Aquí te compartiremos todas las conceptos, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Cronometría puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
Ángulos entre las Manecillas de un Reloj
Las posiciones de las manecillas de un reloj (horario y minutero) dependen una de la otra.
Análisis del recorrido de las agujas
Observación
Relación entre el Recorrido del Minutero y el Horario
Dada la siguiente relación:
Donde:
- M: Recorrido del minutero en minutos
- H: Recorrido del horario en minutos
Ejemplo:
Grafique la posición de las agujas y el ángulo recorrido por el horario, cuando son las 7:20
Para el análisis de los recorridos se inicia desde la hora exacta, en este caso, empezamos desde las 7:00, se observa que desde esa hora hasta la hora indicada han transcurrido 20 minutos, entonces el minutero ha hecho un recorrido de 20 minutos, mientras que el horario habrá barrido un ángulo de 10º.
A una determinada hora, las manecillas de un reloj forman dos ángulos: “α” y “θ” (ver figura); convencionalmente el que se calcula es el menor ángulo , pero si nos pidieran calcular el otro ángulo , bastaría con recordar que: “α + θ = 360°”.
Para calcular el ángulo que forman las manecillas de un reloj a una determinada hora o para calcular la hora conociendo el ángulo que forman las manecillas, debemos tomar como punto de partida la hora exacta más próxima, pero anterior a la hora indicada como dato.
Método Práctico para Calcular el Ángulo entre las Manecillas del Reloj
Cuando el Minutero se Encuentra antes que el Horario
Ejemplo:
¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10?
Solución:
Datos:
- H = 4
- m = 10
Reemplazando:
Evaluando:
Cuando el Horario se Encuentra antes que el Minutero
Ejemplo:
¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 4:40?
Solución:
Datos:
- H = 4
- m = 40
Reemplazando:
Evaluando:
Criterios a Tomar en Cuenta
Criterio 1:
Cuando sean las 12:20, el valor de H asumirá el valor de cero. (H = 0 y M = 20)
Criterio 2:
Si la hora es expresada en el formato de las 24 horas, ésta debe expresarse en notación de las 12 horas (su forma tradicional). Es decir, si son las 19:40 horas, por lo tanto: H = 7 y M = 40.
Criterio 3:
Si nos dicen que las manecillas del reloj se encuentran superpuestas, entonces el ángulo entre las manecillas (“α”) será cero (0º), podemos utilizar cualquiera de las dos fórmulas
Criterio 4:
Si nos indican que las manecillas están opuestas, entonces el valor de “α” es 180º.
Criterio 5:
Si nos piden hallar una determinada hora por primera vez, se considera que el minutero se encuentra antes que el horario, utilizaremos:
Criterio 6:
Si nos piden hallar una determinada hora por segunda vez, se considera que el horario se encuentra antes que el minutero, utilizaremos:
Ejemplos de Cronometría
Ahora veremos algunos ejemplos de cronometría.
Ejemplo 01:
¿Qué hora indica el reloj?
Solución:
Hacemos, un análisis haciendo unos trazos auxiliares e indicando algunos ángulos.
Del gráfico:
De ( I ) y ( II )
La hora será:
Ejemplo 02:
¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj a las 4:34?
Solución:
Datos:
El minutero adelanta al horario, aplicaremos:
Reemplazando:
Ejemplo 03:
¿A qué hora entre las 3 pm y las 4 pm, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 80º por primera vez?
Solución:
Datos:
Por el criterio 05:
Reemplazando:
La hora será:
Ejemplo 04:
¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj cuando sean 54 minutos antes que la 1:20 pm?
Solución:
54 minutos antes que la 1:00 p.m. será 12:06, por el criterio 01, el valor de H=0
Datos:
El horario se encuentra antes que el minutero, aplicaremos:
Reemplazando:
Ejemplo 05:
¿A qué hora entre las 13 y las 14 horas, las manecillas de un reloj se superponen?
Solución:
Si se superponen entonces el ángulo α = 0° y podemos utilizar cualquiera de las dos fórmulas.
Para emplear la fórmula se debe tener en cuenta que la hora debe estar expresada en su forma tradicional, entonces en vez de decir entre las 13:00 y las 14:00 horas diremos entre la 1:00 pm y las 2:00 pm
Datos:
Reemplazando:
Luego, la hora pedida:
Tiempo Transcurrido y Tiempo que falta Transcurrir
Para este tipo de problemas se emplean de manera práctica, los siguientes esquemas:
Ejemplo 01:
El tiempo que falta para las 11 a.m. dentro de 10 minutos es excedido en 6 minutos por los 3/5 del tiempo transcurrido del día. ¿Qué hora es?
Solución:
Del gráfico, tememos:
Despejando: x = 82 min
Se Pide:
Hora pedida:
Ejemplo 02:
Un alumno le dice a su amiga: “cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir te espero donde ya tú sabes”. ¿A qué hora es la cita?
Solución:
Del esquema:
Descomponiendo y resolviendo:
Despejando:
Tanteando adecuadamente, concluiremos que:
Luego serán las 21 horas, es decir las
Ejemplo 03:
Dentro de 4 h se verificará que el tiempo transcurrido del día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas. ¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual a la décima parte del ángulo que forman las agujas actualmente (sexagesimales)?
Solución:
Del enunciado, podemos construir el siguiente gráfico:
Según gráfico:
Resolviendo:
Luego, dentro de 4 horas serán las:
Por lo tanto, la hora exacta es las 14:00 horas o las 2:00 p.m. y el ángulo que forman las manecillas será:
Según el enunciado:
Hora pedida:
Problemas sobre Adelantos y Atrasos
Surgen como consecuencia del funcionamiento de aquellos relojes defectuosos (malogrados), los cuales registran adelantos o retrasos respecto a la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal.
Observación:
Para este tipo de problemas debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:
Para que un reloj vuelva a marcar la hora exacta sus manecillas deben estar en la misma posición, esto ocurrirá cuando el horario dé una vuelta completa, por ello tendrían que transcurrir 12 horas de adelanto o atraso (720 minutos).
Ejemplo 01:
A partir de las 10 a.m. de hoy lunes, un reloj empieza a atrasarse por cada hora, 3 minutos. ¿Qué hora estará marcando el día martes a las 6 pm?
Solución:
Se observa que han transcurrido 32 horas, entonces en todo este tiempo se habrá atrasado 32 x 3 = 96 minutos, o 1 hora y 36 minutos, por lo tanto, la hora que estará marcando el reloj será:
Observación:
Puedes utilizar la regla de tres para tener el atraso total:
Luego se tiene que:
Hora marcada = Hora real – Atraso Total
Hora marcada = 6:00 pm – 96 min
Ejemplo 02:
Un reloj se adelanta 1 min por hora, si empieza correctamente a las 12 del mediodía del día jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá el reloj a señalar la hora correcta?
Solución:
Luego la fecha pedida será:
Observación:
Si uno hace girar en cualquier sentido las manecillas hasta que el horario complete una vuelta, retornando a la posición en que se encontraba se verá que dicho reloj, continúa marcando la hora correcta.
Ejemplo 03:
Un reloj se adelanta 7 minutos cada hora y otro se atrasa 13 minutos cada hora, ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero estará alejado 30 minuos respecto al otro?
Solución:
El primer reloj se adelanta 7 minutos en 1 hora
El segundo reloj se atrasa 13 minutos en 1 hora
Entonces se puede concluir que en una hora los dos se alejarán: 7 + 13 = 20 min
Ejemplo 04:
Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas y otro se adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el mismo instante. A partir de este último momento, después de cuántos días volverán a marcar simultáneamente la hora correcta.
Solución:
Debemos encontrar un tiempo en que ambos se distorsionan 12 H o un múltiplo de 12 H, pero primero hallemos por separado el tiempo en que se adelantan o se atrasan 12 H o 720 min.
Primer reloj
Segundo reloj
Luego marcará la hora correcta cada 20 días y el otro cada 15 días; por lo tanto para que ambos coincidan en marcar la hora correcta, deberá transcurrir un tiempo común que contenga exactamente a 20 y 15, el cual será:
Nota:
Unl caso sería, que ambos relojes coincidan con la hora marcada y otro es que marquen ambos la hora correcta (que en algunos casos pueden coincidir)
Ejemplo 05:
Según una leyenda hace mucho tiempo existía un pueblo que el día lo dividía en 8 horas y cada hora en 80 minutos. Si ellos indicaban que eran las 5 horas con 30 minutos, ¿Qué hora sera realmente según un reloj actual?
Solución:
Luego:
Por regla de tres
Luego serán las:
Número de Campanadas en un Determinado Tiempo
Analizando para un reloj que indica la hora con igual número de campanadas.
Ejemplo 01:
Se tiene un reloj que indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 6:00 a.m. demoró 10 segundos, ¿cuánto se demorará para indicar que son las 11:00 a.m. del mismo día?
Solución:
Cuando el reloj indica las 6:00 a.m., ella toca 6 campanadas, por lo tanto, hay 5 intervalos y como se demora 10 segundos en tocar, cada intervalo de tiempo entre campanada y campanada es de 2 segundos, como se indica en la siguiente figura:
Ahora, para indicar las 11:00 a.m., debe tocar 11 campanadas, y por lo tanto hay 10 intervalos de tiempo, ver gráfico:
Y como cada intervalo de tiempo es de 2 segundos, en total se demorá en tocar 10(2)=20 s.
Método Abreviado
Aplicaremos:
- T1 : Tiempo que se mantendrá para dar C1 campanadas
- T2 : Tiempo que perdurará para dar C2 campanadas
- Te : El intervalo de tiempo entre campanada y campanada.
Aplicamos la fórmula en el problema anterior.
Datos:
- C1 = 6
- T1 = 10
- C2 = 11
- T2 = ?
Reemplazando en la fórmula:
Resolviendo:
Ejemplo 02:
Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos?
Solución:
Datos:
- T1 = 12
- C1 = 7
- T2 = 36
- C2 = ?
Reemplazando en la fórmula:
Resolviendo:
Ejercicios de Cronometría
En esta sección te compartiremos varios problemas de cronometría resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Cronometría
Aquí te compartiremos un documento que contiene 18 problemas resueltos de cronometría, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Cronometría
Aquí te compartiremos un documento que contiene 61 problemas para resolver de cronometría, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Cronometría para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de cronometría para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de problemas de cronometría para 3er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos un material educativo del tema de ejercicios de cronometría para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
En el quinto grado de secundaria te compartiremos la ficha de cronometría que esta relaciona con el tema de cronometría:
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