Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Fracciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Definición de Fracción
La fracción a/b es un ente matemático que puede definirse como una pareja ordenada de números enteros que resuelve la ecuación b.x = a, donde b ≠ 0.
Notación:
A los términos de una fracción se les conocen como:
Nota:
Por la notación y la interpretación que se da a una fracción, muchos textos definen una fracción como:
“Fracción es el cociente indicado de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero”.
Clasificación de las Fracciones
Fracciones Propias:
Son aquellas fracciones en las cuales el numerador es menor que el denominador.
Ejemplo:
- Las fracciones propias son menores que la unidad.
- La interpretación de este tipo de fracciones es una relación entre la parte y el todo en la que se incluye esa parte.
Podemos usar gráficos para representar este tipo de fracciones. En cada ejemplo que damos a continuación, determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de la figura total.
Ejemplo 01:
- Cada cuadrado representa 1/7 del total.
- La parte sombreada, expresada en fracción representa los 3/7 del total.
Ejemplo 02:
- Cada sección representa 1/8 del área total.
- La sección sombreada representa los 5/8 del área total.
Ejemplo 03:
- Cada cubito representa 1/27 del volumen total.
- Los cubitos sombreados representan los 2/27 del volumen total.
Fracciones Impropias:
Se dice de aquellas fracciones en las que el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo:
- Toda fracción impropia es mayor que la unidad.
- Estas fracciones sólo pueden adoptar una interpretación como expresión de una medida.
En el ejemplo que damos a continuación determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de una de las figuras que se toma como unidad de medida.
Ejemplo:
- La fracción que representa el área sombreada es 10/7 respecto de la figura tomada como patrón de medida.
Número Mixto
Es una forma de representar una fracción impropia.
Ejemplos:
Nota:
¿Cómo leer un número mixto?
- El número mixto es la composición de un número entero y una fracción propia, es por esto, que se puede representar como:
Ejemplo:
Transformar una fracción impropia a número mixto
Ejemplo:
Transformemos 16/5 a número mixto
Transformar un número mixto a fracción impropia
Ejemplo:
Transformar tres enteros un quinto a una fracción
Fracciones Aparentes:
Dícese de las fracciones en las cuales tanto el numerador como el denominador son iguales.
Ejemplos:
- El valor de una fracción aparente es la unidad.
Fracciones Heterogéneas:
Diremos que el grupo de fracciones son heterogéneos, cuando sus denominadores son todos diferentes.
Ejemplo:
Fracciones Homogéneas:
Al grupo de fracciones les denominamos homogéneos, cuando sus denominadores son todos iguales.
Ejemplo:
Fracciones Equivalentes:
Dos fracciones o más fracciones son equivalentes, si éstas representan el mismo valor.
Ejemplo:
Como se observa, 5/8 y 10/16 representan el mismo valor, por lo tanto, estas fracciones son equivalentes.
Representación Algebraica de Fracciones Equivalentes
Sea “a/b” una fracción dada cualquiera.
Si queremos representar algebraicamente una fracción equivalente a “a/b”, se haría de la siguiente manera:
Donde: “k” es número entero k≠0
Nota
Si se desea obtener fracciones equivalentes a una fracción dada cualquiera, esto se puede lograr multiplicando al numerador y al denominador por un mismo número entero distinto de cero.
Fracción Irreductible:
Diremos que una fracción es irreductible o irreducible si el numerador y el denominador son primos entre sí (Pesi), es decir, ambos numerador y denominador, no poseen divisores comunes.
Ejemplos:
Fracción Reductible:
A la fracción en la que su numerador y denominador tienen divisores comunes, se le denominará “fracción reductible o reducible”.
Ejemplos:
Nota:
“De toda fracción reductible se puede obtener fracciones equivalentes irreductibles.” Esto se logra simplificando los factores comunes de ambos términos.
Ejemplo:
La fracción 18/66 es una fracción reductible
Pues, 18 y 66 poseen divisores propios comunes (2 y 3), por lo tanto, se podrá simplificar hasta llegar a una fracción equivalente irreductible.
Es decir:
Por lo tanto:
Fracción Inversa:
Dada una fracción cualquiera no nula. A toda fracción que al multiplicarla con la fracción dada resulte la unidad, se le denominará “fracción inversa”.
Una forma práctica de obtener una fracción inversa de la fracción dada, es simplemente invertir la fracción; esto es, el numerador pasa a ser el denominador y el denominador a ser el numerador. A esta fracción se le denomina como la fracción recíproca de la fracción inicial.
Ejemplo:
Dada la fracción
Una fracción inversa de dicha fracción es:
Fracciones Ordinarias o Fracciones Comunes:
A aquellas fracciones que sus denominadores no son potencias de 10 se las denominan “fracciones ordinarias o comunes”.
Ejemplos:
Fracciones ordinarias
Propiedades de las Fracciones Ordinarias:
- En un grupo de fracciones homogéneas (con iguales denominadores), el mayor es aquel que tiene mayor numerador.
Ejemplo 01:
De la sucesión:
La fracción mayor es:
- En un grupo de fracciones que tienen sus numeradores iguales, el mayor es aquel que tiene menor denominador.
Ejemplo 02:
De la sucesión:
La fracción mayor de los tres es:
- Si a los términos de una fracción propia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción resultante es mayor (o menor) que la fracción original.
Ejemplo 03:
Sea la fracción propia 5/12, agreguemos 2 al numerador y al denominador:
Se tiene:
- Si a los términos de una fracción impropia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción es menor (o es mayor) que la fracción original.
Ejemplo 04:
Sea la fracción impropia 11/6, restemos 3 al numerador y al denominador:
Tenemos que:
Fracciones Decimales:
Es toda fracción (o quebrado) que tiene por denominador potencias de 10.
Ejemplos:
Lectura de Fracciones Decimales
- 1/10 : un decimo
- 1/100 : un centesimo
- 1/1000 : un milesimo
Números Decimales
El número decimal es el resultado de efectuar la división con los términos de la fracción decimal.
Ejemplos:
Propiedades de los Números Decimales
Propiedad 01:
El valor de un número decimal no se altera escribiendo a la derecha cualquier número de ceros.
Ejemplo:
Propiedad 02:
Todo número natural puede considerarse como decimal, escribiendo a su derecha un punto seguido de cualquier número de ceros.
Ejemplo:
Propiedad 03:
Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la derecha, el número queda respectivamente multiplicado por .
Ejemplo:
Propiedad 04:
Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la izquierda, el número queda respectivamente multiplicado por .
Ejemplo:
Representar en su notación científica
A continuación presentamos la forma como se debe representa un número decimal en notación científica:
Si un número es múltiplo de 10
Se coloca el número entero que no tiene ceros a la derecha y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente igual al número de ceros de derecha del número.
Ejemplos:
- 10200 = 102 x 102
- 16000 = 16 x 103
- 10000 = 1 x 104
Si un número es decimal menor que 1
Se escribe el número entero de la parte decimal y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente negativo del número de cifras de la parte decimal.
Ejemplos:
- 0,2 = 2 x 10–1
- 0,12 = 12 x 10–2
Si un número es decimal mayor que 1
Se toma todo el número sin la coma y se le multiplica con la potencia de 10 elevado a la potencia negativa del número de cifras de la parte decimal.
Ejemplos:
- 1,2 = 12 x 10–1
- 2,25 = 225 x 10–2
- 3,4618 =34618 x 10–4
Fracción Generatriz
Es la expresión fraccionaria del número decimal.
Fracción Decimal Exacta:
Es aquel número decimal que posee un número limitado de dígitos en su parte decimal, el último de los cuales necesariamente es distinto de cero.
Ejemplos:
La Generatriz de una Fracción Decimal Exacta
Para hallar la fracción generatriz, se coloca en el númerador el número decimal sin considerar la coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
Ejemplo:
Hallar la fracción generatriz de
Fracción generatriz:
Nota:
Si la fracción que se forma es una fracción reducible, se procederá a simplificar para obtener una fracción irreductible.
Fracción Decimal Periódica Pura
Son aquellas fracciones decimales que en su parte decimal están formadas por bloques de dígitos que se repiten indefinidamente y periódicamente a partir del punto decimal.
Ejemplos:
Generatriz de un Decimal Periódico Puro
Para hallar la fracción generatriz, se toma como numerador la diferencia entre el número decimal (sin considerar la coma) y la parte entera; en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo.
Ejemplo 01:
Hallar la generatriz de:
Fracción generatriz:
Ejemplo 02:
Hallar la generatriz de:
Fracción generatriz:
Fracción Decimal Periódica Mixta
Son aquellas fracciones decimales que tienen cierto número de dígitos a la derecha del punto decimal, además de un número de cifras que se repiten periódica e indefinidamente.
Ejemplos:
Generatriz de un Decimal Periódico Mixto
Para hallar la fracción generatriz, se pone en el numerador la diferencia entre el número decimal sin considerar la coma y la parte no periódica y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Ejemplo 01:
Hallar la fracción generatriz de:
Fracción generatriz:
Ejemplo 02:
Hallar la generatriz de:
Fracción generatriz:
M.C.D. y M.C.M. de Fracciones
El M.C.D. de varias fracciones es igual al M.C.D. de los numeradores entre el M.C.M. de los denominadores.
Ejemplo 01:
Hallar el M.C.D. de:
Solución:
Tenemos lo siguiente:
El M.C.M. de varias fracciones es igual al M.C.M. de los numeradores entre el M.C.D. de los denominadores.
Ejemplo 02:
Hallar el M.C.M. de:
Solución:
Tenemos lo siguiente:
Ejemplos de Fracciones
Ahora veremos algunos ejemplos de fracciones.
Ejemplo 01:
Cuánto le falta a 2/3 para ser igual al cociente de 2/3 entre 3/4.
Solución:
Sea “x” el número pedido, del enunciado podemos establecer la siguiente ecuación:
Resolviendo:
Ejemplo 02:
Hallar lo que le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7.
Solución:
Sea “x” lo que le falta, del enunciado establezcamos la siguiente ecuación:
Resolviendo:
Ejemplo 03:
Al retirarse 14 personas de una reunión, se observa que ésta disminuye a sus 2/9 partes del número de personas que habian al inicio. ¿Cuántas personas quedaron?
Solución:
Sea “n” el número de personas al inicio, como se retiran 14 personas, éstas equivalen a decir que:
Resolviendo:
El número de personas que quedaron:
Ejemplo 04:
¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador?
Solución:
Sea “a/b” la fracción, del enunciado que dice: “Resulta triplicada si se agrega a sus dos términos, su denominador”, tenemos:
Resolviendo:
Identificando valores tenemos:
Luego, la fracción original es:
Ejemplo 05:
¿Cuánto debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21 para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14?
Solución:
Sea “x” lo que debemos quitar, de acuerdo al enunciado planteamos:
Reduciendo y resolviendo:
Ejemplo 06:
Una tela pierde al ser lavada 2/9 de su largo y 1/5 de su ancho. Cuántos metros de tela debencomprarse para obtener después de lavarla 224 m2, si el ancho de la tela original era de 10 m.
Solución:
Grafiquemos el problema:
Se sabe que el área de la tela después de lavada debe ser 224 m2, por lo tanto:
Resolviendo, tenemos:
Ejemplo 07:
Se tienen 15 botellas llenas de gaseosa cada una con capacidad de 4/3 de litro. Si se derraman los 3/5 de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan?
Solución:
La cantidad de gaseosa que se tiene en las 15 botellas es:
Si se derraman los 3/5 de las 15 botellas, quedan los 2/5 de 20 L, entonces quedarán:
Reducción a la Unidad (Rendimientos)
En este tipo de problemas, se homogeneiza lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personas a “un día“, “1 minuto”, etc., para poder solucionar el problema dado.
Por ejemplo, si nos dicen que: “una piscina es llenada por un caño en 8 horas”, entonces debemos considerar que en 1 hora la piscina tendra agua hasta 1/8 parte.
Ejemplo 01:
Un tanque puede ser llenado por un caño en 3 horas y por un segundo caño en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque, si los 2 caños funcionan abiertos simultáneamente?
Solución:
Homogeneicemos los datos:
En una hora, cada caño llena:
- 1er. caño: 1/3 del tanque
- 2do. caño: 1/4 del tanque
En una hora, ambos caños hacen:
Es decir:
El tanque completo lo hace en:
Ejemplo 02:
Ana hace un trabajo en 15 días y Mary lo hace en 30 días. ¿En cuánto tiempo harán dicho trabajo juntas?
Solución:
Sigamos los pasos anteriores, homogeneicemos los datos:
En un día, ¿qué parte del trabajo hacen?
- Ana: 1/15 del trabajo.
- Mary: 1/30 del trabajo
En un día, ambas chicas harán del trabajo
Es decir:
El trabajo completo lo harán:
Otro Método
Para este tipo de problema es recomendable aplicar la siguiente fórmula:
Donde:
- P: Parte de la tarea a desarrollar.
- t: Tiempo que tardan en hacer toda la tarea.
- t1, t2, t3, …, tn: Tiempos que demoran en hacer la tarea individualmente.
Apliquemos este método en el ejercicio anterior
Datos:
P = 1 (es todo el trabajo)
t = ?
Ana: t1 = 15 dias
Mary: t2 = 30 dias
Reemplazamos estos valores en la fórmula
Ejemplo 03:
Una piscina puede ser llenada por un primer caño en 5 horas y por un segundo caño en 8 horas. En cuántas horas se llenará el tanque completamente si ya posee agua hasta su séptima parte y funciona un tercer caño, el cual lo desagüa completamente en 4 horas (los 3 caños funcionan simultáneamente).
Solución:
Aplicando la fórmula:
Con “P” es la parte que falta llenar.
