TEORÍA DE CONJUNTOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Teoría de Conjuntos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

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¿Qué es un Conjunto?

Un conjunto es toda agrupación o colección de objetos (personas, animales, cosas, etc.) determinados por una propiedad común.

  • Los conjuntos por determinación se escriben entre llaves { . . . }.
  • Los conjuntos también se entienden en oraciones simples.

Ejemplo:

  • El conjunto de días de un mes.
  • Las letras del abecedario.

Notación de un Conjunto

Los conjuntos se denotan o se nombran normalmente con las letras mayúsculas del abecedario.

Ejemplos:

  • A
  • B
  • C
  • D

Cardinal de un Conjunto “n(A)”

Determina la cantidad de elementos que tiene un conjunto y se representa por un numero natural inclusive el cero “0”.

¿Qué es un Elemento?

Vienen a ser los objetos que forman un conjunto que según su cantidad determinan el tipo de conjunto.

  • Los elementos alfanuméricos o con letras se escriben entre comas (,).
  • Los elementos numéricos se escriben entre puntos (.) y comas (,).

Determinación de un Conjunto

Los conjuntos se determinan de la siguiente forma:

Por Comprensión:

Cuando se da a sus elementos una o mas características, o propiedades, de tal manera que los diferencien de los elementos de otros conjuntos. También se llama Constructiva de un Conjunto.

En este tipo de determinación existe la expresión (x/x) que se entiende  como: “x” tal que “x”. Los conjuntos de este tipo se tienen que comprender, entender sus características y condiciones, así poder o no escribir por extensión.

Ejemplos:

A = {x/x es vocal}.
B = {x/x es un dia de la semana}.

Por Extensión:

O en forma tabular, se escriben o se enumeran uno a uno cada uno de los elementos y así poder determinar su cardinal.

Ejemplos:

A= {a, e, i, o, u}.
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}.

Clases de Conjuntos

Existen las siguientes clases de conjuntos:

Conjunto Nulo o Vació

Es cuando no tiene elementos o carece de elementos existentes racionalmente en nuestra realidad.

Denotación:

Vació = {  },   Nulo = ø         {  } = ø

Ejemplos:

A={x/x es un elefante de 500 toneladas}
B={x/x ≠ x}

Conjunto Unitario

También conocido como singletón son aquellos que tienen un único elemento y n(a)=1.

Ejemplos:

A = {1}
B = {0}
D = {{}}
E = {ø}

Conjunto Finito e Infinito

Un conjunto es finito cuando consta de un determinado número de elementos distintos y que al encontrarlos de uno en uno se pueda acabar en un determinado tiempo. El conjunto infinito es todo lo contrario, es decir la operación de contar los diferentes elementos de uno en uno no tenga cuando terminar.

Conjunto Disjuntos

Son aquellos que no tienen ningún elemento en común.

Conjunto Disjuntos

Ejemplo:

A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 2; 8; 9}

Conjunto Juntos

Son aquellos que tienen cierta cantidad de elementos comunes.

Ejemplo:

Conjunto Juntos

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {0; 2; 8; 9}

Conjunto Comparables

Es cuando un conjunto esta totalmente incluido en otro.

Conjunto Comparables

Ejemplo:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {2; 3; 5}

Subconjunto de un conjunto

Los subconjuntos son aquellos formados por los elementos de un conjunto encerrados entre llaves.

  • El conjunto vació es un subconjunto de cualquier conjunto excepto de si mismo.
  • El conjunto A es subconjunto de si mismo.

Ejemplo:

Sea A = {1; 2; 3; 4; 5}

Los subconjuntos de “A” son: {}, {2}, {2; 5}, A, etc…

Conjunto Potencia o Potencia de un Conjunto

Es aquel conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos del conjunto original.

Ejemplo:

Si  A = {a;b;c}

El conjunto Potencia es PA.

PA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};A}

Por lo tanto:

Conjunto Potencia o Potencia de un Conjunto

Donde “n” es la cantidad de elementos de A.

Conjunto de Subconjuntos Propios

Es idéntico al anterior, solo que no se considera al primitivo.

Ejemplo:

SA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c}}

Por lo tanto:

Conjunto de Subconjuntos Propios

Conjunto Universal (U)

Llamado también universo, es el conjunto de todos los elementos que pueden ser considerados para un asunto en particular.

Relación entre Conjuntos

Relación de Pertenencia () y no Pertenencia ()

La relación necesariamente tiene que ser de elemento a conjunto.

Relación de Pertenencia y no Pertenencia

Relación de Inclusión () y no Inclusión ()

La relación es de Subconjunto a Conjunto.

Relación de Inclusión y no Inclusión

Ejemplo:

Sea: A = {1; 2; 3} y B = {0; 1; 2; 3; 4}

A  ⊂  B  :   “A esta incluido en B, por que los elementos de A Pertenecen a B”
B  ⊃  A  :   “B incluye al conjunto A”

Diagramas de Venn Euler

Son líneas cerradas o figuras geométricas ya sea en forma regular o amorfas.

Diagramas de Venn Euler

Operaciones con Conjuntos

Unión de Conjuntos ():

Ejemplo:

Si:

  • A = {1; 3: 5}
  • B = {0; 1; 2; 3}

Entonces:

  • A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 5}

Gráficamente A ∪ B:

Unión de Conjuntos

Intersección de Conjuntos ():

Ejemplo:

Si:

  • A = {1; 2; 3; 4: 5}
  • B = {0; 1; 3; 4; 6; 7}

Entonces:

  • A ∩ B = {1; 3; 4}

Gráficamente A ∩ B:

Intersección de Conjuntos

Diferencia de Conjuntos ( – ):

Ejemplo:

Si:

  • A = {2; 3; 4: 5; 7}
  • B = {0; 1; 2; 4; 5; 6}

Entonces:

  • A – B = {3; 7}

Gráficamente A – B:

Diferencia de Conjuntos

Ejercicio 2 Diferencia de Conjuntos

Simetría o Diferencia Simétrica (Δ)

Simetría o Diferencia Simétrica

Por lo tanto “son todos los elementos no comunes”

Ejemplo:

Si:

  • A = {1; 2; 4: 6}
  • B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}

Entonces:

  • A Δ B = {0; 3; 5; 6; 7}

Gráficamente A Δ B:

Ejemplo Simetría o Diferencia Simétrica

Complemento de un conjunto.

Entonces:  A’ = Ac = Complemento del conjunto A

Complemento de un conjunto

Ejemplo:

Sea:

  • U = {1; 2, 3; 4; 5; 6; 7}
  • A = {2; 3; 5; 7}

El complemento será:

  • Ac = {1; 4; 6}

Gráficamente Ac:

Ejemplo Complemento de un conjunto

Conjuntos con Expresiones Reales (Intervalos)

Para el mejor entendimiento necesitamos saber que la familia de los números reales esta compuesto por infinitos valores, de valor a valor sin importar cuan cercanos estén. La representación grafica de los números reales es mediante una recta de representación numérica.

Conjuntos con Expresiones Reales

  • Se trabaja con números reales.
  • Entre dos números reales diferentes existen infinitos valores reales.

Existen:

Intervalos Abiertos

  • Se denota por : < a; b > ó ] a; b [
  • Cuando no se llega a tomar los valores de los limites.

Ejemplo:

x ∈ < 2;5 >, quiere decir que los valores de x son mayores que 2 y menores que 5, pero no llega a tomar los valores de 2 y 5.

Su grafica sería:

Ejemplo de Conjuntos con Expresiones Reales

Intervalos Cerrados

  • Se denota por: ≤ a; b ≥ ó  [ a; b ]
  • Cuando se toma todos los valores incluyendo los limites, por ejemplo:

x ∈ [ 2;5 ], quiere decir que los valores de x son mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5, en otras palabras toma los valores desde 2 hasta 5.

Su gráfica sería:

Intervalos Cerrados

Ejemplos de Teoría de Conjuntos

Ahora veremos algunos ejemplos de teoría de conjuntos.

Ejemplo 01:

Determinar por comprensión, el siguiente conjunto:

Ejemplo 1 de Teoría de Conjuntos

Solución:

Los elementos, en forma equivalente:

Solución Ejemplo 1 de Teoría de Conjuntos

Por lo tanto el conjunto D, por comprensión, es:

Respuesta Ejemplo 1 de Teoría de Conjuntos

Ejemplo 02:

¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta?

Solución:

Sea el conjunto, que contiene 6 clases de fruta:

Ejemplo 2 de Teoría de Conjuntos

Hallamos el total de jugos surtidos:

Respuesta Ejemplo 2 de Teoría de Conjuntos

Ejemplo 03:

Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos, combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5; …; n colores. Hallar “n”.

Solución:

Con “n” colores básicos, la cantidad de nuevos tonos, son:

Ejemplo 3 de Teoría de Conjuntos

Por dato:

Ejemplo 04:

Dados los conjuntos:

  • A= {2, 3, 5, 6, 8}.
  • B= {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9}.

Si “m” es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y “n” el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A. Hallar: m+n

Solución:

Subconjuntos no vacíos de A, disjuntos con B:

Ejemplo 4 de Teoría de Conjuntos

Subconjuntos no vacíos de B, disjuntos con A:

Respuesta Ejemplo 4 de Teoría de Conjuntos

Ejercicios de Teoría de Conjuntos

En esta sección te compartiremos varios problemas de teoría de conjuntos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Teoría de Conjuntos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 9 problemas resueltos de teoría de conjuntos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Teoría de Conjuntos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 144 problemas de teoría de conjuntos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Teoría de Conjuntos para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de teoría de conjuntos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Son dos enlaces que te corresponden a 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Teoría de Conjuntos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de teoría de conjuntos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son dos fichas educativas relacionados con el tema de conjuntos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Son tres fichas educativas relacionadas con el tema de conjuntos para 3er grado de secundaria que te brindaremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de conjuntos para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Son dos recursos educativos relacionados con el tema de conjuntos para 5to grado de secundaria que te brindaremos a continuación:

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