PROBABILIDADES

Aquí te compartiremos todas las conceptos, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Probabilidades puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a las Probabilidades

Muchas veces escuchamos expresiones como: “ha estudiado mucho es muy probable que ingrese a la universidad”, “el cielo está despejado es poco probable que llueva”, etc. Frecuentemente el término probabilidad se usa para indicar duda o incertidumbre sobre lo que ocurrirá. La práctica demuestra que existen acontecimientos que no se pueden predecir, sin embargo si es posible estimar el probable resultado.

Probabilidades

Es, sin duda, más probable obtener una bola blanca; ya que en la caja hay más bolas blancas que rojas. Para este ejemplo, que no es muy complicado, se deduce que la probabilidad de sacar una bola blanca es 4/5.; mientras que la probabilidad de sacar una bola roja es sólo 1/5, ¿pero cómo obtenemos estos resultados?; o más aún ¿qué significan? Precisamente en esta parte explicaremos todo ello.

Experimento Determinístico

Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible.

Ejemplo:

Experimento Determinístico

Al lanzar el dado se obtiene como único resultado probable 1 punto.

Experimento Aleatorio

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba, ya que consta con más de un resultado posible.

Ejemplo:

No podemos predecir qué resultado saldrá ya que podría ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos.

Experimento Muestral

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo:

Experimento aleatorio:    “Lanzamiento de un dado”.

Espacio muestral:

Experimento Muestral

Número de elementos del espacio muestral:

Elentos de Experimento Muestral

Evento o Suceso

Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas).

Ejemplo:

Experimento aleatorio: “Lanzar un dado”

Evento: “Obtener un puntaje impar”

Evento o Suceso

Definición de Probabilidad

Si “A” es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota por P(A) y está dado por la relación.

 

Definición de Probabilidad

Ejemplo 01:

Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar?

Solución:

Experimento aleatorio: “Lanzar un dado”

Espacio muestral:

Ejemplo 1 de Probabilidad

Evento: “Obtener un puntaje impar”

Ejercicio 1 de Probabilidad

Luego:

Respuesta Ejercicio 1 de Probabilidad

Ejemplo 02:

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello?

Solución:

Al lanzar dos monedas los posibles resultados son:

Ejemplo 2 de Probabilidad

Espacio muestral:

Proceso Ejemplo 2 de Probabilidad

Suceso:

Resolucion Ejemplo 2 de Probabilidad

Luego:

Respuesta Ejemplo 2 de Probabilidad

Ejemplo 03:

Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en total?

Solución:

Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema:

Ejemplo 3 de Probabilidad

Casos totales:

Ejercicio 3 de Probabilidad

Casos a favor:

Proceso Ejercicio 3 de Probabilidad

Luego:

Respuesta Ejercicio 3 de Probabilidad

Ejemplo 04:

Una caja contiene 4 esferas azules y 5 esferas rojas:

I. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una esfera, esta sea azul?
II. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas?
III. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 5 esferas, dos sean azules y 3 rojas?

Solución:

I. Probabilidad de que al extraer una esfera sea azul:

Ejemplo 4 de Probabilidad

Como al extraer una esfera se quiere que sea azul:

  • Número de casos a favor = 4     (porque hay 4 azules)
  • Número de casos totales = 9      (porque hay 9 esferas en total)

Por lo tanto:

Ejercicio 4 de Probabilidad

II. Probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean rojas:

Proceso 4 de Probabilidad

Si denotamos a las esferas como:

Resolucion Proceso 4 de Probabilidad

Casos a favor:

Conclusion Proceso 4 de Probabilidad

Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemos formar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso a favor, luego:

N° de casos a favor:

Problema Ejercicio 4 de Probabilidad

Al extraer dos esferas podría salir cualquier de los grupos de 2 que podemos formar con las 9 esferas:

Casos totales:

Problema 4 de Probabilidad

N° de casos totales:

Ejercicio Problema 4 de Probabilidad

Por lo tanto:

Conclusion Problema 4 de Probabilidad

III. Probabilidad de que al extraer 5 esferas, 2 sean azules y 3 rojas.

Probabilidad 4 de Probabilidad

Análogamente se deduce:

N° de casos totales:

Resolucion 4 de Probabilidad

N° de casos a favor:

Conclusion 4 de Probabilidad

Por lo tanto:

Respuesta 4 de Probabilidad

Propiedades de las Probabilidades

Si “A” es un evento definido en Ω, entonces:

Propiedades de las Probabilidades

Cuando: P(A) = 0, se dice que A es un evento imposible; porque nunca va a ocurrir.

Ejemplo:

  • Evento A: “Obtener un puntaje mayor que 7 en el lanzamiento de un dado”.

Cuando: P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro; porque siempre ocurre.

Ejemplo:

  • Evento A: “Obtener un puntaje menor que 7 al lanzar un dado”

Probabilidad por complemento

Si “A” es un evento definido en el espacio muestral Ω, entonces:

Probabilidad por complemento

Donde:

  • P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A.
  • P(A’): Probabilidad de que no ocurra el evento A.

Ejemplo 05:

Calcular la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas.

Resolución:

Ejemplo 5 de Probabilidad

Por lo tanto:

Proceso Ejemplo 5 de Probabilidad

Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos una cara es no obtener ninguna cara (puros sellos). Hallemos la probabilidad de obtener puros sellos.

Luego:

Resolucion Ejemplo 5 de Probabilidad

Entonces:

Respuesta Ejemplo 5 de Probabilidad

La probabilidad de obtener al menos una cara es 7/8

Ejemplo 06:

Las probabilidades que tienen Juan y María de resolver un mismo problema son 1/3 y 2/5 respectivamente. Si ambos intentan hacerlo, señale la probabilidad de que el problema sea resuelto.

Resolución:

Aplicando la propiedad por complemento

  • Probabilidad de que Juan resuelva: 1/3

—> Probabilidad de que no resuelva: 1 – 1/3 = 2/3

  • Probabilidad de que María resuelva: 2/5

—> Probabilidad de que no resuelva: 1 – 2/5 = 3/5

Como:

Ejemplo 6 de Probabilidad

Por lo tanto:

Respuesta Ejemplo 6 de Probabilidad

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple:

Eventos mutuamente excluyentes

Donde:

P(A o B): Probabilidad de que ocurra A o B

Eventos independientes

Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple:

Eventos independientes

Donde:

P(A y B): Probabilidad de que ocurra A y B.

Ejemplo 07:

Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja.

Resolución:

Del enunciado:

Ejemplo 7 de Probabilidad

Como no es posible que la bola sea azul y roja a la vez (eventos mutuamente excluyentes), entonces:

Respuesta Ejemplo 7 de Probabilidad

Ejemplo 08:

Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda, y un puntaje impar mayor que 2 al lanzar un dado.

Resolución:

Sabemos que al lanzar una moneda:

Ejemplo 8 de Probabilidad

Como al lanzar un dado los posibles resultados son:

Proceso Ejemplo 8 de Probabilidad

Los casos a favor son:

Ejercicio 8 de Probabilidad

Luego:

Respuesta Ejercicio 8 de Probabilidad

Como obtener sello en la moneda no afecta a que se obtenga un puntaje impar mayor que 2 en el dado, entonces:

Conclusion Ejercicio 8 de Probabilidad

Nota:

Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir pueden ocurrir a la vez:

Nota Ejercicio 8 de Probabilidad

Ejemplo 09:

La probabilidad de que Angélica estudie RM es 0,75 y la probabilidad de que estudie RV es 0,50. Si la probabilidad de que estudie RM o RV es 0,85, ¿cuál es la probabilidad de que estudie ambos a la vez?

Resolución:

Como Angélica puede estudiar RM y RV a la vez, los eventos “estudiar RM” y “estudiar RV” no son mutuamente excluyentes, entonces:

Ejemplo 9 de Probabilidad

La probabilidad de que estudie ambos cursos a la vez es 0,40.

Nota:

Cuando dos sucesos A y B no son independientes:

Proceso Ejemplo 9 de Probabilidad

Donde:

P(B/A): Probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurrió el suceso A.

Ejemplo 10:

En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas de rojo y el resto de blanco. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color rojo.

Resolución:

Del enunciado:

Ejemplo 10 de Probabilidad

Nos piden:

Proceso Ejemplo 10 de Probabilidad

Entonces tenemos:

Respuesta Ejemplo 10 de Probabilidad

Ejemplo 11:

Se han vendido 100 boletos de rifa numerados del 001 al 100. Si el número ganador ha resultado par, ¿cuál es la probabilidad de que sea premiada una persona que ha comprado los números 020, 021 y 022?

Resolución:

Se nos dice calcular la probabilidad que gane, sabiendo que el número ganador fue par.

Utilizando:

Ejemplo 11 de Probabilidad

Tenemos:

  • Casos totales:

No son todos los resultados posibles, si no sólo aquellos boletos cuya numeración es par; es decir:

Casos Totales

  • Casos favorables:

Son todos los boletos que compró la persona; pero que se encuentran en los casos totales; es decir los pares:

Casos favorables

Por lo tanto:

Respuesta Ejemplo 11 de Probabilidad

Ejemplos de Probabilidades

Ahora veremos algunos ejemplos de probabilidades.

Ejemplo 01:

Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar.

Resolución:

Experimento aleatorio: lanzar un dado

Espacio muestral:

Ejemplo 1 de Probabilidades

Casos favorables:

Proceso Ejemplo 1 de Probabilidades

Por lo tanto tendríamos:

Respuesta Ejemplo 1 de Probabilidades

Ejemplo 02:

Al abrir un folleto de 100 páginas, calcular la probabilidad que al observar ésta página no termine en cero.

Resolución:

Tenemos lo siguiente:

Ejemplo 2 de Probabilidades

Determinamos las páginas que termina en cero (A):

Resolucion Ejemplo 2 de Probabilidades

Entonces:

Respuesta Ejemplo 2 de Probabilidades

Ejemplo 03:

Se lanzan dos dados al aire simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos?

Resolución:

Tenemos lo siguiente:

Ejemplo 3 de Probabilidades

Por lo tanto tendríamos:

Respuesta 3 de Probabilidades

Ejemplo 04:

En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola sea de color verde o azul?

Resolución:

Total de bolas:

Ejemplo 4 de Probabilidades

Verde ó azul:

Resolucion Ejemplo 4 de Probabilidades

Entonces tenemos lo siguiente:

Respuesta Ejemplo 4 de Probabilidades

Ejercicios de Probabilidades

En esta sección te compartiremos varios problemas de probabilidades resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Probabilidades

Aquí te compartiremos un documento que contiene 08 problemas resueltos de probabilidades, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Probabilidades

Aquí te compartiremos un documento que contiene 104 problemas para resolver de Probabilidades, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Probabilidades para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de probabilidades para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de probabilidades de sucesos equiprobables para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos un material educativo del tema de actividades de probabilidades para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

En el tercer grado de secundaria te compartiremos la ficha de problemas con probabilidades que esta relaciona con el tema de problemas con probabilidades:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de ejercicios de probabilidades que esta relaciona con el tema de probabilidades:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

En el quinto grado de secundaria te compartiremos la ficha de probabilidades que te serán de mucha ayuda:

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