Si se llenó hasta 1/7, entonces faltarán:
- caño: t1 = 5 horas
- caño: t2 = 8 horas
- caño: t3 = 4 horas
Reemplazamos estos valores en la fórmula:
Rebotes
En este tema se debe tener en cuenta que una pelota, bola o esfera cae sobre una superficie plana y los rebotes se dan sobre un mismo punto.
Este gráfico lo representaremos de otra manera para su mejor entendimiento:
Ejemplo 01:
Se hace caer una pelota de ping pong sobre una mesa desde cierta altura, si se conoce que en cada rebote se eleva 2/5 de la altura anterior. Hallar la altura inicial si se conoce que en el tercer rebote alcanzó una altura de 16 cm.
Solución:
Para su mejor entendimiento, construiremos un gráfico, veamos:
H : Altura de donde se deja caer la pelota de ping pong
Según el enunciado y observando el gráfico, tenemos:
Reemplazamos ( I ) en ( II )
Reemplazamos ( IV ) en ( III )
Por dato: h3 = 16 cm, reemplazando en ( * )
Método Práctico
Si la fracción que se eleva en cada rebote es constante se puede utilizar la siguiente fórmula:
Donde:
- H: Altura inicial, de la cual se suelta o se tira la pelota.
- f: Fracción que se «eleva» en cada rebote.(Esta fracción es constante).
- n: Número de rebotes.
- hn: Altura que se eleva en el ené-simo rebote (altura final).
Aplicación: Para el problema anterior
Datos:
- H = ?
- f = 2/5
- n = 3
- hn = 16
Ahora aplicaremos la formula:
Reemplazando:
Efectuando:
Ejemplo 02:
Se deja caer una pelota desde una altura de 81 cm, si en cada rebote que da, alcanza una altura que es los 2/3 de la altura anterior. ¿Qué altura se elevará la pelota en el cuarto rebote?
Solución:
Tomamos los siguientes datos:
- H = 81 cm
- f = 2/3
- n = 4
- h4 = ?
Ahora aplicaremos la siguiente formula:
Reemplazando:
Efectuando:
Ejemplo 03:
Una bolita de caucho se deja caer desde cierta altura y en cada rebote pierde 2/5 de la altura anterior, si en el tercer rebote alcanzó una altura de 27 cm. ¿De qué altura se dejó caer la bolita de caucho inicialmente?
Solución:
En este problema se debe tener cuidado, porque en cada rebote pierde 2/5 de la altura anterior, esto significa que en cada rebote se elevará 3/5.
Tomamos los siguientes datos:
- H = ?
- f = 3/5
- n = 3
- h3 = 27
Ahora aplicaremos la siguiente formula:
Reemplazando:
Efectuando:
Distancia de la trayectoria recorrida hasta un determinado número de rebotes
Donde:
- H: Altura inicial
- n : Número de rebotes
- f : Fracción que se «eleva» en cada rebote
Ejemplo 04:
Una bolita de caucho se deja caer desde cierta altura y en cada rebote se eleva 3/5 de la altura anterior, si en el cuarto rebote alcanzó una altura de 81 cm. Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bolita de caucho desde que se dejó caer hasta chocar al suelo por cuarta vez.
Solución:
Hallando el valor de “H”, con los siguientes datos:
- H = ?
- f = 3/5
- n = 4
- h3 = 81
Ahora aplicaremos la siguiente formula:
Reemplazando:
Efectuando:
Aplicaremos la siguiente fórmula:
Reemplazando en ( I )
Distancia total recorrida hasta detenerse
Ejemplo 05:
En el problema anterior, ¿qué distancia recorrera la bolita de caucho hasta que ésta se detenga por completo?
Solución:
Aplicaremos la fórmula dada, con los siguientes datos:.
- H = 625
- F = 3/5
Fórmula:
Reemplazando:
Ejercicios de Fracciones
En esta sección te compartiremos varios problemas de fracciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Fracciones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 27 problemas resueltos de fracciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Fracciones
Aquí te compartiremos un documento que contiene 84 problemas para resolver de fracciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Fracciones para Primaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparten fichas de fracciones para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Cuarto Grado de Primaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa de fracciones equivalentes para 4to grado de primaria que es un tema de ayuda para sus alumnos, este es su enlace:
Fichas para Quinto Grado de Primaria
Aquí te compartiremos dos fichas educativas de fracciones para 5to grado de primaria que serán de mucha ayuda:
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa de fracciones y su clasificación para 6to grado de primaria que reforzara el conocimiento para sus estudiantes, este es su enlace:
Fracciones para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otros sitios web que comparte fichas de fracciones para estudiantes de secundaria, todos estas fichas educativas las podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de introducción a las fracciones para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un material educativo del tema de fracciones para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de representación de una fracción que te será de mucha ayuda:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un material educativo del tema de fracciones para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un material educativo del tema de problemas con fracciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
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