Aquí te compartiremos todas las conceptos, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué son los Ángulos?
Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice.
Notación:
Elementos:
- Vértice: O
- Lados: OA, OB
- Medida del Angulo: m∠AOB: α
Medida de un ángulo
Una característica del ángulo es su abertura, la cual relaciona la separación entre sus lados, de esta manera la abertura se constituye en objeto de medición.
Una de las unidades para medir ángulos es el grado sexagesimal ( ° ), unidad que se remonta a la época de los Babilonios y se obtiene de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales.
Salvo se indique lo contrario, cuando nos referimos a la medida de un ángulo, nos estamos refiriendo a la medida de la menor de sus aberturas.
Bisectriz:
Se denomina así al rayo que biseca un ángulo, es decir lo divide en dos ángulos congruentes (de igual medida).
Bisectriz: OM
m∠BOM = m∠MOA = α
Clasificación de los Ángulos
Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según la posición de sus lados.
Según su Magnitud:
Ángulo Nulo:
Es el ángulo cuya medida es nula o igual a 0º, para su representación los rayos que lo conforman están superpuestos
Ángulo Convexo:
Es el ángulo cuya medida es mayor a 0º y menor a 180º, es decir su medida varía entre (0° < α < 180°)
El ángulo convexo encierra a los ángulos:
Agudos
Varía entre el ángulo 0° y 90°
Recto
Su ángulo es igual a 90°
Obtusos
Varía entre el ángulo 90° y 180°
Ángulo llano:
Es el ángulo cuya medida resulta ser (α = 180°)
Los rayos que lo conforman son opuestos
Ángulo Cóncavo:
Es el ángulo cuya medida varía entre (180° < α < 360°).
Ángulo de una vuelta:
Denominado también ángulo perígono, es el ángulo cuya medida resulta ser (α = 360°).
Según sus características
Ángulos Complementarios:
Se denomina ángulos complementarios a dos ángulos cuya suma resultante es 90º.
Dónde: α y θ son complementarios
Observación:
Para hallar el complemento de un ángulo debemos de restar de 90º
Conclusión:
El complemento de ángulos negativos y ángulos mayores que 90º no existe
En geometría no se consideran ángulos negativos ya que el ángulo esta determinado por dos rayos que parten de un mismo vértice
Se observa que uno de los ángulos 110º es mayor que la suma total que es 90º.
Ángulos Suplementarios:
Se denomina ángulos suplementarios a los ángulos cuya suma resultante es 180º.
Dónde: α y θ son suplementarios
Observación:
Para hallar el suplemento de un ángulo debemos de restar de 180º
Conclusión:
El suplemento de ángulos negativos y ángulos mayores que 180º no existe
Según la posición de sus lados
Ángulos adyacentes:
Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común, tal que los ángulos se encuentren a uno y otro lado del lado común.
Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal
Propiedad:
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios determinan un ángulo recto
Ángulos Consecutivos:
Dos o más ángulos son consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.
Ángulos Formados por Dos Rectas Paralelas y una Recta Secante
Ángulos internos:
Son los ángulos que están comprendidos entre las rectas paralelas.
- 3, 4, 5 y 6
Ángulos externos:
Son los ángulos que no están comprendidos entre las rectas paralelas.
- 1, 2, 7 y 8
Ángulos Alternos son (congruentes)
- Internos: 3=6 y 4=5
- Externos: 2=8 y 1=7
Ángulos Conjugados son (suplementarios)
- Internos: 3+5=180º y 4+6=180º
- Externos: 1+8=180º y 2+7=180º
Ángulos Correspondientes son (congruentes)
- 1=6
- 2=5
- 4=8
- 3=7
Observación:
Si las rectas L1 y L2 no son paralelas los ángulos determinados seguirán llamándose alternos, conjugados y correspondientes según sea el caso, pero las relaciones entre sus ángulos ya no se cumplirán.
Propiedades entre Dos Rectas Paralelas
Al trazar dos rectas paralelas y una secante, estas determinan ángulos las cuales se relacionan mediante las siguientes propiedades.
Propiedad 01:
Si: M // N
Propiedad 02:
Si: M // N
Propiedad 03:
Si: M // N
Observación:
Si se representa el complemento con “C” y el suplemento con “S”, se cumple:
Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos
Propiedad 01:
Propiedad 02:
Propiedad 03:
Propiedad 04:
Propiedad 05:
Ángulos que Tienen sus Lados Perpendiculares
Propiedad 01:
Propiedad 02:
Propiedad 03:
Ejemplos de Ángulos
Ahora veremos algunos ejemplos de ángulos.
Ejemplo 01:
Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º
Solución:
Sea el ángulo: α
- Suplemento: 180° − α
- Complemento: 90° − α
Según el enunciado:
Sα + Cα = 160°
(180° − α) + (90° − α) = 160°
270° − 2α = 160°
110° = 2α
α = 55° Rpta.
Ejemplo 02:
Calcular el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3; 5; 7, sabiendo que el complemento de la suma de los ángulos es 15.
Solución:
Sean: m = 3k , n = 5k , p = 7k
Donde: m + n + p = 15k
El suplemento de la suma:
90° − (m + n + p) = 15°
Reemplazando la suma, tenemos:
90° − 15k = 15°
90° − 15° = 15k
75° = 15k
5 = k
Nos piden hallar el mayor “p = 7k = 7(5)”
Ejemplo 03:
Calcular: “x”, si L1 // L2
Solución:
Aplicamos la propiedad de opuestos por el vértice:
Por propiedad se tiene que:
Ejemplo 04:
Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la suma de medidas de los ángulos AOC y BOC es 100º. Calcular la medida del ángulo AOD, si la suma de las medidas de los ángulos AOB y COD es 50º.
Solución:
Ubicamos los datos en el gráfico:
En el gráfico la incógnita es m∠AOD = x
Por ángulos consecutivos: x = a + b + θ
Por dato: m∠AOC + m∠BOC = 100°
También: m∠AOB + m∠COD = 50°
Sumando ( I ) y ( II ):
Ejemplo 05:
Sean los ángulos AOB, BOC y COD consecutivos, si m∠AOC + m∠BOD = 140°, determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
Solución:
Sea:
- OM bisectriz de AOB
- ON bisectriz de COD
Luego la incógnita es m∠MNO = x
Por ángulos consecutivos:
Por dato: m∠AOC + m∠BOD = 140°
Reemplazando:
Ejercicios de Ángulos
En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Ángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 09 problemas resueltos de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Ángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 53 problemas para resolver de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ángulos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de ángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de clasificación de los ángulos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de razones trigonométricas de ángulos notables que esta relaciona con el tema de ángulos:
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
En el quinto grado de secundaria te compartiremos la ficha de ejercicios de ángulos verticales que esta relaciona con el tema de ángulos: