POLINOMIOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Polinomios puedes revisar nuestro indice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Expresión Algebraica

Es una combinación de números y letras unidas entre sí por los signos de las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación).

Ejemplos:Ejemplo de Expresión Algebraica

Clasificación de las Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican de la siguiente forma:

Expresión Algebraica Racional (E.A.R.)

Es aquella expresión cuyas variables no está afectadas de radicales o exponentes fraccionarios y que llevadas todas las variables al numerador, se ven afectadas de exponentes enteros. A su vez estas expresiones se subdividen en:

Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.)

Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador, estas se ven afectadas de exponentes enteros positivos o cero, aquí se encuentran los polinomios.

Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales enteras:

Ejemplos:Ejemplo de Expresión Algebraica Racional Entera

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.)

Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador por  lo menos una de ellas está afectada de un exponente entero negativo.

Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales fraccionarias:

Ejemplos:Ejemplo de Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Talvez muchos de ustedes se estarán preguntando porque la expresión Q(x,y) sería una expresión algebraica racional fraccionaria, si a simple vista tiene todos sus exponentes enteros positivos. En la definición que les mencionamos anteriormente dice “aquella donde llevadas todas sus variables al numerador” entonces observamos que en el segundo término existe una variable en el denominador, tenemos que llevarla al numerador y ¿Cómo se hace eso?, es simple mediante la definición de exponente negativo entonces la expresión nos quedaría de la siguiente manera:

Ejercicio de Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Entonces claramente se puede observar que uno de sus exponentes es un numero entero negativo por lo tanto sería una expresión algebraica racional fraccionaria.

Expresión Algebraica Irracional (E.A.I)

Es aquella  donde por lo menos una de sus variables está afectada de un exponente fraccionario o de un signo radical.

Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales fraccionarias:

Ejemplos:Problema de Expresión Algebraica Irracional

Término Algebraico

Es una combinación de números y letras vinculados entre sí por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

Partes de un Término Algebraico

Los términos algebraicos presentan generalmente tres partes, los cuales son:

Partes de un Término Algebraico

Como has observado las partes de un término algebraico son:

  • Coeficiente.
  • Variables.
  • Exponentes (grados).

Ahora vemos otro ejemplo:

Ejemplo:

Indicar las partes del siguiente término algebraico:Ejemplo de un Término Algebraico

Las partes de ese término algebraico son:

  • Coeficiente:
  • Variables: “x” e “y”
  • Exponentes: “5” y “6”

Términos Semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal (variables y exponentes). Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ahora vamos a ver un ejemplo de términos semejantes:

Ejemplo:Ejemplo de Terminos Semejantes

Los Polinomios

Se define así a toda expresión algebraica racional entera, (E.A.R.E). Esto implica que sus exponentes de sus variables deben de ser siempre cantidades enteras y positivas.

Ahora veamos algunos ejemplos y vamos a identificar cuál de las expresiones algebraicas es un polinomio y el porqué.

Ejemplo 01:Ejemplo de Polinomios

Esta expresión algebraica no es polinomio ya que uno de sus exponentes es una cantidad fraccionaria, para que sea un polinomio todos los exponentes deben ser enteros y positivos.

Ejemplo 02:Ejemplo 2 de Polinomios

Esta expresión algebraica si es polinomio ya que todos sus exponentes son cantidades enteras y positivas.

Grados de un Monomio

Los monomios presentan los siguientes grados:

Grado Relativo de un Monomio

Está determinado por el exponente de dicha variable, se le representa con una “G.R.(variable)”.

Ejemplo:

Sea el monomio:Ejemplo de Grado Relativo de un Monomio

Sus grados relativos serian:

  • GR(x) = 7
  • GR(y) = 11

Grado Absoluto de un Monomio

Está determinado por la suma de los exponentes de sus variables, se le representa con una “G.A.”.

Ejemplo:

Sea el monomio:

Ejemplo de Grado Absoluto de un Monomio

Su grado absoluto seria:

  • GA = 7 + 11
  • GA = 18

Grados de un Polinomio

Los polinomios presentan los siguientes grados:

Grado Relativo de un Polinomio

El grado relativo de un polinomio viene representado por el mayor exponente de la variable en mención, se le representa con una “G.R.(variable)”.

Ejemplo 01:

Dado el Polinomio

Ejemplo de Grados de un Polinomio

Sus grados relativos serian:

  • GR(x) = 6
  • GR(y) = 7

Ejemplo 02:

Dado el polinomio:Ejercicio de Grados de un Polinomio

Sus grados relativos serian:

  • GR(x) = 6
  • GR(y) = 2
  • GR(z) = 4

Grado Absoluto de un Polinomio

El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado, se le representa con una “G.A.”.

