PORCENTAJES

Aquí te compartiremos todas las conceptos, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Edades puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Tanto por Cuanto

Es la relación de comparación entre dos cantidades, es decir, al dividir una cantidad en b partes iguales, podemos tomar a de estas partes y representarlo gráficamente así:

Tanto por Cuanto

Esta gráfica llevándola a una expresión matemática se representará por:

Ejercicio Tanto por Cuanto

El “a por b” de una cantidad significa que tomamos a partes de un total de b partes iguales en que fue dividida la cantidad, donde b es entero positivo y a es racional.

Para mejor entendimiento plasmaremos lo dicho en el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Un comerciante de útiles escolares acostumbra agrupar sus productos de 9 en 9, de modo que en cada grupo de 9 haya 2 libros y 7 lápices, como se muestra en el siguiente gráfico:

Ejemplo Tanto por Cuanto

Analizando en un grupo de 9 útiles escolares diremos:

  • 2 de cada 9 útiles escolares son libros
  • El 2 por 9 del total de útiles son libros y visto como fracción, significa que 2/9 del total de útiles son libros.

Luego, se deduce que el: 2 por 9 <> 2/9

Observación:

El 2 por 5 de una cantidad equivale a 2/5 de dicha cantidad, es decir, dividimos la cantidad en 5 partes iguales y tomamos 2 de esas partes.

Es decir: el 2 por 5 de C = 2/5C

Entonces al comparar una cantidad respecto con otra, podemos expresar el resultado de esa comparación como una fracción.

Ahora consideremos una regla dividida en 8 partes iguales, de la cual se va a tomar 3 de aquellas partes.

Proceso Ejemplo Tanto por Cuanto

Las 3 partes tomadas equivalen al 3 por 8 del total.

Por lo tanto el 3 por 8 <> 3/8

También podemos sostener:

  • El 5 por 40 <> 5/40
  • El 30 por 80 <> 30/80
  • El 25 por 70 <> 25/70
  • El 20 por 100 <> 20/100

EJEMPLOS:

Calcular los siguientes valores

Proceso Ejercicio Tanto por Cuanto

Tanto por Ciento

En particular, si dividimos a una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto número m de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto por ciento, luego:

Tanto por Ciento

Las m partes tomadas equivalen al m por 100 del total o al m por ciento del total, es decir, los m/100 del total.

El m por ciento es igual a m/100

Ejemplo Tanto por Ciento

Entonces podemos afirmar lo siguiente:

  • El 3% < > 3/100 < > 0,03
  • El 32% < > 32/100 < > 8/25 < > 0,32
  • El 20% < > 20/100 < > 1/5 < > 0,2
  • El 200% < > 200/100 < > 2

Como podemos apreciar, un tanto por ciento se puede ser expresar como un número racional positivo, es decir, todo tanto por ciento tiene su equivalente que puede un número fraccionario, un número decimal o un número entero.

En General:

Un tanto por ciento tiene su equivalente con un número racional positivo y viceversa.

Veamos otro ejemplo: el 300% < > 300/100 < > 3

Esto significa que el 300% de una cantidad es equivalente al triple de la cantidad, es decir, 300% C = 3 C

Ahora conozcamos más equivalencias:

  • 1% < > 1/100 < > 0,01
  • 5% < > 5/100 < > 1/20 < > 0,05
  • 25% < > 25/100 < > 1/4 < > 0,25

—> La unidad que representa el total está dado por la expresión:

Unidad Tanto por Ciento

Observación:

Cuando decimos el 100% de una cantidad C, significa que dividimos a la cantidad en 100 partes iguales y que tomamos 100 partes. Es decir, tomamos a C en su totalidad.

Observacion Tanto por Ciento

Por lo tanto, toda cantidad representa el 100% de sí misma

Veamos ahora, cómo podemos conseguir el equivalente en tanto por ciento de un número positivo cualquiera.

Para responder recordemos que si multiplicamos un número por 1 se obtiene el mismo número, pero sabemos que 1 < > 100

Entonces para expresar un número cualquiera en tanto por ciento, se multiplica al número por 100%

Por ejemplo:

  • 2/5 < > 2/5 x 100% < > 40%
  • 1/8 < > 1/8 x 100% < > 12,5%
  • 0,42 < > 0, 42 x 100% < > 42%
  • 0,08 < > 0,08 x 100% < > 8%
  • 0,18 < > 0,18 x 100% < > 18%

Conversión de Tanto por Ciento a Fracción o Decimal

  • 20% = 20/100 = 2/10 = 0,2
  • 30% = 30/100 = 3/10 = 0,3
  • 500% = 500/100 = 5

Conversión de Fracción o Decimal a Tanto por Ciento

  • 0,45 = 45/100 = 45%
  • 0,03 = 3/100 = 3%
  • 3/2 = 3/2%(100) = 150%
  • 5 = 5(100%) = 500%

Porcentajes

  • Se denomina porcentaje al resultado que se obtiene de calcular el tanto por ciento de una cantidad.
  • Se debe tener en cuenta que para la aplicación en problemas de porcentajes, las palabras “de” y “del” significan multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.

Ejemplos:

  • El 20% de 800 es 160

Ejemplo Porcentajes

  • El 10% del 30% del 50% de 50000 será:

Ejercicio Porcentajes

Operaciones con porcentajes

Como se vio en la definición el «x por ciento de C» equivale a decir x.C/100; luego calcular un porcentaje de una cantidad dada significa sencillamente multiplicarla por el factor en cuestión y el resultado dividirlo por 100:

  • El 2,8% de 98 es 2.8(98)/100 = 2.744
  • 30% de A + 20% de A = 50% de A
  • 40% de B – 10% de B = 30% de B
  • X + 60% de X = 160% de X

Ejemplos de Porcentajes

Ahora veremos algunos ejemplos de porcentajes.

Ejemplo 01:

Calcular el 3/5% de 2500.

Solución:

De acuerdo al enunciado, tenemos:

Ejemplos de Porcentajes

Ejemplo 02:

Calcular el 30% del 40% de los 5/3% de 800000

Solución:

Del enunciado:

Ejemplo 2 de Porcentajes

Ejemplo 03:

Que porcentaje del 20% del 30% del 10% de 40/3 es el 8% de 0,2% de 10.

Solución:

Utilizaremos:

Ejemplo 3 de Porcentajes

Del enunciado:

Solucion Ejemplo 3 de Porcentajes

Operando se obtiene:

Respuesta Ejemplo 3 de Porcentajes

Ejemplo 04:

En una reunión hay 10 chinos, 15 gringos y 25 mestizos. ¿Qué porcentaje representan los chinos respecto a los gringos y mestizos?

Solución:

Aplicaremos la siguiente formula:

Ejemplo 4 de Porcentajes

Lo anterior se traduciría como:

Ejercicio 4 de Porcentajes

Reemplazamos los valores que tenemos:

Formula Ejercicio 4 de Porcentajes

Operando se obtiene:

respuesta Ejercicio 4 de Porcentajes

Ejemplo 05:

Entre tu dinero y el mío tendríamos S/. 1800, pero si hubieras recibido el 40% menos tendrías lo que yo tendría si recibiera 25% menos, ¿Cuánto dinero tienes tú?

Solución:

Como ambos tenemos S/. 1 800, podemos suponer que en dinero tenemos:

  • Yo tengo: 1800 – x
  • Tú tienes: x

“Si tú hubieras recibido el 40% menos, entonces recibiste el 60% de que tú tienes”. Es decir:

Ejercicio 5 de Porcentajes

“Si yo recibiera 25% menos, entonces recibiría 75% de lo que yo tengo”. En consecuencia, podemos escribir:

Ejemplo 5 de Porcentajes

Del enunciado, planteamos:

Planteo Ejemplo 5 de Porcentajes

Simplificando:

Simplificando Ejemplo 5 de Porcentajes

Luego, tú tienes:

Respuesta Ejemplo 5 de Porcentajes

Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

El tanto por ciento es muy utilizado en las operaciones comerciales, por ejemplo en el banco, en las tasas de interés activo y pasivo, cuando el banco otorga préstamos o cuando recibe dinero en depósito.

También cuando se realiza compra y venta de artículos, se utiliza el tanto por ciento, por ejemplo para indicar el descuento, la ganancia o la pérdida.

Para resolver problemas de porcentajes relativos a las ventas, debemos tener presente lo siguiente:

Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Sea:

Formula Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Observando el gráfico podemos decir que:

Observacion Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Ejemplo 01:

Un artículo que costó 600 soles se vendió haciendo un descuento del 20% y aún así se ganó el 30%. Hallar el precio fijado.

Solución:

  • Pcosto = 600
  • Descuento = 2%(600) = 120
  • Gano = 30%(600)= 180

Ejercicio 1 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Ahora reemplazamos los valores que tenemos:

Respuesta Ejercicio 1 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Ejemplo 02:

Jhon vendió un televisor en 8600 soles, ganando el 25% del 30% del precio de costo más el 15% del 20% del precio de venta. ¿Cuál fue el costo del artículo?

Solución:

Tomamos en cuenta los siguientes datos:

  • Pv = 8600
  • G = 25% x 30%(Pc) + 15% x 20%(8600)
  • G: Ganancia

Utilizando:

Ejercicio 2 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Reemplazando:

Proceso Ejercicio 2 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

El precio de costo del artículo:

Respuesta Ejercicio 2 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Ejemplo 03:

Un artículo cuyo precio de costo es S/. 2 100 se vende ganando el 30% del precio de venta. ¿A qué precio se vendió?

Solución

Tomamos en cuenta los siguientes datos:

  • Pc = 2100
  • Ganancia = 30%Pv

Como el problema nos habla de ganancia, reemplazaremos a través de la siguiente fórmula:

Ejercicio 3 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Reemplazamos los valores que tenemos:

Solucion Ejercicio 3 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Como:

Proceso Ejercicio 3 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Reemplazando:

Resolucion Ejercicio 3 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

El precio de venta del artículo:

Respuesta Ejercicio 3 Aplicaciones Mercantiles en Porcentaje

Descuentos, Aumentos Sucesivos y Variaciones Porcentuales

Ejemplo:

Una persona desea comprar un parapente, para lo cual se dirige a la tienda y al llegar encuentra la siguiente oferta:

Descuentos, Aumentos Sucesivos y Variaciones Porcentuales

Observación:

No vaya a pensar que el descuento del 30% más el 40% equivale al descuento del 70% porque NO ES ASÍ.  Es decir, que primero descontamos el 30% al precio inicial, luego en forma sucesiva, se le aplica el segundo descuento del 40%, pero este descuento se aplica a lo que ha quedado del primer descuento, es decir al 70% del precio inicial.

Veamos:

Sea el precio inicial: P

1er. descuento (30%): 30% P

Monto que queda: 70%P

2do. descuento (40%):    40%(70%P)

Ejemplo Descuentos, Aumentos Sucesivos y Variaciones Porcentuales

El descuento total es:

Ejercicio Descuentos, Aumentos Sucesivos y Variaciones Porcentuales

Aumentos y Descuentos Sucesivos

Fórmula para dos aumentos sucesivos del  A1% y A2%:

Aumentos y Descuentos Sucesivos

Fórmula para dos descuentos sucesivos del D1% y D2%:

Formula Aumentos y Descuentos Sucesivos

Ejemplo 01:

Dos aumentos sucesivos del 35% y 20% equivalen a un aumento único de:

Solución:
  • En el primero aumento 35%, entonces tendré
  • En el segundo aumento , entonces tendré de lo que me quedó del primero.

Al final tendré:

Ejemplo Aumentos y Descuentos Sucesivos

Aumento único:

Respuesta Ejemplo Aumentos y Descuentos Sucesivos

Otra Manera de Resolver

Aplicamos la fórmula:

Ejemplo 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Datos:

  • A1 = 35
  • A2 = 20

Reemplazando en la fórmula:

Respuesta Ejemplo 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Ejemplo 02:

Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un descuento único del:

Solución:
  • En el primero se descontó 20%, entonces queda 80%.
  • En el segundo se descontó 30%, entonces queda 70% de lo que me quedó del primero.

Lo que me quedará será:

Ejercicio 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Descuento único:

Respuesta Ejercicio 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Otra Manera de Resolver

Aplicamos la fórmula:

Formula 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Datos:

  • D1 = 20
  • D2 = 30

Reemplazando:

Respuesta Formula 2 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Ejemplo 03:

Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 50% equivale a uno del:

Solución:

En problemas de más de dos descuentos sucesivos, vamos a resolverlos utilizando el siguiente artificio:

Descuentos sucesivos:   20%,     30%  y  50%

Al hacer estos descuentos, quedarían sucesiva y respectivamente los siguientes porcentajes:

80%,  70%  y  50%

Expresandolo convenientemente:

Quedaría:

Ejercicio 3 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Por lo tanto, descuento único:

Respuesta Ejercicio 3 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Ejemplo 04:

Mario después de varios descuentos sucesivos le vende su televisor a Carlos en S/.500, si los descuentos fueron del 5%, 10% y 20%. ¿Cuál fue el precio del televisor antes de los descuentos?

Solución:

Descuentos sucesivos:   5%,      10%  y  20%

Al hacer estos descuentos, quedarían sucesiva y respectivamente los siguientes porcentajes:

95%,  90%  y  80%

Expresandolo convenientemente:

Quedaría:

Ejercicio 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Así, el descuento único:

Proceso Ejercicio 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Como:

Solucion Ejercicio 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Sea

PLista: El precio que tenía el televisor antes de los descuentos.

Reemplazando:

Conclusion Ejercicio 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Luego, el precio del televisor antes de los descuentos fue de:

Respuesta Ejercicio 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Ejemplo 04:

El sueldo de un empleado eficiente se ve incrementado en tres periodos mediante aumentos sucesivos del 10%, 10% y 10%. Si su sueldo inicialmente fue de S/.1 000, ¿cuál será su sueldo después de efectuarse los tres aumentos?

Solución:

Aumentos sucesivos: 10%,         10%  y  10%

Al hacer estos aumentos,  implicaría obtener sucesiva y respectivamente los siguientes porcentajes:

110%,  110%  y  110%

Expresandolo convenientemente:

Obtendría:

Ejercicio 5 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Por lo tanto, el aumento único:

Ejemplo 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Se pide, cuanto es el sueldo actual (después de efectuar los aumentos sucesivos)

Sueldo actual es el 133,1% del sueldo inicial, es decir:

Resolucion Ejemplo 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Sueldo actual:

Respuesta Ejemplo 4 Aumentos y Descuentos Sucesivos

Variaciones Porcentuales

Las longitudes, áreas y volúmenes de las distintas figuras geométricas presentan variaciones porcentuales al variar uno o varios de sus elementos (radio, altura, etc.).

  • Si varían porcentualmente dos dimensiones de la figura geométrica en “a%” y “b%”, para hallar el valor de la variación porcentual del área, aplicamos la siguiente fórmula:

Variaciones Porcentuales

Si una dimensión varía incrementandose el signo que se toma es positivo, mientras que si disminuye el valor es negativo.

  • Cuando varía incrementandose un lado ó el arista de figuras geométricas regulares (triángulos equiláteros, cuadrados, rombos, etc., además del círculo), el incremento porcentual del área es:

Ejemplo Variaciones Porcentuales

Donde “c” es el valor porcentual que varía

  • Cuando varía disminuyendo un lado ó el arista de figuras geométricas regulares (triángulos equiláteros, cuadrados, rombos, etc., además del círculo), la disminución porcentual del área, es:

Ejercicio Variaciones Porcentuales

Donde “c” es el valor porcentual que varía

Ejemplo 01:

En que porcentaje varía el área de un triángulo, si se conoce que su base se incrementa en 30% y su altura disminuye en 30%

Solución:

En la fórmula del área de un triángulo:

Ejercicio 1 Variaciones Porcentuales

El número “2” del denominador es constante, por lo tanto para efectos del cálculo de la variación porcentual no se considera.

Por lo tanto, se puede pensar que la fórmula del área del triángulo es:

Proceso Ejercicio 1 Variaciones Porcentuales

Los valores para la nueva:

  • Altura: 70% h
  • Base: 130% b

El cálculo para la nueva área es:

Solucion Ejercicio 1 Variaciones Porcentuales

Utilizando el artificio:

Conclusion Ejercicio 1 Variaciones Porcentuales

Así, la variación del área del triángulo disminuye en:

Respuesta Ejercicio 1 Variaciones Porcentuales

Otra Manera de Resolver

Aplicaremos:

Ejemplo 1 Variaciones Porcentuales

Como, la base se incrementa en 30%:

Proceso 1 Variaciones Porcentuales

Y la altura se disminuye en  30%:

Ejemplo Proceso 1 Variaciones Porcentuales

Reemplazando en la fórmula:

Respuesta Ejemplo Proceso 1 Variaciones Porcentuales

Ejemplo 02:

En que porcentaje disminuye el área de un círculo, si su radio disminuye en 40%.

Solución:

En la fórmula del área de un círculo:

Ejemplo 2 Variaciones Porcentuales

El valor de “π” es un número constante, por lo tanto, para efectos de la resolución del problema no se considera.

En consecuencia, se puede pensar que la fórmula del área de un círculo es:

Resolucion Ejemplo 2 Variaciones Porcentuales

Si  “r” disminuye en 40%, entonces su nuevo valor será: 60% r

Calculando la nueva área del círculo este será:

Solucion Ejemplo 2 Variaciones Porcentuales

Aplicamos el siguiente artificio para expresar:

Conclusion Ejemplo 2 Variaciones Porcentuales

En consecuencia, el área ha disminuido:

Respuesta Ejemplo 2 Variaciones Porcentuales

Otra Manera de Resolver

Si el radio disminuye, entonces su área también disminuye, por lo tanto aplicaremos:

Ejemplo Manera 2 Variaciones Porcentuales

Disminuye “r” = 40%

Respuesta Ejemplo Manera 2 Variaciones Porcentuales

Ejercicios de Porcentajes

En esta sección te compartiremos varios problemas de porcentajes resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Porcentajes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 36 problemas resueltos de porcentajes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Porcentajes

Aquí te compartiremos un documento que contiene 91 problemas para resolver de porcentajes, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Porcentajes para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de porcentajes para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa de ejercicios con porcentajes para 6to grado de primaria que será de utilidad para sus alumnos, este es su enlace:

Porcentajes para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de porcentajes para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de porcentajes ejercicios para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos un material educativo del tema de actividades con porcentajes para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de ejercicios con porcentajes que te será de utilidad:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de porcentajes que estará a tu disposición para el reforzamiento de los estudiantes:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de problemas con porcentajes que serán de ayuda para tus alumnos:

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