ÁNGULOS

Aquí te compartiremos todas las conceptos, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son los Ángulos?

Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice.

Ángulos

Notación:

Notacion de Angulos

Elementos:

  • Vértice: O
  • Lados: OA, OB
  • Medida del Angulo: m∠AOB: α

Medida de un ángulo

Una característica del ángulo es su abertura, la cual relaciona la separación entre sus lados, de esta manera la abertura se constituye en objeto de medición.

Una de las unidades para medir ángulos es el grado sexagesimal ( ° ), unidad que se remonta a la época de los Babilonios y se obtiene de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales.

Salvo se indique lo contrario, cuando nos referimos a la medida de un ángulo, nos estamos refiriendo a la medida de la menor de sus aberturas.

Bisectriz:

Se denomina así al rayo que biseca un ángulo, es decir lo divide en dos ángulos congruentes (de igual medida).

Bisectriz

Bisectriz:           OM

m∠BOM = m∠MOA = α

Clasificación de los Ángulos

Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según la posición de sus lados.

Según su Magnitud:

Ángulo Nulo:

Es el ángulo cuya medida es nula o igual a 0º, para su representación los rayos que lo conforman están superpuestos

Angulo NuloÁngulo Convexo:

Es el ángulo cuya medida es mayor a 0º y menor a 180º, es decir su medida varía entre (0° < α < 180°)

El ángulo convexo encierra a los ángulos:

Agudos

Varía entre el ángulo 0° y 90°

Ángulo Convexo Agudo

Recto

Su ángulo es igual a 90°

Ángulo Convexo Recto

Obtusos

Varía entre el ángulo 90° y 180°

Ángulo Convexo ObtusoÁngulo llano:

Es el ángulo cuya medida resulta ser (α = 180°)

Los rayos que lo conforman son opuestos

Ángulo llano

Ángulo Cóncavo:

Es el ángulo cuya medida varía entre (180° < α < 360°).

Ángulo Cóncavo

Ángulo de una vuelta:

Denominado también ángulo perígono, es el ángulo cuya medida resulta ser (α = 360°).

Ángulo de una vuelta

Según sus características

Ángulos Complementarios:

Se denomina ángulos complementarios a dos ángulos cuya suma resultante es 90º.

Ángulos Complementarios

Dónde: α y θ son complementarios

Observación:

Para hallar el complemento de un ángulo debemos de restar de 90º

Ejemplo Ángulos Complementarios

Conclusión:

El complemento de ángulos negativos y ángulos mayores que 90º no existe

Conclusión Ángulos Complementarios

En geometría no se consideran ángulos negativos ya que el ángulo esta determinado por dos rayos que parten de un mismo vértice

Proceso Ángulos Complementarios

Se observa que uno de los ángulos 110º es mayor que la suma total que es 90º.

Ángulos Suplementarios:

Se denomina ángulos suplementarios a los ángulos cuya suma resultante es 180º.

Ángulos Suplementarios

Dónde: α y θ son suplementarios

Observación:

Para hallar el suplemento de un ángulo debemos de restar de 180º

Proceso Ángulos Suplementarios

Conclusión:

El suplemento de ángulos negativos y ángulos mayores que 180º no existe

Según la posición de sus lados

Ángulos adyacentes:

Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común, tal que los ángulos se encuentren a uno y otro lado del lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal

Ángulos adyacentes suplementarios

Propiedad:

Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios determinan un ángulo recto

Propiedad de Ángulos adyacentes

Ángulos Consecutivos:

Dos o más ángulos son consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.

Ángulos Consecutivos

Ángulos Formados por Dos Rectas Paralelas y una Recta Secante

Ángulos Formados por Dos Rectas Paralelas

Ángulos internos:

Son los ángulos que están comprendidos entre las rectas paralelas.

  • 3, 4, 5 y 6

Ángulos externos:

 Son los ángulos que no están comprendidos entre las rectas paralelas.

  • 1, 2, 7 y 8

Ángulos Alternos son (congruentes)

  • Internos:     3=6    y   4=5
  • