasificación de los Ángulos Diedros

Ángulo Diedro Agudo:

Se denomina ángulo diedro agudo cuando su ángulo plano o rectilíneo varía entre 0º y 90º.

Ángulo Diedro Recto:

Se denomina ángulo diedro recto cuando su ángulo plano o rectilíneo es 90º.

Ángulo Diedro Obtuso:

Se denomina ángulo diedro obtuso cuando su ángulo plano o rectilíneo varía entre 90º y 180º.

Congruencia de Diedros

Se dice que dos diedros son congruentes si su ángulos rectilíneos correspondientes también lo son.

Plano Bisector:

Es el plano que biseca al ángulo diedro ( lo divide en dos ángulos diedros congruentes). Todos los puntos del plano bisector equidistan de las caras del ángulo diedro.

Si de un punto cualquiera del plano bisector se trazan perpendiculares a los planos extremos estos equidistan del mismo.

Plano Bisector

En el gráfico el plano B es el plano bisector entre los planos P y Q.

Operaciones con las medidas de los ángulos diedros

Las operaciones con las medidas de los diedros, son las mismas que se realizan con los ángulos planos.

Propiedades:

Diedros Complementarios:

Cuando la suma de las medidas de sus ángulos rectilíneos es 90º.

Diedros Suplementarios:

Cuando la suma de las medidas de sus ángulos rectilíneos es 180º.

Planos Perpendiculares:

Dos planos son perpendiculares, cuando al intersectarse determinan cuatro ángulos diedros rectos congruentes.

Teorema: Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contienen a dicha recta es perpendicular al plano dado.

Teorema: Si de un punto interior a un ángulo diedro se trazan perpendiculares a sus respectivas caras, el ángulo formado por dichas perpendiculares es el suplemento del ángulo diedro.

Operaciones con las medidas de los ángulos diedros

Línea de Máxima Pendiente

Puesto que la recta AB del plano P forma el ángulo máximo con el plano Q entre todas las que parten de A e intersectan a la arista MN de los dos planos, esta línea, que es una de las pendientes del plano P, no puede confundirse con otra alguna, y se la designa con el nombre de la línea de la máxima pendiente del plano.

Línea de Máxima Pendiente

Proyecciones de Regiones Planas

El área de la proyección de una región poligonal sobre un plano es igual al área de dicha región multiplicado por el coseno del ángulo diedro que forman el plano del polígono  proyectante y el plano de proyección.

Proyecciones de Regiones Planas

B  : área de la región plana
A  : área de la proyección ortogonal de la región sobre el plano H
θ  : medida del ángulo diedro determinado por los planos

En donde se cumple que:

Ángulo Proyecciones de Regiones Planas

Ángulo Poliedro

Es aquella figura geométrica  determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice. Además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes.

*  El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de VÉRTICE.
*  Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denomina  ARISTAS.
*  Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denominan ángulos de  CARA y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman  DIEDROS del ángulo poliedro.

Ángulo Poliedro

Elementos:

Vértice: O
Aristas: OA, OB, OC, ….
Ángulos de cara: a, b, c, d, ….
Ángulos Diedros: α , β , θ , δ , ω

Notación:

Ángulo poliedro: O – ABCDE

Se designa un ángulo poliedro por la letra del vértice seguida de las letras relativas a las diferentes aristas o simplemente por la letra del vértice cuando no puede haber ambigüedad alguna.

Clasificación:

Esto se da según sea el número de caras:

* Si tiene  3 caras, el ángulo poliedro se llama ángulo triedro
* Si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro
* Si tiene 5 caras se llama  ángulo pentaedro
* Si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro etc.

Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo  y llamar simplemente triedro pero si es más de tres  no se puede suprimir la palabra ángulo, porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros, pentaedros, hexaedros. las cuales podrían confundirse.

De todos los ángulos poliedros el más importante es el TRIEDRO.

Ángulo Triedro

Es el ángulo poliedro más importante, este ángulo lo conforman tres caras

Ángulo Triedro

Elementos:

Vértice: O
Aristas: OA, OB, OC
Ángulos de cara: a, b, c
Ángulos Diedros: α , β , θ

Notación:

Ángulo triedro: O – ABC

Propiedades de los Triedros

I. Para los ángulos de cara

La diferencia de dos caras es menor que la tercera cara y ésta a su vez es menor que la suma de las otras dos caras anteriores.

Propiedad 1 de los Triedros

La suma de las medidas de los tres ángulos de cara siempre es mayor que 0º pero menor que 360º.

Ejemplo Propiedad 1 de los Triedros

II. Para los ángulos diedros

La suma de las medidas de los tres ángulos diedros siempre es mayor que 180º pero menor que 540º.

Propiedad 2 de los Triedros

En todo triedro la suma de las medidas de dos diedros es menor que la medida del tercero aumentado en 180º.

Ejercicio Propiedad 2 de los Triedros

También se cumple que:

A mayor cara se opone mayor diedro y viceversa. A menor cara se opone menor diedro y viceversa. Si dos caras son congruentes, los diedros a los que se oponen también son congruentes y viceversa.

Ejemplo Propiedad 2 de los Triedros

Clasificación de los Ángulos Triedros

Por la Regularidad de sus Caras

Triedro Escaleno:

Sus caras y diedros tienen diferente medida.

Triedro Escaleno

Triedro Isósceles:

Dos caras y dos diedros tienen igual medida respectivamente.

Triedro Isósceles

Triedro Equilátero:

Sus caras y diedros tienen igual medida respectivamente.

Triedro Equilátero

Por el número de Caras Rectas

Triedro Rectángulo:

Es el triedro en el que uno de los ángulos de cara mide 90º, su respectivo triedro suplementario o polar es otro triedro rectángulo.

Triedro Rectángulo

Triedro Birrectángulo:

Es el triedro en el cual dos ángulos de cara miden 90º cada una, a las cuales se oponen diedros que miden 90º. Todo triedro birrectángulo es isósceles pero no todo triedro isósceles es birrectángulo.

Triedro Birrectángulo

Triedro Trirrectángulo:

Es el triedro equilátero cuyos ángulos de cara miden 90º cada una de ellas, a las cuales se lo oponen diedros que miden 90º. Todo triedro trirrectángulo es equilátero pero no todo triedro equilátero es trirrectángulo.

Triedro Trirrectángulo

Triedros Polares o Suplementarios:

Son dos triedros, donde los ángulos de cara de uno de ellos son los suplementos de los ángulos diedros del otro.

Triedros Polares o Suplementarios

Entonces el triedro O´-A´B´C´ es el triedro polar o suplementario del triedro O-ABC.

Se cumple que:

Formula Triedros Polares o Suplementarios

Congruencia de Triedros

Se dice que dos triedros son congruentes cuando todos sus elementos son congruentes y están dispuestos en el mismo orden.

Caracteres:

*  Todo triedro es congruente a si mismo
*  Si un triedro es congruente a otro, éste es congruente al primero.
*  Especificando el sentido (directo o inverso) se refiere al carácter transitivo.

  • Dos triedros directamente congruentes a un tercero son directamente congruentes entre sí.
  • Dos triedros inversamente congruentes a un tercero son directamente congruentes entre sí.

Casos de Congruencia de Triedros

Los casos de congruencia de triedros son análogos a los casos de congruencia de triángulos estudiados.

Primer Caso (C.D.C)

Dos triedros con congruentes, directa o inversamente, si tienen dos caras y el diedro comprendido respectivamente congruentes.

Segundo Caso (D.C.D)

Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen una cara y los diedros adyacentes respectivamente congruentes.

Tercer Caso (C.C.C)

Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen sus caras respectivamente congruentes.

Cuarto Caso ( D.D.D)

Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen sus diedros respectivamente congruentes.

Poliedros

Superficie Poliédrica

Es la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más regiones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras tienen en común a lo más un lado llamado arista.

Definición de Poliedro

Es un sólido geométrico completamente limitado por una superficie poliédrica. Un poliedro, como mínimo debe tener cuatro caras.

Elementos del Poliedro

Elementos de Poliedro

Al lado  común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas vértice del poliedro.

Diagonal del Poliedro:

Es el segmento cuyos extremos son dos vértices ubicados en caras distintas.

Sección Plana:

Es la intersección del sólido con un plano secante a él.

Los poliedros se nombran de acuerdo a su número de caras y pueden ser: Tetraedro, Pentaedro, Hexaedro, ….. si tiene cuatro, cinco, seis, ….., caras respectivamente.

Teorema de Euler:

En todo poliedro convexo, la suma del número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos.

Teorema de Euler

C  : número de caras
V  : número de vértices
A  : número de aristas

Teorema: En todo poliedro, la suma de los ángulos internos de todas las caras es igual  a tantas veces 360º  como el número de vértices disminuido en dos.

Ejemplo Teorema de Euler

*  En todo poliedro cuyas caras tienen igual número de lados, el número de aristas es igual al semiproducto del número de caras  y el número de lados de una cara.

Ejercicio Teorema de Euler

A  : número de aristas
C  : número de caras
n  : número de lados en común de todas las caras.

*  En todo poliedro el número total de diagonales no contenidas en los planos de sus caras es igual al valor de la combinación del número de vértices del poliedro tomados de dos en dos, menos el número de aristas y menos la suma de los números de diagonales de todas las caras de dicho poliedro.

Diagonales Teorema de Euler

NDP : número de diagonales del poliedro
V : número de vértices
A : número de aristas
ND : suma de los número de diagonales de todas las caras.

Teorema: Si un poliedro está formado por k polígonos de n lados, k1 polígonos de n1 lados, …. hasta km polígonos de nm lados; el número de aristas viene dado por la siguiente expresión:

Formula Teorema de Euler

Clasificación de los Poliedros

Poliedro Convexo

Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica convexa. Una superficie poliédrica es convexa si todos los vértices quedan en un mismo semiespacio respecto del plano que contiene a cada cara.

Además se tiene que al trazar una recta secante corta en 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica.

Poliedro Convexo

Poliedro no Convexo (Cóncavo)

Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica no convexa. Una superficie poliédrica se llamará no convexa, si los vértices quedan en uno y otro semiespacio respecto al plano que contiene a una cara convenientemente escogida.

Además se tiene que al trazar una recta secante corta en más de 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica.

Poliedro no Convexo

Poliedros Regulares

Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes, comprobándose que en cada vértice concurren un número igual de aristas. En todo poliedro regular sus ángulos diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros.

Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir en esferas concéntricas, siendo el centro de estas esferas el centro del poliedro regular.

Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro, Exaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro, todos regulares.

Tetraedro Regular:

Es aquel poliedro regular limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.

Tetraedro Regular

Notación:

Tetraedro Regular  V–ABC

Del gráfico se observa que:

*    Altura VG  cara ABC, la altura relativa hacia cualesquiera de las caras de un tetraedro regular esta dado por:

Altura Relativa de un Tetraedro Regular

G: baricentro de la región triangular ABC

Área de la superficie total:

Area de un Tetraedro Regular

El volumen está dado por:

Volumen de un Tetraedro Regular

Hexaedro Regular o Cubo:

Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4 diagonales, las cuales son de igual longitud y concurren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.

Hexaedro Regular o Cubo

Notación:

Hexaedro regular ABCD – A’B’C’D’

Diagonal:

Notación Hexaedro Regular o Cubo

Área de la superficie total:

Área del Hexaedro Regular o Cubo

El volumen esta dado por:

Volumen del Hexaedro Regular o Cubo

*  Si se cumple que AO=OC’, entonces “O” es el centro del hexaedro regular

Octaedro Regular:

Es aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. Tiene 3 diagonales, las cuales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios.

Octaedro Regular

Notación:

Octaedro Regular M–ABCD–N

Diagonal:

Notación Octaedro Regular

Área de la superficie total:

Área Octaedro Regular

El volumen esta dado por:

Volumen Octaedro Regular

ABCD, AMCN; MDNB: son cuadrados

Dodecaedro Regular:

Es aquel poliedro regular limitado por doce regiones pentagonales regulares, este poliedro posee cien diagonales

Dodecaedro Regular

Icosaedro Regular:

Es aquel poliedro regular limitado por veinte regiones triangulares equiláteras, este poliedro posee 36 diagonales.

Icosaedro Regular

Cuadro Resumen de los Cinco Poliedros Regulares

Cuadro Resumen de los Cinco Poliedros Regulares

Poliedros Regulares Conjugados

Se llaman poliedros regulares conjugados a aquellos en que el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro y viceversa.

Según el teorema de Euler deben tener el mismo número de aristas, son poliedros conjugados:

  • El Hexaedro y el Octaedro.
  • El Dodecaedro y el Icosaedro.
  • El tetraedro es conjugado por sí mismo.

Los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero.

* El hexaedro y el octaedro son poliedros regulares conjugados ya que los centros de las caras del hexaedro son los vértices del octaedro y viceversa.

Poliedros Regulares Conjugados

* El dodecaedro y el icosaedro son poliedros regulares conjugados ya que los centros de las caras del dodecaedro son los vértices del icosaedro y viceversa.

* El Tetraedro es el poliedro regular conjugado consigo mismo ya que los centros de las caras de un tetraedro son los vértices de otro tetraedro.

Tetraedro

Nota:

Se plantea que Euclides demostró que sólo podrían existir cinco poliedros regulares llamados “sólidos cósmicos”.

El filósofo idealista Platón admiraba tanto estas figuras que no podía convencerse de que el creador no las hubiera utilizado y construyó su representación del mundo tomando los cinco poliedros como elementos primarios:

*    El Fuego representado por el Tetraedro regular
*    La Tierra representado por el Hexaedro regular
*    El Aire representado por el Octaedro regular
*    El Cosmos representado por el Dodecaedro regular
*    El agua representado por el Icosaedro regular

Ejemplos de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejemplo 01:

En la figura mostrada se tiene un cubo, si A, B, C y D son puntos medios, calcular la medida del ángulo que forman AB y CD.

Ejemplo 1 de Ángulos Diedros y Poliedros

Resolución:

Resolución Ejemplo 1 de Ángulos Diedros y Poliedros

Al prolongar los segmentos BA y CD se determina el ángulo que forman dichos segmentos; cuya medida es xº.

Estos segmentos pertenecen al plano AMBNDC que justamente en un hexágono regular. Por lo tanto en el triángulo rectángulo

PAC : x + 60° = 90°

Respuesta Ejemplo 1 de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejemplo 02:

En la figura mostrada, se tiene un cubo de arista cuya longitud es √3m. Hallar la mínima distancia entre AB y CD.

Ejemplo 2 de Ángulos Diedros y Poliedros

Resolución:

Resolución Ejemplo 2 de Ángulos Diedros y Poliedros

Para determinar la mínima distancia entre AB y CD en el cubo, es necesario proyectar CD y AB sobre el plano DMNR, dichas proyecciones son PD y el punto Q respectivamente. Luego la menor distancia es el segmento perpendicular del punto Q a la proyección PD osea QS. Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo DPQ:

Respuesta Ejemplo 2 de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejemplo 03:

Se tiene un tetraedro S – BCD. Siendo los puntos M y N los baricentros de dos caras, además el punto G es el punto de intersección de los segmentos BM y SN. Si: SN = 12m. Hallar: SG.

Resolución:

Ejemplo 3 de Ángulos Diedros y Poliedros

En la figura sombreada, por el teorema de Menelao:

Respuesta Ejemplo 3 de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejemplo 04:

En la figura los rectángulos ABCD y ADFG se encuentran en planos que forman un diedro de 120º. Hallar BF. Si: CD = AG = 2m y FG = 6m.

Ejemplo 4 de Ángulos Diedros y Poliedros

Resolución:

En el

Solución Ejemplo 4 de Ángulos Diedros y Poliedros

Luego en el triángulo rectángulo BCF, por el teorema de Pitágoras:

Respuesta Ejemplo 4 de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejemplo 05:

Dos caras de un ángulo triedro miden 140º y 160º respectivamente la tercera cara puede medir:

Resolución:

Ejemplo 5 de Ángulos Diedros y Poliedros

En el triedro se debe cumplir:

Solución Ejemplo 5 de Ángulos Diedros y Poliedros

También:

Proceso Ejemplo 5 de Ángulos Diedros y Poliedros

Luego la tercera cara puede medir:

Respuesta Ejemplo 5 de Ángulos Diedros y Poliedros

Ejercicios de Ángulos Diedros y Poliedros

En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos diedros y poliedros resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Ángulos Diedros y Poliedros

Aquí te compartiremos un documento que contiene 15 problemas resueltos de ángulos diedros y poliedros, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Ángulos Diedros y Poliedros

Aquí te compartiremos un documento que contiene 60 problemas de ángulos diedros y poliedros, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ángulos Diedros y Poliedros para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de ángulos diedros y poliedros para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de Poliedros Regulares para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de Problemas de Poliedros Regulares para 2do grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Solo es un recurso educativo de Ejercicios de Poliedros Regulares para 3er grado de secundaria que te brindaremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es una ficha educativa de Poliedro Regular para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos un link que te enviara al lugar donde podrás obtener un material educativo relacionado con el tema de Poliedros Regulares para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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