Ejemplo:

Dado el polinomio:

Ejemplo de Grado Absoluto de un Polinomio

Ahora vamos a hallar el grado absoluto de todos los monomios

Ejercicio de Grado Absoluto de un Polinomio

Hemos notado que el monomio de mayor grado es “ – 3x5y8 ” que tiene como grado 13, entonces el grado absoluto de todo el polinomio es:

  • GA = 13

Coeficiente Principal de un Polinomio

El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término que tiene el grado absoluto

Ejemplo:

Indicar el coeficiente principal del siguiente polinomio:

Ejemplo de Coeficiente Principal de un Polinomio

Solución:

Lo primero que haremos es hallar los grados absolutos de todos los monomios para determinar el grado absoluto del polinomio:

Solucion de Coeficiente Principal de un Polinomio

El término que tiene el grado absoluto tiene como coeficiente a “−9”, por lo tanto ese vendría a ser el coeficiente principal

  • Coeficiente Principal: −9

Término Independiente del Polinomio

El término independiente de un polinomio es el término cuyo grado es igual a “0”, o es el que aparentemente no presenta variable

Ejemplo:

Indicar el termino independiente del siguiente polinomio:

Ejemplo de Termino Independiente del Polinomio

Solución:

Lo primero que haremos es hallar los grados de todos los monomios:

Solucion de Termino Independiente del Polinomio

Notamos que el término que tiene el grado “0” es “−21” por lo tanto:

  • Termino Independiente: −21

Grado de las Operaciones Algebraicas

El grado de una Expresión Algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, pero nosotros aplicaremos las siguientes reglas:

Grado de una Adición y una Sustracción:

Se toma el mayor grado.

Ejemplo:

Hallar el grado absoluto de la siguiente expresión:

Ejemplo de Grado de una Adicion y una Sustraccion

Solución:

Como los términos algebraicos se suman y se restan, tomamos el mayor grado de todos los términos, entonces:

  • GA = 4

Grado de un producto:

Se suman los grados de cada uno de los factores indicados

Ejemplo 01:

Hallar el grado absoluto de:

Ejemplo de Grado de un Producto

Solución:

Como los 3 términos algebraicos se están multiplicando, sumamos los grados de los 3 términos, entonces:

  • GA = 3 + 2 + 1
  • GA = 6

Ejemplo 02:

Hallar el grado absoluto de:

Ejercicio de Grado de un Producto

Solución:

Como los 2 términos algebraicos se están multiplicando, sumamos los grados de los 2 términos, entonces:

  • GA = 2 + 5
  • GA = 7

Grado de un cociente:

Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor mencionado.

Ejemplo 01:

Hallar el grado de:

Ejemplo de Grado de un Cociente

Solución:

Primero hallamos el grado absoluto del dividendo y del divisor:

  • El grado del dividendo (x5y4) es 9
  • El grado del divisor (x2y3) es 5

Ahora restamos los grados del dividendo y divisor, entonces:

  • GA = 9 – 5
  • GA = 4

Ejemplo 02:

Hallar el grado de:

Ejercicio de Grado de un Cociente

Solución:

Primero hallamos el grado absoluto del dividendo y del divisor:

  • El grado del dividendo (x18 + x10 – 4x6 + 5) es 18
  • El grado del divisor (x5 – 2x + 11) es 5

Ahora restamos los grados del dividendo y divisor, entonces:

  • GA = 18 – 5
  • GA = 13

Grado de una Potencia:

Se multiplican el grado de la base por el exponente.

Ejemplo 01:

Hallar el grado de:

Ejemplo de Grado de una Potencia

Solución:

Primero hallamos el grado absoluto de la base:

  • El grado de la base (x3 + 5x2 – 3) es 3

Ahora multiplicamos el grado de base por el exponente, entonces:

  • GA = 3 x 2
  • GA = 6

Ejemplo 02:

Hallar el grado de:

Problema de Grado de una Potencia

Solución:

Primero hallamos el grado absoluto de la base:

  • El grado de la base (3x7 – x4 + 5x + 1) es 7

Ahora multiplicamos el grado de base por los exponentes, entonces:

  • GA = 7 x 3 x 2
  • GA = 42

Grado de una Raíz:

Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.

Ejemplo 01:

Hallar el grado de:

Ejemplo de Grado de una Raíz

Solución:

Primero hallamos el grado absoluto del radicando:

  • El grado del radicando (x24 + 2x4 + 7) es 24

Ahora dividimos el grado del radicando entre el índice, entonces:

  • GA = 24 ÷ (2 x 3)
  • GA = 4

Término Independiente de un Producto

Esta se determina por el producto de los términos independientes de los factores a multiplicarse.

Ejemplo:

Halle el término independiente en:

Ejemplo de Termino Independiente de un Producto

Solución:

Primero determinamos los términos independientes los cada uno de los factores:

  • El termino independiente de este factor “5x24 – 9x + 6” es +6
  • El termino independiente de este factor “2x9 + 6x – 1” es –1
  • El termino independiente de este factor “x2 – 2x – 7” es –7

Ahora para hallar el término independiente de toda la expresión algebraica multiplicamos todos los términos independientes:

  • T.I. = (+6)(–1)( –7)
  • T.I. = 42

Término Independiente de una Potencia

Para hallar el término independiente de una potencia, se toma el término independiente de la base y luego lo elevamos al exponente de la base:

Ejemplo:

Halle el término independiente en:

Ejemplo de Termino Independiente de una Potencia

Solución:

Primero determinamos el término independiente de la base:

  • El termino independiente de la base “x2 + 4x – 3” es –3

Ahora para hallar el término independiente de toda la expresión algebraica elevamos el término independiente de la base a la potencia que presenta:

  • T.I. = (–3)4
  • T.I. = 81

Coeficiente Principal de un Producto

Se obtiene multiplicando los coeficientes principales de cada uno de los factores:

Ejemplo:

Halle el coeficiente principal (C.P.) en:

Ejemplo de Coeficiente Principal de un Producto

Solución:

Primero hallamos los coeficientes principales de cada uno de los términos:

  • El coeficiente principal de “2x5 + 4x + 1” es 2
  • El coeficiente principal de “x4 – 4 – 3x” es 1
  • El coeficiente principal de “6x5 + 4” es 6

Para hallar el coeficiente principal de toda la expresión algebraica, multiplicamos los coeficientes principales de todas las expresiones algebraicas.

  • C.P. = (2)(1)(6)
  • C.P. = 12

Ejemplos de Polinomios

Ahora veremos algunos ejemplos de polinomios que podrás encontrar para resolver.

Ejemplo 01:

Hallar “m+n”, si el polinomio

Ejemplo de grado absoluto y relativo de un polinomio

Es de G.A.=41, además: el G.R.(x) es al G.R.(y) como 5 es a 2

Resolución:

Tenemos que: G.A.=41

Resolucion de Polinomios

También tenemos que:

Resolviendo Polinomios

Resolviendo “I” y “II”, obtendremos: m = 8  y  n = 2

Se pide

Respuesta de Polinomios

Ejemplo 02:

Determinar el grado de

Ejemplo 02 de Polinomios

Resolución:

Simplificando en “M”

Resolución 02 de Polinomios

Luego el grado de la expresión “M” será:

Soluciones de Polinomios

Respuestas de Polinomios

Simplificando:

Respuesta Polinomio

Ejemplo 03:

Qué valor debe tomar “n” para que la expresión adjunta:

Ejemplo 3 de Polinomios

Sea de segundo grado:

Resolución:

Reduciendo la expresión a forma más simple:

Problema 3 de Polinomios

Ahora por ser de segundo grado (de acuerdo a la condición):

Problema 3 de Polinomios

Resolviendo:

Respuesta 3 de Polinomios

Ejemplo 04:

Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son “m” y “n” respectivamente. Halle el grado de:

Problema 04 de Polinomios

Resolución:

Bien empecemos, hallando el grado cada término:

Resolucion 04 de Polinomios

Como: m>n, llegaremos a la conclusión de:

Conclusion 04 de Polinomios

Luego:

Respuesta 04 de Polinomios

Ejercicios de Polinomios

En esta sección te compartiremos varios problemas de polinomios resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 10 problemas resueltos de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 35 problemas resueltos de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Formulas de Polinomios

Ahora te compartiremos un pequeño formulario de polinomios, donde hallaras las formulas mas importantes de este tema, puedes descargar seleccionando cualquiera de las opciones que te presentaremos en seguida:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Polinomios para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de polinomios para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de polinomios para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de teoría de polinomios para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de polinomios para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de teoría de polinomios para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Otros Temas Relacionados

Ecuaciones Exponenciales
Productos Notables
Teoria de Exponentes

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba