FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Factorización de Polinomios puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué es la Factorización de Polinomios?

En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión resultante llamada producto a partir de los otros denominados factores. Al proceso contrario, es decir, a la transformación de una expresión desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina factorización. Todo lo mencionado se puede resumir en el siguiente esquema: Propiedad de Factorización de Polinomios La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios:

Polinomio sobre un Conjunto Numérico

Un polinomio está definido sobre un conjunto numérico cuando sus coeficientes están en dicho conjunto numérico.

Ejemplo: Ejemplo de Polinomio sobre un Conjunto Numérico

Polinomio Irreductible (o Primo) sobre un Conjunto Numérico

Es aquel polinomio que no acepta transformación o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes, pertenecientes a dicho conjunto numérico. Todo polinomio primo presenta como únicos divisores a sí mismo y a cualquier constante no nula.

Ejemplo:

Ejemplo de Polinomio Irreductible sobre un Conjunto Numérico

En cualquiera de los dos casos anteriores nos es posible transformarlos a una multiplicación de polinomios no constantes, por lo tanto, M(x) y N(x,y) son primos en cualquiera de los campos numéricos.

Postulado

Todo polinomio lineal de la forma (ax + b) es irreductible en cualquier conjunto numérico. Veamos ahora los siguientes casos:

Primer caso:

Primer Caso de Polinomio Irreductible sobre un Conjunto Numérico

No es primo en Q, ya que:

Formula de Polinomio Irreductible sobre un Conjunto Numérico

Segundo caso:

Segundo Caso de Polinomio Irreductible sobre un Conjunto Numérico

Es primo en Q, pero no en R, ya que:

Formula Caso de Polinomio Irreductible sobre un Conjunto Numérico

Factor Algebraico o Divisor Algebraico

Un polinomio no constante, es factor algebraico de otro polinomio, cuando lo divide exactamente, es decir si f(x) es un factor de g(x), entonces g(x) es divisible por f(x).

Ejemplo 01:

(m + 2) es factor de “m2 + 3m + 2”, ya que Ejemplo 1 de Factor Algebraico o Divisor Algebraico Es una división exacta.

Ejemplo 02:

(a − 5) no es factor de “a3 + 17”, ya que dicha división no es exacta.

Ejemplo 03:

Veamos el siguiente polinomio: Ejemplo 3 de Factor Algebraico o Divisor Algebraico

Factorización en el conjunto de los Números Racionales (Q):

Ejemplo de Factorización en el Conjunto de los Números Racionales Existen 2 factores primos en el conjunto de los Números Racionales (Q)

Factorizando en el conjunto de los Números Reales (R), tendremos:

Factorizando en el conjunto de los Números Reales

Existen 3 factores primos en el conjunto de los Números Reales (R)

Factorizando en el Conjunto de los Números Complejos (C), tendremos:

Existen 4 factores primos en el conjunto de los Números Complejos (C).

Observaciones

1. Generalmente el conjunto en el que se ha de trabajar es el de los racionales (Q) salvo que indique lo contrario.

2. El número de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el número de factores primos se calcula contando los factores basales que figuran como bases y que contengan a las variables, denominadas también factores algebraicos. Así por ejemplo:

Ejemplo Factorizando en el conjunto de los Números Reales

3. Ejemplo Factorizando en el conjunto de los Números Reales

Expresión Factorizando en el conjunto de los Números Reales

Si se cambia de signo al factor: (2 − x) y (7 − x), se tendrá:

4. Sea: Formula Factorizando en el conjunto de los Números Reales

Donde a, b y c son factores mónicos primos entre sí:

Factores Monicos Factorizando en el conjunto de los Números Reales

Ejemplo:

Determinar el número de factores de: “x2y2” Desagregando a la expresión en cada uno de sus factores, se tendrá

Desagregando a la Expresión en Cada uno de sus Factores

Como se observa existen 9 factores, los cuales se obtendrán directamente, a través de la relación anteriormente mostrada.

Factores Monicos Factorizando

De donde se debe tener en cuenta que:

Factores Algebraicos

Ya se descarta al 1 porque es un polinomio de grado CERO.

Criterios de Factorización

Para factorizar un polinomio existen varios métodos o criterios de factorización, ahora veremos cada uno de ellos:

Factor Común y/o Agrupación de Términos

Para utilizar este criterio, se debe tener en cuenta lo siguiente:

  • Se analiza si toda la expresión tiene uno o más factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que está elevado al menor exponente.
  • En caso la expresión no tuviese los factores comunes deseados entonces necesariamente, se tendrá que recurrir a la agrupación de términos, dicha agrupación tiene como objetivo conseguir factores comunes.
  • Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor común extraído.

Ejemplos de Factor Común y Agrupación de Términos

Ahora veremos algunos ejemplos del método de Factor común y Agrupación de Términos:

Ejemplo: 01

Factorizar el siguiente polinomio: Ejemplos de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Resolución:

Extrayendo el factor común “(a + b)” Respuesta de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Ejemplo: 02

Factorizar e indicar la suma de coeficientes de los factores primos: Ejemplos 2 de Factor Común y Agrupacion de Terminos

Resolución:

Agrupando convenientemente: Respuesta 2 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos Extrayendo el factor común “(x + y)”: Solucion 2 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos Nos piden la suma de coeficientes de sus factores:

Conclusion 2 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Ejemplo: 03

Indicar el número de factores primos en:

Ejemplos 3 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Resolución:

Acomodando antes que todo:

Resolucion 3 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Extrayendo factor común “(x +y)(x − y)”:

Extrayendo Factor Comun 3 de Factor Comun y Agrupacion de Terminos

Luego el número de factores primos será: Rpta. 3

Factorización por Identidades

Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables, (Trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos,…etc.)

Diferencia de cuadrados:

Formula de Diferencia de Cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto:     

Formula de Trinomio de Cuadrado Perfecto

Suma o diferencia de cubos:    

Formula de Suma o Diferencia de Cubos

Ejemplos de Factorización por Identidades

Ejemplo: 01

Factorizar e indicar el número de factores primos de: Ejemplo 1 de Factorización por Identidades

Resolución:

Extrayendo factor común: “(x + n)x5Resolución 1 de Factorización por Identidades Luego presenta 4 factores primos por lo tanto ese sería la respuesta.

Ejemplo: 02

Factorizar e indicar la alternativa que no es un factor primo en:

Resolución:
Agrupando para extraer factor común: Resolucion 2 de Fatorizacion por Identidades Luego el primer factor por suma de cubos y por diferencia de cuadrados el segundo factor: Factor por suma 2 de Fatorizacion por Identidades Luego uno de los factores será: Respuesta 2 de Fatorizacion por Identidades Ejemplo: 03

Hallar la suma de coeficientes de un factor primo en: Ejemplo de Suma de coeficientes de un Factor Primo

Resolución:

Agrupando convenientemente: Respuesta de Suma de coeficientes de un Factor Primo En el último factor podemos aplicar diferencia de cuadrados: Factor de Suma de coeficientes de un Factor Primo Luego la suma de coeficientes de un factor primo será: Respuesta 3 de Suma de coeficientes de un Factor Primo

Factorización por Aspa Simple

Se emplea para factorizar polinomio de la forma:

Ejemplo Factorización por Aspa Simple

Donde: A; B; C ≠ 0  y  m; n ∈ N o cualquier otra expresión transformable a una de las formas anteriores. Para factorizar a este tipo de polinomios deberá tenerse en cuenta las siguientes reglas.

  • Se adecúa la expresión a una de las formas antes mencionadas.
  • Se descompone convenientemente los extremos tomando en cuenta el juego de signos.
  • Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central de la expresión, entonces se concluyen que los factores serán las sumas horizontales:

Veamos el siguiente esquema:

Proceso del Aspa Simple:

Formula de Proceso del Aspa Simple Debe Cumplirse: Proceso de Proceso del Aspa Simple Luego tomamos los factores en forma horizontal: Factores de Proceso del Aspa Simple

Ejemplos de Factorización por Aspa Simple

Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Simple:

Ejemplo: 01

Factorizar y dar como respuesta la suma de factores primos: Ejemplo de Factorizacion por Aspa Simple

Resolución:

Aplicando aspa simple: Resolucion de Factorizacion por Aspa Simple Por consiguiente: Proceso de Factorización por Aspa Simple Nos piden calcular la suma de factores primos, entonces tenemos: Respuesta de Factorizacion por Aspa Simple

Ejemplo: 02

Factorizar el factor primo mónico en: Ejemplo 2 de Factorizacion por Aspa Simple

Resolución:

Aplicando aspa simple: Solucion 2 de Factorización por Aspa Simple Por consiguiente: Conclusion 2 de Factorizacion por Aspa Simple Nos piden calcular el factor mónico, entonces tenemos: Respuesta 2 de Factorizacion por Aspa Simple

Ejemplo: 03

Hallar el número de factores primos en: Ejemplo 3 de Factorizacion por Aspa Simple

Resolución:

Por aspa simple: Resolucion Ejemplo 3 de Factorizacion por Aspa Simple Por consiguiente: Conclusion 3 de Factorizacion por Aspa Simple Nos piden calcular el número de factores primos, entonces tenemos: Respuesta 3 de Factorizacion por Aspa Simple

Factorización por Aspa Doble

Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Propiedad de Factotizacion de Aspa Doble O cualquier otra expresión transformable a ésta. Los pasos a seguir son los siguientes:

  • Se adecúa el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos se completarán con CEROS.
  • Se toma el primer trinomio de la expresión y se le aplica un aspa simple para comprobar al término en xmyn
  • Seguidamente a los términos en y2n, yn y término independiente F se les aplica un aspa simple para comprobar el término en yn
  • Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar al término en xn
  • Cumplidos los pasos anteriores, se concluye que los factores serán las sumas horizontales.

Veamos el procedimiento a seguir en el siguiente esquema:

Proceso del Aspa Doble: Proceso del Aspa Doble Comprobaciones: Analisis del Aspa Doble Para Terminar:

Ejemplos de Factorización por Aspa Doble

Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Doble:

Ejemplo: 01

Factorizar y dar como respuesta la suma de sus factores primos:

Resolución:

Aplicando en criterio del aspa doble: Resolucion de Factorizacion por Aspa Doble Veamos también que: x +3x = 4x Entonces: Procedimiento de Factorizacion por Aspa Doble Nos pide hallar la suma de sus factores primos Respuesta de Factorizacion por Aspa Doble

Ejemplo: 02

Factorizar el siguiente polinomio: Ejemplo 2 de Factorizacion por Aspa Doble

Resolución:

Aplicando el criterio del aspa doble:

Resolucion 2 de Factorizacion por Aspa Doble

Veamos también que: −x +27x = 26x Tomamos los términos de manera horizontal y tenemos: Respuesta 2 de Factorizacion por Aspa Doble

Ejemplo: 03

Factorizar el siguiente polinomio: Ejemplo 3 de Factorizacion por Aspa Doble

Resolución:

Aplicando el criterio del aspa doble: Resolucion 3 de Factorizacion por Aspa Doble Tomamos los términos de manera horizontal y tenemos: Respuesta 3 de Factorizacion por Aspa Doble

Factorización por Aspa Doble Especial

Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Formula de Factorizacion por Aspa Doble Especial

O cualquier expresión transformable a ésta. Los criterios a tenerse en cuenta para factorizarlos son:

  • Se adecúa el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos, éstos se completarán con CEROS.
  • Se descomponen convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados.
  • Se compara el resultado anterior con el término central de la expresión (cx2) y lo que sobre o falte para que sea igual a éste, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores.
  • Cumplidos los pasos anteriores, concluye que los factores serán las sumas horizontales.

Ejemplo Ilustrativo:

Factorizar: Ejemplo de Factorización por Aspa Doble Especial

Resolución:

Para factorizar este tipo de polinomios (4to grado), es necesario que este completo y ordenado en forma descendente de acuerdo al grado de la variable, y si verificamos para este problema ya esta ordenado Luego descomponemos los extremos y realizamos un aspa simple: Es decir:

Uso de Factorizacion por Aspa Doble Especial

Entonces ahora realizamos una diferencia entre el término cuadrático del polinomio a factorizar, con el resultado obtenido en el aspa simple.

Es decir: 9x2 – (5x2) = 4x2

Ahora con este resultado tienes que formar un nuevo polinomio, de manera que reemplazaras al término cuadrático (9x2) por el resultado de la diferencia (4x2). Polinomio de Factorizacion por Aspa Doble Especial Bien, ahora lo que haremos es realizar un aspa simple con los tres primeros términos y luego con los tres últimos términos. Terminos de Factorizacion por Aspa Doble Especial Bien, ahora reproducimos los factores en forma horizontal de la siguiente manera: Factores en Forma Horizontal Para terminar el factor “x2 + 4x + 3”, aún es factorizable por aspa simple. Factorizando Aspa Simple

Ejemplos de Factorización por Aspa Doble Especial

Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Doble Especial:

Ejemplo: 01
Factorizar y dar un coeficiente cuadrático la suma de los coeficientes lineales de los factores primos: Ejemplos de Factorización por Aspa Doble Especial Ahora veremos algunos ejemplos del método de Aspa Doble Especial: Ejemplo: 01 Factorizar y dar un coeficiente cuadrático la suma de los coeficientes lineales de los factores primos: Resolución:

Aplicando el aspa simple inicial: Resolucion de Factorizacion por Aspa Doble Especial Luego formando el nuevo polinomio con: 21x2 – 13x2 = 8x2 Proceso de Factorizacion por Aspa Doble Especial Entonces obtenemos los factores primos: Factores Primos Aspa Doble Especial Nos pide hallar la suma de los coeficientes lineales:

Ejemplo: 02

Indicar el número de factores primos de: Ejemplo 2 Factores Primos Aspa Doble Especial

Resolución:

Será necesario completar el polinomio: Resolucion 2 de Factorizacion por Aspa Doble Especial Aplicando el aspa simple inicial: Aplicando el Aspa Simple Inicial Luego formando el nuevo polinomio con: –5x4 – (– 4x4)= –x4 Procedimiento 2 de Factorizacion por Aspa Doble Especial Entonces obtenemos los factores: Ejemplo 2 Factor Primos Aspa Doble Especial Luego factorización por el criterio de identidades (Identidad de Argand): Identidad de Argand Nos pide el número de factores primos: Respuesta 2 de Factorizacion por Aspa Doble Especial

Ejemplo: 03

Factorizar y dar la suma de factores primos lineales. Factores Primos Lineales

Resolución:

Aplicando el aspa simple inicial: Aspa Simple Inicial Luego formando el nuevo polinomio con: x2 – 4x2 = –3x2 Procedimiento 3 Factor Primos Aspa Doble Especial Entonces obtenemos los siguientes factores: Ejercicio 3 de Factores Primos Lineales Luego factorización por el criterio de identidades (Identidad de Argand): Nos pide hallar la suma de factores lineales: Respuesta 3 de Factorizacion por Aspa Doble Especial

Factorización por Divisores Binomios

Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.

Cero de un polinomio:

El valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a un polinomio dado. Ejemplo: Sea el siguiente polinomio: Ejemplo de Factorizacion de Divisores Binomios Se anula, entonces: 2 será un cero de F(x). Determinación de posibles ceros de un polinomio: Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo. Si así tenemos: Determinación de posibles ceros de un polinomio

Sus posibles ceros estarán dados por los divisores de su Término Independiente que en este caso es 2: ±1, ±2 Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán expresados por: Propiedad de Determinación de posibles ceros de un polinomio Por ejemplo sea: Ejemplo de Determinación de posibles ceros de un polinomio

Procedimiento a Seguir para Factorizar:

  • Se determinan los ceros del polinomio.
  • Se deduce el factor que lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de divisibilidad algebraica: “Si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0. Entonces dicho polinomio tendrá un factor (x − a)”
  • El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general, se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que son más sencillos de factorizar).

Ejemplos de Factorización por Divisores Binomios

Ahora veremos algunos ejemplos del método de divisores binomicos:

Ejemplo: 01

Factorizar e indicar la suma de coeficientes del factor lineal en: Ejemplo de Factorizacion por Divisores Binomios

Resolución:

Calculo de los posibles ceros: ±1; ±2; ±7; ±14 Probamos: x = −2, entonces tenemos:

Se anula, entonces tendrá un factor (x + 2). Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini: Tabla de Resolucion de Factorizacion por Divisores Binomios Entonces tenemos los siguientes factores: Resultado de Factorizacion por Divisores Binomios Nos pide la suma de coeficientes del factor lineal: Respuesta de Factorizacion por Divisores Binomios

Ejemplo: 02

Hallar el factor primo lineal en: Ejemplo 2 de Factorizacion por Divisores Binomios

Resolución:

Cálculo de los posibles ceros: ±1; ±3 Probamos: x = −1, entonces tenemos: Resolucion 2 de Factorizacion por Divisores Binomios Se anula, entonces tendrá un factor: (x + 1) Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini: Factor por la Regla de Ruffini Entonces tenemos los siguientes factores: Problema 2 de Factorizacion por Divisores Binomios Nos pide hallar el factor lineal: Respuesta 2 de Factorizacion por Divisores Binomios

Ejemplo: 03

Indicar el factor cuadrático en: Ejemplo 3 Factor Cuadratico

Resolución:

Calculo de los posibles ceros: ±1; ±2; ±3; ±6 Probamos: x = 2, entonces tenemos: Proceso de resolucion 3 Factor Cuadratico Se anula, entonces tendrá un factor: (x − 2) Determinamos el otro factor por la regla de Ruffini: Ejemplo de Factor por la Regla de Ruffini Entonces tenemos los siguientes factores: Resolucion 3 de Factores Nos pide el factor cuadrático será: Respuesta 3 Factor Cuadratico

Ejercicios de Factorización de Polinomios

En esta sección te compartiremos varios problemas de factorización de polinomios resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Factorización de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 28 problemas resueltos de factorización de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Factorización de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 58 problemas del factorización de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Factorización de Polinomios para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de factorización de polinomios para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos tres fichas educativas sobre los temas de factorización por factor común, agrupación de términos, aspa simple y diferencia de cuadrados para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos dos fichas educativas sobre los temas de criterios para factorizar y factorizacion por identidades para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

En esta parte te compartiremos dos fichas educativas sobre los temas de criterios de factorización para 3er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

En esta sección te brindaremos un material  educativo de criterios de factorización para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos el enlace de un recurso educativo de factorización para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Otros Temas Relacionados

Logaritmos
Progresiones
Funciones
Relaciones
Matrices y Determinantes
Binomio de Newton

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba