Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Factorización de Polinomios puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué es la Factorización de Polinomios?
En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión resultante llamada producto a partir de los otros denominados factores. Al proceso contrario, es decir, a la transformación de una expresión desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina factorización. Todo lo mencionado se puede resumir en el siguiente esquema: La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios:
Polinomio sobre un Conjunto Numérico
Un polinomio está definido sobre un conjunto numérico cuando sus coeficientes están en dicho conjunto numérico.
Ejemplo:
Polinomio Irreductible (o Primo) sobre un Conjunto Numérico
Es aquel polinomio que no acepta transformación o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes, pertenecientes a dicho conjunto numérico. Todo polinomio primo presenta como únicos divisores a sí mismo y a cualquier constante no nula.
Ejemplo:
En cualquiera de los dos casos anteriores nos es posible transformarlos a una multiplicación de polinomios no constantes, por lo tanto, M(x) y N(x,y) son primos en cualquiera de los campos numéricos.
Postulado
Todo polinomio lineal de la forma (ax + b) es irreductible en cualquier conjunto numérico. Veamos ahora los siguientes casos:
Primer caso:
No es primo en Q, ya que:
Segundo caso:
Es primo en Q, pero no en R, ya que:
Factor Algebraico o Divisor Algebraico
Un polinomio no constante, es factor algebraico de otro polinomio, cuando lo divide exactamente, es decir si f(x) es un factor de g(x), entonces g(x) es divisible por f(x).
Ejemplo 01:
(m + 2) es factor de “m2 + 3m + 2”, ya que Es una división exacta.
Ejemplo 02:
(a − 5) no es factor de “a3 + 17”, ya que dicha división no es exacta.
Ejemplo 03:
Veamos el siguiente polinomio:
Factorización en el conjunto de los Números Racionales (Q):
Existen 2 factores primos en el conjunto de los Números Racionales (Q)
Factorizando en el conjunto de los Números Reales (R), tendremos:
Existen 3 factores primos en el conjunto de los Números Reales (R)
Factorizando en el Conjunto de los Números Complejos (C), tendremos:
Existen 4 factores primos en el conjunto de los Números Complejos (C).
Observaciones
1. Generalmente el conjunto en el que se ha de trabajar es el de los racionales (Q) salvo que indique lo contrario.
2. El número de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el número de factores primos se calcula contando los factores basales que figuran como bases y que contengan a las variables, denominadas también factores algebraicos. Así por ejemplo:
3. Ejemplo Factorizando en el conjunto de los Números Reales
Si se cambia de signo al factor: (2 − x) y (7 − x), se tendrá:
4. Sea:
Donde a, b y c son factores mónicos primos entre sí:
Ejemplo:
Determinar el número de factores de: “x2y2” Desagregando a la expresión en cada uno de sus factores, se tendrá
Como se observa existen 9 factores, los cuales se obtendrán directamente, a través de la relación anteriormente mostrada.
De donde se debe tener en cuenta que:
Ya se descarta al 1 porque es un polinomio de grado CERO.
Criterios de Factorización
Para factorizar un polinomio existen varios métodos o criterios de factorización, ahora veremos cada uno de ellos:
Factor Común y/o Agrupación de Términos
Para utilizar este criterio, se debe tener en cuenta lo siguiente:
- Se analiza si toda la expresión tiene uno o más factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que está elevado al menor exponente.
- En caso la expresión no tuviese los factores comunes deseados entonces necesariamente, se tendrá que recurrir a la agrupación de términos, dicha agrupación tiene como objetivo conseguir factores comunes.
- Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor común extraído.
Ejemplos de Factor Común y Agrupación de Términos
Ahora veremos algunos ejemplos del método de Factor común y Agrupación de Términos:
Ejemplo: 01
Factorizar el siguiente polinomio:
Resolución:
Extrayendo el factor común “(a + b)”
Ejemplo: 02
Factorizar e indicar la suma de coeficientes de los factores primos:
Resolución:
Agrupando convenientemente: Extrayendo el factor común “(x + y)”:
Nos piden la suma de coeficientes de sus factores:
Ejemplo: 03
Indicar el número de factores primos en:
Resolución:
Acomodando antes que todo:
Extrayendo factor común “(x +y)(x − y)”:
Luego el número de factores primos será: Rpta. 3
Factorización por Identidades
Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables, (Trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos,…etc.)
Diferencia de cuadrados:
Trinomio cuadrado perfecto:
Suma o diferencia de cubos:
Ejemplos de Factorización por Identidades
Ejemplo: 01
Factorizar e indicar el número de factores primos de:
Resolución:
Extrayendo factor común: “(x + n)x5” Luego presenta 4 factores primos por lo tanto ese sería la respuesta.
Ejemplo: 02
Factorizar e indicar la alternativa que no es un factor primo en:
Resolución:
Agrupando para extraer factor común:
Luego el primer factor por suma de cubos y por diferencia de cuadrados el segundo factor:
Luego uno de los factores será:
Ejemplo: 03
Hallar la suma de coeficientes de un factor primo en:
Resolución:
Agrupando convenientemente: En el último factor podemos aplicar diferencia de cuadrados:
Luego la suma de coeficientes de un factor primo será:
Factorización por Aspa Simple
Se emplea para factorizar polinomio de la forma:
Donde: A; B; C ≠ 0 y m; n ∈ N o cualquier otra expresión transformable a una de las formas anteriores. Para factorizar a este tipo de polinomios deberá tenerse en cuenta las siguientes reglas.
- Se adecúa la expresión a una de las formas antes mencionadas.
- Se descompone convenientemente los extremos tomando en cuenta el juego de signos.
- Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central de la expresión, entonces se concluyen que los factores serán las sumas horizontales:
Veamos el siguiente esquema:
Proceso del Aspa Simple:
Debe Cumplirse:
Luego tomamos los factores en forma horizontal:
Ejemplos de Factorización por Aspa Simple
Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Simple:
Ejemplo: 01
Factorizar y dar como respuesta la suma de factores primos:
Resolución:
Aplicando aspa simple: Por consiguiente:
Nos piden calcular la suma de factores primos, entonces tenemos:
Ejemplo: 02
Factorizar el factor primo mónico en:
Resolución:
Aplicando aspa simple: Por consiguiente:
Nos piden calcular el factor mónico, entonces tenemos:
Ejemplo: 03
Hallar el número de factores primos en:
Resolución:
Por aspa simple: Por consiguiente:
Nos piden calcular el número de factores primos, entonces tenemos:
Factorización por Aspa Doble
Se emplea para factorizar polinomios de la forma: O cualquier otra expresión transformable a ésta. Los pasos a seguir son los siguientes:
- Se adecúa el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos se completarán con CEROS.
- Se toma el primer trinomio de la expresión y se le aplica un aspa simple para comprobar al término en xmyn
- Seguidamente a los términos en y2n, yn y término independiente F se les aplica un aspa simple para comprobar el término en yn
- Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar al término en xn
- Cumplidos los pasos anteriores, se concluye que los factores serán las sumas horizontales.
Veamos el procedimiento a seguir en el siguiente esquema:
Proceso del Aspa Doble: Comprobaciones:
Para Terminar:
Ejemplos de Factorización por Aspa Doble
Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Doble:
Ejemplo: 01
Factorizar y dar como respuesta la suma de sus factores primos:
Resolución:
Aplicando en criterio del aspa doble: Veamos también que: x +3x = 4x Entonces:
Nos pide hallar la suma de sus factores primos
Ejemplo: 02
Factorizar el siguiente polinomio:
Resolución:
Aplicando el criterio del aspa doble:
Veamos también que: −x +27x = 26x Tomamos los términos de manera horizontal y tenemos:
Ejemplo: 03
Factorizar el siguiente polinomio:
Resolución:
Aplicando el criterio del aspa doble: Tomamos los términos de manera horizontal y tenemos:
Factorización por Aspa Doble Especial
Se emplea para factorizar polinomios de la forma:
O cualquier expresión transformable a ésta. Los criterios a tenerse en cuenta para factorizarlos son:
- Se adecúa el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos, éstos se completarán con CEROS.
- Se descomponen convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados.
- Se compara el resultado anterior con el término central de la expresión (cx2) y lo que sobre o falte para que sea igual a éste, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores.
- Cumplidos los pasos anteriores, concluye que los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo Ilustrativo:
Factorizar:
Resolución:
Para factorizar este tipo de polinomios (4to grado), es necesario que este completo y ordenado en forma descendente de acuerdo al grado de la variable, y si verificamos para este problema ya esta ordenado Luego descomponemos los extremos y realizamos un aspa simple: Es decir:
Entonces ahora realizamos una diferencia entre el término cuadrático del polinomio a factorizar, con el resultado obtenido en el aspa simple.
Es decir: 9x2 – (5x2) = 4x2
Ahora con este resultado tienes que formar un nuevo polinomio, de manera que reemplazaras al término cuadrático (9x2) por el resultado de la diferencia (4x2). Bien, ahora lo que haremos es realizar un aspa simple con los tres primeros términos y luego con los tres últimos términos.
Bien, ahora reproducimos los factores en forma horizontal de la siguiente manera:
Para terminar el factor “x2 + 4x + 3”, aún es factorizable por aspa simple.
Ejemplos de Factorización por Aspa Doble Especial
Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Doble Especial:
Ejemplo: 01
Factorizar y dar un coeficiente cuadrático la suma de los coeficientes lineales de los factores primos:
Resolución:
Aplicando el aspa simple inicial: Luego formando el nuevo polinomio con: 21x2 – 13x2 = 8x2
Entonces obtenemos los factores primos:
Nos pide hallar la suma de los coeficientes lineales:
Ejemplo: 02
Indicar el número de factores primos de:
Resolución:
Será necesario completar el polinomio: Aplicando el aspa simple inicial:
Luego formando el nuevo polinomio con: –5x4 – (– 4x4)= –x4
Entonces obtenemos los factores:
Luego factorización por el criterio de identidades (Identidad de Argand):
Nos pide el número de factores primos:
Ejemplo: 03
Factorizar y dar la suma de factores primos lineales.
Resolución:
Aplicando el aspa simple inicial: Luego formando el nuevo polinomio con: x2 – 4x2 = –3x2
Entonces obtenemos los siguientes factores:
Luego factorización por el criterio de identidades (Identidad de Argand):
Nos pide hallar la suma de factores lineales:
Factorización por Divisores Binomios
Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
Cero de un polinomio:
El valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a un polinomio dado. Ejemplo: Sea el siguiente polinomio: Se anula, entonces: 2 será un cero de F(x). Determinación de posibles ceros de un polinomio: Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo. Si así tenemos:
Sus posibles ceros estarán dados por los divisores de su Término Independiente que en este caso es 2: ±1, ±2 Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán expresados por: Por ejemplo sea:
Procedimiento a Seguir para Factorizar:
- Se determinan los ceros del polinomio.
- Se deduce el factor que lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de divisibilidad algebraica: “Si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0. Entonces dicho polinomio tendrá un factor (x − a)”
- El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general, se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que son más sencillos de factorizar).
Ejemplos de Factorización por Divisores Binomios
Ahora veremos algunos ejemplos del método de divisores binomicos:
Ejemplo: 01
Factorizar e indicar la suma de coeficientes del factor lineal en:
Resolución:
Calculo de los posibles ceros: ±1; ±2; ±7; ±14 Probamos: x = −2, entonces tenemos:
Se anula, entonces tendrá un factor (x + 2). Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini: Entonces tenemos los siguientes factores:
Nos pide la suma de coeficientes del factor lineal:
Ejemplo: 02
Hallar el factor primo lineal en:
Resolución:
Cálculo de los posibles ceros: ±1; ±3 Probamos: x = −1, entonces tenemos: Se anula, entonces tendrá un factor: (x + 1) Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini:
Entonces tenemos los siguientes factores:
Nos pide hallar el factor lineal:
Ejemplo: 03
Indicar el factor cuadrático en:
Resolución:
Calculo de los posibles ceros: ±1; ±2; ±3; ±6 Probamos: x = 2, entonces tenemos: Se anula, entonces tendrá un factor: (x − 2) Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini:
Entonces tenemos los siguientes factores:
Nos pide el factor cuadrático será:
Ejercicios de Factorización de Polinomios
En esta sección te compartiremos varios problemas de factorización de polinomios resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Factorización de Polinomios
Aquí te compartiremos un documento que contiene 28 problemas resueltos de factorización de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Factorización de Polinomios
Aquí te compartiremos un documento que contiene 58 problemas del factorización de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B PDF
Factorización de Polinomios para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de factorización de polinomios para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos tres fichas educativas sobre los temas de factorización por factor común, agrupación de términos, aspa simple y diferencia de cuadrados para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
- Ficha 01 – Factorización por Factor Común y Agrupación de Términos
- Ficha 02 – Factorización por Diferencia de Cuadrados
- Ficha 03 – Factorización por Aspa Simple
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos dos fichas educativas sobre los temas de criterios para factorizar y factorizacion por identidades para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
En esta parte te compartiremos dos fichas educativas sobre los temas de criterios de factorización para 3er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
- Ficha 01 – Ejercicios de Criterios de Factorización I
- Ficha 02 – Ejercicios de Criterios de Factorización II
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
En esta sección te brindaremos un material educativo de criterios de factorización para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos el enlace de un recurso educativo de factorización para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Muy buena su página