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Introducción a los Ángulos Diedros y Poliedros
Así como el hombre al interactuar con la naturaleza, idealiza los conceptos básicos como puntos, rectas o planos, también define a los cuerpos geométricos o sólidos geométricos como el tetraedro, el cubo, el cilindro, la pirámide, el cono, la esfera; que tampoco existen en la naturaleza, pero proceden de idealizar cuerpos reales de la propia naturaleza o de los creados por el hombre, tales como un pedazo de roca, los troncos de los árboles, el granizo, los dados, una caja de cartón, etc.
La gran diversidad de formas existentes en la naturaleza así como los objetos diseñados por el hombre nos hace pensar que habríamos de estudiar un número muy elevado de sólidos geométricos, sin embargo, el problema se simplifica, considerando dos grandes grupos como son los poliedros y los cuerpos redondos.
En el presente capítulo sólo veremos el estudio de los poliedros y principalmente el análisis a los poliedros regulares.
Ángulo Diedro
Es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen en común su recta de origen. A dicho origen se le denomina ARISTA y a los semiplanos se le denominan CARAS.
Elementos:
P y Q : Son los semiplanos que se intersectan y se denominan caras del ángulo diedro
AB : Es la Arista y es el origen común de los semiplanos P y Q
∡ XOY : Ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro
α : Medida del Ángulo Diedro
Notación:
* Se denota con cuatro letras: P-AB-Q, Las letras de los extremos correspondientes a cada cara y las del medio a la arista.
* Con dos letras: AB, las letras corresponden y se emplean cuando el diedro está aislado.
Ángulo Plano o Ángulo Rectilíneo de un Ángulo Diedro
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentra en las caras del diedro. Todo ángulo diedro tiene infinitos ángulos rectilíneos, todos ellos congruentes. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.
Medida del Ángulo Diedro
La medida de cualquier ángulo plano o rectilíneo de un ángulo diedro nos da la medida del ángulo diedro.
Clasificación de los Ángulos Diedros
Ángulo Diedro Agudo:
Se denomina ángulo diedro agudo cuando su ángulo plano o rectilíneo varía entre 0º y 90º.
Ángulo Diedro Recto:
Se denomina ángulo diedro recto cuando su ángulo plano o rectilíneo es 90º.
Ángulo Diedro Obtuso:
Se denomina ángulo diedro obtuso cuando su ángulo plano o rectilíneo varía entre 90º y 180º.
Congruencia de Diedros
Se dice que dos diedros son congruentes si su ángulos rectilíneos correspondientes también lo son.
Plano Bisector:
Es el plano que biseca al ángulo diedro ( lo divide en dos ángulos diedros congruentes). Todos los puntos del plano bisector equidistan de las caras del ángulo diedro.
Si de un punto cualquiera del plano bisector se trazan perpendiculares a los planos extremos estos equidistan del mismo.
En el gráfico el plano B es el plano bisector entre los planos P y Q.
Operaciones con las medidas de los ángulos diedros
Las operaciones con las medidas de los diedros, son las mismas que se realizan con los ángulos planos.
Propiedades:
Diedros Complementarios:
Cuando la suma de las medidas de sus ángulos rectilíneos es 90º.
Diedros Suplementarios:
Cuando la suma de las medidas de sus ángulos rectilíneos es 180º.
Planos Perpendiculares:
Dos planos son perpendiculares, cuando al intersectarse determinan cuatro ángulos diedros rectos congruentes.
Teorema: Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contienen a dicha recta es perpendicular al plano dado.
Teorema: Si de un punto interior a un ángulo diedro se trazan perpendiculares a sus respectivas caras, el ángulo formado por dichas perpendiculares es el suplemento del ángulo diedro.
Línea de Máxima Pendiente
Puesto que la recta AB del plano P forma el ángulo máximo con el plano Q entre todas las que parten de A e intersectan a la arista MN de los dos planos, esta línea, que es una de las pendientes del plano P, no puede confundirse con otra alguna, y se la designa con el nombre de la línea de la máxima pendiente del plano.
Proyecciones de Regiones Planas
El área de la proyección de una región poligonal sobre un plano es igual al área de dicha región multiplicado por el coseno del ángulo diedro que forman el plano del polígono proyectante y el plano de proyección.
B : área de la región plana
A : área de la proyección ortogonal de la región sobre el plano H
θ : medida del ángulo diedro determinado por los planos
En donde se cumple que:
Ángulo Poliedro
Es aquella figura geométrica determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice. Además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes.
* El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de VÉRTICE.
* Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denomina ARISTAS.
* Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denominan ángulos de CARA y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman DIEDROS del ángulo poliedro.
Elementos:
Vértice: O
Aristas: OA, OB, OC, ….
Ángulos de cara: a, b, c, d, ….
Ángulos Diedros: α , β , θ , δ , ω
Notación:
Ángulo poliedro: O – ABCDE
Se designa un ángulo poliedro por la letra del vértice seguida de las letras relativas a las diferentes aristas o simplemente por la letra del vértice cuando no puede haber ambigüedad alguna.
Clasificación:
Esto se da según sea el número de caras:
* Si tiene 3 caras, el ángulo poliedro se llama ángulo triedro
* Si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro
* Si tiene 5 caras se llama ángulo pentaedro
* Si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro etc.
Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo y llamar simplemente triedro pero si es más de tres no se puede suprimir la palabra ángulo, porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros, pentaedros, hexaedros. las cuales podrían confundirse.
De todos los ángulos poliedros el más importante es el TRIEDRO.
Ángulo Triedro
Es el ángulo poliedro más importante, este ángulo lo conforman tres caras
Elementos:
Vértice: O
Aristas: OA, OB, OC
Ángulos de cara: a, b, c
Ángulos Diedros: α , β , θ
Notación:
Ángulo triedro: O – ABC
Propiedades de los Triedros
I. Para los ángulos de cara
La diferencia de dos caras es menor que la tercera cara y ésta a su vez es menor que la suma de las otras dos caras anteriores.
La suma de las medidas de los tres ángulos de cara siempre es mayor que 0º pero menor que 360º.
II. Para los ángulos diedros
La suma de las medidas de los tres ángulos diedros siempre es mayor que 180º pero menor que 540º.
En todo triedro la suma de las medidas de dos diedros es menor que la medida del tercero aumentado en 180º.
También se cumple que:
A mayor cara se opone mayor diedro y viceversa. A menor cara se opone menor diedro y viceversa. Si dos caras son congruentes, los diedros a los que se oponen también son congruentes y viceversa.
Clasificación de los Ángulos Triedros
Por la Regularidad de sus Caras
Triedro Escaleno:
Sus caras y diedros tienen diferente medida.
Triedro Isósceles:
Dos caras y dos diedros tienen igual medida respectivamente.
Triedro Equilátero:
Sus caras y diedros tienen igual medida respectivamente.
Por el número de Caras Rectas
Triedro Rectángulo:
Es el triedro en el que uno de los ángulos de cara mide 90º, su respectivo triedro suplementario o polar es otro triedro rectángulo.
Triedro Birrectángulo:
Es el triedro en el cual dos ángulos de cara miden 90º cada una, a las cuales se oponen diedros que miden 90º. Todo triedro birrectángulo es isósceles pero no todo triedro isósceles es birrectángulo.
Triedro Trirrectángulo:
Es el triedro equilátero cuyos ángulos de cara miden 90º cada una de ellas, a las cuales se lo oponen diedros que miden 90º. Todo triedro trirrectángulo es equilátero pero no todo triedro equilátero es trirrectángulo.
Triedros Polares o Suplementarios:
Son dos triedros, donde los ángulos de cara de uno de ellos son los suplementos de los ángulos diedros del otro.
Entonces el triedro O´-A´B´C´ es el triedro polar o suplementario del triedro O-ABC.
Se cumple que:
Congruencia de Triedros
Se dice que dos triedros son congruentes cuando todos sus elementos son congruentes y están dispuestos en el mismo orden.
Caracteres:
* Todo triedro es congruente a si mismo
* Si un triedro es congruente a otro, éste es congruente al primero.
* Especificando el sentido (directo o inverso) se refiere al carácter transitivo.
- Dos triedros directamente congruentes a un tercero son directamente congruentes entre sí.
- Dos triedros inversamente congruentes a un tercero son directamente congruentes entre sí.
Casos de Congruencia de Triedros
Los casos de congruencia de triedros son análogos a los casos de congruencia de triángulos estudiados.
Primer Caso (C.D.C)
Dos triedros con congruentes, directa o inversamente, si tienen dos caras y el diedro comprendido respectivamente congruentes.
Segundo Caso (D.C.D)
Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen una cara y los diedros adyacentes respectivamente congruentes.
Tercer Caso (C.C.C)
Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen sus caras respectivamente congruentes.
Cuarto Caso ( D.D.D)
Dos triedros son congruentes, directa o inversamente, si tienen sus diedros respectivamente congruentes.
Poliedros
Superficie Poliédrica
Es la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más regiones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras tienen en común a lo más un lado llamado arista.
Definición de Poliedro
Es un sólido geométrico completamente limitado por una superficie poliédrica. Un poliedro, como mínimo debe tener cuatro caras.
Elementos del Poliedro
Al lado común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas vértice del poliedro.
Diagonal del Poliedro:
Es el segmento cuyos extremos son dos vértices ubicados en caras distintas.
Sección Plana:
Es la intersección del sólido con un plano secante a él.
Los poliedros se nombran de acuerdo a su número de caras y pueden ser: Tetraedro, Pentaedro, Hexaedro, ….. si tiene cuatro, cinco, seis, ….., caras respectivamente.
Teorema de Euler:
En todo poliedro convexo, la suma del número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos.
C : número de caras
V : número de vértices
A : número de aristas
Teorema: En todo poliedro, la suma de los ángulos internos de todas las caras es igual a tantas veces 360º como el número de vértices disminuido en dos.
* En todo poliedro cuyas caras tienen igual número de lados, el número de aristas es igual al semiproducto del número de caras y el número de lados de una cara.
A : número de aristas
C : número de caras
n : número de lados en común de todas las caras.
* En todo poliedro el número total de diagonales no contenidas en los planos de sus caras es igual al valor de la combinación del número de vértices del poliedro tomados de dos en dos, menos el número de aristas y menos la suma de los números de diagonales de todas las caras de dicho poliedro.
NDP : número de diagonales del poliedro
V : número de vértices
A : número de aristas
ND : suma de los número de diagonales de todas las caras.
Teorema: Si un poliedro está formado por k polígonos de n lados, k1 polígonos de n1 lados, …. hasta km polígonos de nm lados; el número de aristas viene dado por la siguiente expresión:
Clasificación de los Poliedros
Poliedro Convexo
Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica convexa. Una superficie poliédrica es convexa si todos los vértices quedan en un mismo semiespacio respecto del plano que contiene a cada cara.
Además se tiene que al trazar una recta secante corta en 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica.
Poliedro no Convexo (Cóncavo)
Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica no convexa. Una superficie poliédrica se llamará no convexa, si los vértices quedan en uno y otro semiespacio respecto al plano que contiene a una cara convenientemente escogida.
Además se tiene que al trazar una recta secante corta en más de 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica.
Poliedros Regulares
Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes, comprobándose que en cada vértice concurren un número igual de aristas. En todo poliedro regular sus ángulos diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros.
Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir en esferas concéntricas, siendo el centro de estas esferas el centro del poliedro regular.
Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro, Exaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro, todos regulares.
Tetraedro Regular:
Es aquel poliedro regular limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.
Notación:
Tetraedro Regular V–ABC
Del gráfico se observa que:
* Altura VG ⊥ cara ABC, la altura relativa hacia cualesquiera de las caras de un tetraedro regular esta dado por:
G: baricentro de la región triangular ABC
Área de la superficie total:
El volumen está dado por:
Hexaedro Regular o Cubo:
Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4 diagonales, las cuales son de igual longitud y concurren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.
Notación:
Hexaedro regular ABCD – A’B’C’D’
Diagonal:
Área de la superficie total:
El volumen esta dado por:
* Si se cumple que AO=OC’, entonces “O” es el centro del hexaedro regular
Octaedro Regular:
Es aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. Tiene 3 diagonales, las cuales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios.
Notación:
Octaedro Regular M–ABCD–N
Diagonal:
Área de la superficie total:
El volumen esta dado por:
ABCD, AMCN; MDNB: son cuadrados
Dodecaedro Regular:
Es aquel poliedro regular limitado por doce regiones pentagonales regulares, este poliedro posee cien diagonales
Icosaedro Regular:
Es aquel poliedro regular limitado por veinte regiones triangulares equiláteras, este poliedro posee 36 diagonales.
Cuadro Resumen de los Cinco Poliedros Regulares
Poliedros Regulares Conjugados
Se llaman poliedros regulares conjugados a aquellos en que el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro y viceversa.
Según el teorema de Euler deben tener el mismo número de aristas, son poliedros conjugados:
- El Hexaedro y el Octaedro.
- El Dodecaedro y el Icosaedro.
- El tetraedro es conjugado por sí mismo.
Los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero.
* El hexaedro y el octaedro son poliedros regulares conjugados ya que los centros de las caras del hexaedro son los vértices del octaedro y viceversa.
* El dodecaedro y el icosaedro son poliedros regulares conjugados ya que los centros de las caras del dodecaedro son los vértices del icosaedro y viceversa.
* El Tetraedro es el poliedro regular conjugado consigo mismo ya que los centros de las caras de un tetraedro son los vértices de otro tetraedro.
Nota:
Se plantea que Euclides demostró que sólo podrían existir cinco poliedros regulares llamados “sólidos cósmicos”.
El filósofo idealista Platón admiraba tanto estas figuras que no podía convencerse de que el creador no las hubiera utilizado y construyó su representación del mundo tomando los cinco poliedros como elementos primarios:
* El Fuego representado por el Tetraedro regular
* La Tierra representado por el Hexaedro regular
* El Aire representado por el Octaedro regular
* El Cosmos representado por el Dodecaedro regular
* El agua representado por el Icosaedro regular
Ejemplos de Ángulos Diedros y Poliedros
Ejemplo 01:
En la figura mostrada se tiene un cubo, si A, B, C y D son puntos medios, calcular la medida del ángulo que forman AB y CD.
Resolución:
Al prolongar los segmentos BA y CD se determina el ángulo que forman dichos segmentos; cuya medida es xº.
Estos segmentos pertenecen al plano AMBNDC que justamente en un hexágono regular. Por lo tanto en el triángulo rectángulo
PAC : x + 60° = 90°
Ejemplo 02:
En la figura mostrada, se tiene un cubo de arista cuya longitud es √3m. Hallar la mínima distancia entre AB y CD.
Resolución:
Para determinar la mínima distancia entre AB y CD en el cubo, es necesario proyectar CD y AB sobre el plano DMNR, dichas proyecciones son PD y el punto Q respectivamente. Luego la menor distancia es el segmento perpendicular del punto Q a la proyección PD osea QS. Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo DPQ:
Ejemplo 03:
Se tiene un tetraedro S – BCD. Siendo los puntos M y N los baricentros de dos caras, además el punto G es el punto de intersección de los segmentos BM y SN. Si: SN = 12m. Hallar: SG.
Resolución:
En la figura sombreada, por el teorema de Menelao:
Ejemplo 04:
En la figura los rectángulos ABCD y ADFG se encuentran en planos que forman un diedro de 120º. Hallar BF. Si: CD = AG = 2m y FG = 6m.
Resolución:
En el
Luego en el triángulo rectángulo BCF, por el teorema de Pitágoras:
Ejemplo 05:
Dos caras de un ángulo triedro miden 140º y 160º respectivamente la tercera cara puede medir:
Resolución:
En el triedro se debe cumplir:
También:
Luego la tercera cara puede medir:
Ejercicios de Ángulos Diedros y Poliedros
En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos diedros y poliedros resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Ángulos Diedros y Poliedros
Aquí te compartiremos un documento que contiene 15 problemas resueltos de ángulos diedros y poliedros, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Ángulos Diedros y Poliedros
Aquí te compartiremos un documento que contiene 60 problemas de ángulos diedros y poliedros, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ángulos Diedros y Poliedros para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de ángulos diedros y poliedros para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de Poliedros Regulares para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de Problemas de Poliedros Regulares para 2do grado de secundaria que te dejaremos a continuación:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Solo es un recurso educativo de Ejercicios de Poliedros Regulares para 3er grado de secundaria que te brindaremos a continuación:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Solo es una ficha educativa de Poliedro Regular para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Para finalizar te dejaremos un link que te enviara al lugar donde podrás obtener un material educativo relacionado con el tema de Poliedros Regulares para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:
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