Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Polinomios puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Expresión Algebraica
Es una combinación de números y letras unidas entre sí por los signos de las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación).
Ejemplos:
Clasificación de las Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican de la siguiente forma:
Expresión Algebraica Racional (E.A.R.)
Es aquella expresión cuyas variables no está afectadas de radicales o exponentes fraccionarios y que llevadas todas las variables al numerador, se ven afectadas de exponentes enteros. A su vez estas expresiones se subdividen en:
Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.)
Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador, estas se ven afectadas de exponentes enteros positivos o cero, aquí se encuentran los polinomios.
Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales enteras:
Ejemplos:
Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.)
Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador por lo menos una de ellas está afectada de un exponente entero negativo.
Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales fraccionarias:
Ejemplos:
Talvez muchos de ustedes se estarán preguntando porque la expresión Q(x,y) sería una expresión algebraica racional fraccionaria, si a simple vista tiene todos sus exponentes enteros positivos. En la definición que les mencionamos anteriormente dice “aquella donde llevadas todas sus variables al numerador” entonces observamos que en el segundo término existe una variable en el denominador, tenemos que llevarla al numerador y ¿Cómo se hace eso?, es simple mediante la definición de exponente negativo entonces la expresión nos quedaría de la siguiente manera:
Entonces claramente se puede observar que uno de sus exponentes es un numero entero negativo por lo tanto sería una expresión algebraica racional fraccionaria.
Expresión Algebraica Irracional (E.A.I)
Es aquella donde por lo menos una de sus variables está afectada de un exponente fraccionario o de un signo radical.
Ahora veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas racionales fraccionarias:
Ejemplos:
Término Algebraico
Es una combinación de números y letras vinculados entre sí por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.
Partes de un Término Algebraico
Los términos algebraicos presentan generalmente tres partes, los cuales son:
Como has observado las partes de un término algebraico son:
- Coeficiente.
- Variables.
- Exponentes (grados).
Ahora vemos otro ejemplo:
Ejemplo:
Indicar las partes del siguiente término algebraico:
Las partes de ese término algebraico son:
- Coeficiente:
- Variables: “x” e “y”
- Exponentes: “5” y “6”
Términos Semejantes
Son aquellos que tienen la misma parte literal (variables y exponentes). Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.
Ahora vamos a ver un ejemplo de términos semejantes:
Ejemplo:
Los Polinomios
Se define así a toda expresión algebraica racional entera, (E.A.R.E). Esto implica que sus exponentes de sus variables deben de ser siempre cantidades enteras y positivas.
Ahora veamos algunos ejemplos y vamos a identificar cuál de las expresiones algebraicas es un polinomio y el porqué.
Ejemplo 01:
Esta expresión algebraica no es polinomio ya que uno de sus exponentes es una cantidad fraccionaria, para que sea un polinomio todos los exponentes deben ser enteros y positivos.
Ejemplo 02:
Esta expresión algebraica si es polinomio ya que todos sus exponentes son cantidades enteras y positivas.
Grados de un Monomio
Los monomios presentan los siguientes grados:
Grado Relativo de un Monomio
Está determinado por el exponente de dicha variable, se le representa con una “G.R.(variable)”.
Ejemplo:
Sea el monomio:
Sus grados relativos serian:
- GR(x) = 7
- GR(y) = 11
Grado Absoluto de un Monomio
Está determinado por la suma de los exponentes de sus variables, se le representa con una “G.A.”.
Ejemplo:
Sea el monomio:
Su grado absoluto seria:
- GA = 7 + 11
- GA = 18
Grados de un Polinomio
Los polinomios presentan los siguientes grados:
Grado Relativo de un Polinomio
El grado relativo de un polinomio viene representado por el mayor exponente de la variable en mención, se le representa con una “G.R.(variable)”.
Ejemplo 01:
Dado el Polinomio
Sus grados relativos serian:
- GR(x) = 6
- GR(y) = 7
Ejemplo 02:
Dado el polinomio:
Sus grados relativos serian:
- GR(x) = 6
- GR(y) = 2
- GR(z) = 4
Grado Absoluto de un Polinomio
El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado, se le representa con una “G.A.”.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
Ahora vamos a hallar el grado absoluto de todos los monomios
Hemos notado que el monomio de mayor grado es “ – 3x5y8 ” que tiene como grado 13, entonces el grado absoluto de todo el polinomio es:
- GA = 13
Coeficiente Principal de un Polinomio
El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término que tiene el grado absoluto
Ejemplo:
Indicar el coeficiente principal del siguiente polinomio:
Solución:
Lo primero que haremos es hallar los grados absolutos de todos los monomios para determinar el grado absoluto del polinomio:
El término que tiene el grado absoluto tiene como coeficiente a “−9”, por lo tanto ese vendría a ser el coeficiente principal
- Coeficiente Principal: −9
Término Independiente del Polinomio
El término independiente de un polinomio es el término cuyo grado es igual a “0”, o es el que aparentemente no presenta variable
Ejemplo:
Indicar el termino independiente del siguiente polinomio:
Solución:
Lo primero que haremos es hallar los grados de todos los monomios:
Notamos que el término que tiene el grado “0” es “−21” por lo tanto:
- Termino Independiente: −21
Grado de las Operaciones Algebraicas
El grado de una Expresión Algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, pero nosotros aplicaremos las siguientes reglas:
Grado de una Adición y una Sustracción:
Se toma el mayor grado.
Ejemplo:
Hallar el grado absoluto de la siguiente expresión:
Solución:
Como los términos algebraicos se suman y se restan, tomamos el mayor grado de todos los términos, entonces:
- GA = 4
Grado de un producto:
Se suman los grados de cada uno de los factores indicados
Ejemplo 01:
Hallar el grado absoluto de:
Solución:
Como los 3 términos algebraicos se están multiplicando, sumamos los grados de los 3 términos, entonces:
- GA = 3 + 2 + 1
- GA = 6
Ejemplo 02:
Hallar el grado absoluto de:
Solución:
Como los 2 términos algebraicos se están multiplicando, sumamos los grados de los 2 términos, entonces:
- GA = 2 + 5
- GA = 7
Grado de un cociente:
Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor mencionado.
Ejemplo 01:
Hallar el grado de:
Solución:
Primero hallamos el grado absoluto del dividendo y del divisor:
- El grado del dividendo (x5y4) es 9
- El grado del divisor (x2y3) es 5
Ahora restamos los grados del dividendo y divisor, entonces:
- GA = 9 – 5
- GA = 4
Ejemplo 02:
Hallar el grado de:
Solución:
Primero hallamos el grado absoluto del dividendo y del divisor:
- El grado del dividendo (x18 + x10 – 4x6 + 5) es 18
- El grado del divisor (x5 – 2x + 11) es 5
Ahora restamos los grados del dividendo y divisor, entonces:
- GA = 18 – 5
- GA = 13
Grado de una Potencia:
Se multiplican el grado de la base por el exponente.
Ejemplo 01:
Hallar el grado de:
Solución:
Primero hallamos el grado absoluto de la base:
- El grado de la base (x3 + 5x2 – 3) es 3
Ahora multiplicamos el grado de base por el exponente, entonces:
- GA = 3 x 2
- GA = 6
Ejemplo 02:
Hallar el grado de:
Solución:
Primero hallamos el grado absoluto de la base:
- El grado de la base (3x7 – x4 + 5x + 1) es 7
Ahora multiplicamos el grado de base por los exponentes, entonces:
- GA = 7 x 3 x 2
- GA = 42
Grado de una Raíz:
Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.
Ejemplo 01:
Hallar el grado de:
Solución:
Primero hallamos el grado absoluto del radicando:
- El grado del radicando (x24 + 2x4 + 7) es 24
Ahora dividimos el grado del radicando entre el índice, entonces:
- GA = 24 ÷ (2 x 3)
- GA = 4
Término Independiente de un Producto
Esta se determina por el producto de los términos independientes de los factores a multiplicarse.
Ejemplo:
Halle el término independiente en:
Solución:
Primero determinamos los términos independientes los cada uno de los factores:
- El termino independiente de este factor “5x24 – 9x + 6” es +6
- El termino independiente de este factor “2x9 + 6x – 1” es –1
- El termino independiente de este factor “x2 – 2x – 7” es –7
Ahora para hallar el término independiente de toda la expresión algebraica multiplicamos todos los términos independientes:
- T.I. = (+6)(–1)( –7)
- T.I. = 42
Término Independiente de una Potencia
Para hallar el término independiente de una potencia, se toma el término independiente de la base y luego lo elevamos al exponente de la base:
Ejemplo:
Halle el término independiente en:
Solución:
Primero determinamos el término independiente de la base:
- El termino independiente de la base “x2 + 4x – 3” es –3
Ahora para hallar el término independiente de toda la expresión algebraica elevamos el término independiente de la base a la potencia que presenta:
- T.I. = (–3)4
- T.I. = 81
Coeficiente Principal de un Producto
Se obtiene multiplicando los coeficientes principales de cada uno de los factores:
Ejemplo:
Halle el coeficiente principal (C.P.) en:
Solución:
Primero hallamos los coeficientes principales de cada uno de los términos:
- El coeficiente principal de “2x5 + 4x + 1” es 2
- El coeficiente principal de “x4 – 4 – 3x” es 1
- El coeficiente principal de “6x5 + 4” es 6
Para hallar el coeficiente principal de toda la expresión algebraica, multiplicamos los coeficientes principales de todas las expresiones algebraicas.
- C.P. = (2)(1)(6)
- C.P. = 12
Ejemplos de Polinomios
Ahora veremos algunos ejemplos de polinomios que podrás encontrar para resolver.
Ejemplo 01:
Hallar “m+n”, si el polinomio
Es de G.A.=41, además: el G.R.(x) es al G.R.(y) como 5 es a 2
Resolución:
Tenemos que: G.A.=41
También tenemos que:
Resolviendo “I” y “II”, obtendremos: m = 8 y n = 2
Se pide
Ejemplo 02:
Determinar el grado de
Resolución:
Simplificando en “M”
Luego el grado de la expresión “M” será:
Simplificando:
Ejemplo 03:
Qué valor debe tomar “n” para que la expresión adjunta:
Sea de segundo grado:
Resolución:
Reduciendo la expresión a forma más simple:
Ahora por ser de segundo grado (de acuerdo a la condición):
Resolviendo:
Ejemplo 04:
Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son “m” y “n” respectivamente. Halle el grado de:
Resolución:
Bien empecemos, hallando el grado cada término:
Como: m>n, llegaremos a la conclusión de:
Luego:
Ejercicios de Polinomios
En esta sección te compartiremos varios problemas de polinomios resueltos y para resolver, en donde cada uno de estos problemas contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Todos estos ejercicios los podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que tu desees.
Ejercicios Resueltos de Polinomios
Aquí te compartiremos un documento que contiene 10 problemas resueltos de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Polinomios
En esta parte te compartiremos un documento que contiene 34 problemas para resolver de polinomios, te invitamos a escoger la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B PDF
Formulas de Polinomios
Ahora te compartiremos un pequeño formulario de polinomios, donde encontraras los conceptos y formulas mas importantes de este tema acompañada de algunos ejemplos para su mejor comprensión:
Polinomios para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de polinomios para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de polinomios para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de teoría de polinomios para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de teoría de polinomios para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Solo es un material educativo de teoría de polinomios para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación: