Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Teoría de Conjuntos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué es un Conjunto?
Un conjunto es toda agrupación o colección de objetos (personas, animales, cosas, etc.) determinados por una propiedad común.
- Los conjuntos por determinación se escriben entre llaves { . . . }.
- Los conjuntos también se entienden en oraciones simples.
Ejemplo:
- El conjunto de días de un mes.
- Las letras del abecedario.
Notación de un Conjunto
Los conjuntos se denotan o se nombran normalmente con las letras mayúsculas del abecedario.
Ejemplos:
- A
- B
- C
- D
Cardinal de un Conjunto “n(A)”
Determina la cantidad de elementos que tiene un conjunto y se representa por un numero natural inclusive el cero “0”.
¿Qué es un Elemento?
Vienen a ser los objetos que forman un conjunto que según su cantidad determinan el tipo de conjunto.
- Los elementos alfanuméricos o con letras se escriben entre comas (,).
- Los elementos numéricos se escriben entre puntos (.) y comas (,).
Determinación de un Conjunto
Los conjuntos se determinan de la siguiente forma:
Por Comprensión:
Cuando se da a sus elementos una o mas características, o propiedades, de tal manera que los diferencien de los elementos de otros conjuntos. También se llama Constructiva de un Conjunto.
En este tipo de determinación existe la expresión (x/x) que se entiende como: “x” tal que “x”. Los conjuntos de este tipo se tienen que comprender, entender sus características y condiciones, así poder o no escribir por extensión.
Ejemplos:
A = {x/x es vocal}.
B = {x/x es un dia de la semana}.
Por Extensión:
O en forma tabular, se escriben o se enumeran uno a uno cada uno de los elementos y así poder determinar su cardinal.
Ejemplos:
A= {a, e, i, o, u}.
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}.
Clases de Conjuntos
Existen las siguientes clases de conjuntos:
Conjunto Nulo o Vació
Es cuando no tiene elementos o carece de elementos existentes racionalmente en nuestra realidad.
Denotación:
Vació = { }, Nulo = ø { } = ø
Ejemplos:
A={x/x es un elefante de 500 toneladas}
B={x/x ≠ x}
Conjunto Unitario
También conocido como singletón son aquellos que tienen un único elemento y n(a)=1.
Ejemplos:
A = {1}
B = {0}
D = {{}}
E = {ø}
Conjunto Finito e Infinito
Un conjunto es finito cuando consta de un determinado número de elementos distintos y que al encontrarlos de uno en uno se pueda acabar en un determinado tiempo. El conjunto infinito es todo lo contrario, es decir la operación de contar los diferentes elementos de uno en uno no tenga cuando terminar.
Conjunto Disjuntos
Son aquellos que no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 2; 8; 9}
Conjunto Juntos
Son aquellos que tienen cierta cantidad de elementos comunes.
Ejemplo:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {0; 2; 8; 9}
Conjunto Comparables
Es cuando un conjunto esta totalmente incluido en otro.
Ejemplo:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {2; 3; 5}
Subconjunto de un conjunto
Los subconjuntos son aquellos formados por los elementos de un conjunto encerrados entre llaves.
- El conjunto vació es un subconjunto de cualquier conjunto excepto de si mismo.
- El conjunto A es subconjunto de si mismo.
Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5}
Los subconjuntos de “A” son: {}, {2}, {2; 5}, A, etc…
Conjunto Potencia o Potencia de un Conjunto
Es aquel conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos del conjunto original.
Ejemplo:
Si A = {a;b;c}
El conjunto Potencia es PA.
PA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};A}
Por lo tanto:
Donde “n” es la cantidad de elementos de A.
Conjunto de Subconjuntos Propios
Es idéntico al anterior, solo que no se considera al primitivo.
Ejemplo:
SA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c}}
Por lo tanto:
Conjunto Universal (U)
Llamado también universo, es el conjunto de todos los elementos que pueden ser considerados para un asunto en particular.
Relación entre Conjuntos
Relación de Pertenencia (∈) y no Pertenencia (∉)
La relación necesariamente tiene que ser de elemento a conjunto.
Relación de Inclusión (⊂) y no Inclusión (⊄)
La relación es de Subconjunto a Conjunto.
Ejemplo:
Sea: A = {1; 2; 3} y B = {0; 1; 2; 3; 4}
A ⊂ B : “A esta incluido en B, por que los elementos de A Pertenecen a B”
B ⊃ A : “B incluye al conjunto A”
Diagramas de Venn Euler
Son líneas cerradas o figuras geométricas ya sea en forma regular o amorfas.
Operaciones con Conjuntos
Unión de Conjuntos (∪):
Ejemplo:
Si:
- A = {1; 3: 5}
- B = {0; 1; 2; 3}
Entonces:
- A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 5}
Gráficamente A ∪ B:
Intersección de Conjuntos (∩):
Ejemplo:
Si:
- A = {1; 2; 3; 4: 5}
- B = {0; 1; 3; 4; 6; 7}
Entonces:
- A ∩ B = {1; 3; 4}
Gráficamente A ∩ B:
Diferencia de Conjuntos ( – ):
Ejemplo:
Si:
- A = {2; 3; 4: 5; 7}
- B = {0; 1; 2; 4; 5; 6}
Entonces:
- A – B = {3; 7}
Gráficamente A – B:
Simetría o Diferencia Simétrica (Δ)
Por lo tanto “son todos los elementos no comunes”
Ejemplo:
Si:
- A = {1; 2; 4: 6}
- B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}
Entonces:
- A Δ B = {0; 3; 5; 6; 7}
Gráficamente A Δ B:
Complemento de un conjunto.
Entonces: A’ = Ac = Complemento del conjunto A
Ejemplo:
Sea:
- U = {1; 2, 3; 4; 5; 6; 7}
- A = {2; 3; 5; 7}
El complemento será:
- Ac = {1; 4; 6}
Gráficamente Ac:
Conjuntos con Expresiones Reales (Intervalos)
Para el mejor entendimiento necesitamos saber que la familia de los números reales esta compuesto por infinitos valores, de valor a valor sin importar cuan cercanos estén. La representación grafica de los números reales es mediante una recta de representación numérica.
- Se trabaja con números reales.
- Entre dos números reales diferentes existen infinitos valores reales.
Existen:
Intervalos Abiertos
- Se denota por : < a; b > ó ] a; b [
- Cuando no se llega a tomar los valores de los limites.
Ejemplo:
x ∈ < 2;5 >, quiere decir que los valores de x son mayores que 2 y menores que 5, pero no llega a tomar los valores de 2 y 5.
Su grafica sería:
Intervalos Cerrados
- Se denota por: ≤ a; b ≥ ó [ a; b ]
- Cuando se toma todos los valores incluyendo los limites, por ejemplo:
x ∈ [ 2;5 ], quiere decir que los valores de x son mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5, en otras palabras toma los valores desde 2 hasta 5.
Su gráfica sería:
Ejemplos de Teoría de Conjuntos
Ahora veremos algunos ejemplos de teoría de conjuntos.
Ejemplo 01:
Determinar por comprensión, el siguiente conjunto:
Solución:
Los elementos, en forma equivalente:
Por lo tanto el conjunto D, por comprensión, es:
Ejemplo 02:
¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta?
Solución:
Sea el conjunto, que contiene 6 clases de fruta:
Hallamos el total de jugos surtidos:
Ejemplo 03:
Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos, combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5; …; n colores. Hallar “n”.
Solución:
Con “n” colores básicos, la cantidad de nuevos tonos, son:
Por dato:
Ejemplo 04:
Dados los conjuntos:
- A= {2, 3, 5, 6, 8}.
- B= {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9}.
Si “m” es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y “n” el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A. Hallar: m+n
Solución:
Subconjuntos no vacíos de A, disjuntos con B:
Subconjuntos no vacíos de B, disjuntos con A:
Ejercicios de Teoría de Conjuntos
En esta sección te compartiremos varios problemas de teoría de conjuntos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Teoría de Conjuntos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 9 problemas resueltos de teoría de conjuntos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Teoría de Conjuntos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 144 problemas de teoría de conjuntos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Teoría de Conjuntos para Primaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de teoría de conjuntos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Son dos enlaces que te corresponden a 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:
Teoría de Conjuntos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de teoría de conjuntos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
- Ficha 01 – Idea de Conjuntos
- Ficha 02 – Operaciones entre Conjuntos
- Ficha 03 – Problemas con Conjuntos
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Son dos fichas educativas relacionados con el tema de conjuntos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Son tres fichas educativas relacionadas con el tema de conjuntos para 3er grado de secundaria que te brindaremos a continuación:
- Ficha 01 – Noción de Conjunto
- Ficha 02 – Operaciones con Conjuntos
- Ficha 03 – Ejercicios de Conjuntos
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Son dos recursos educativos relacionados con el tema de conjuntos para 5to grado de secundaria que te brindaremos a continuación:
Otros Temas Relacionados
Gracias , está muy bien la teoría con muy buenos ejemplos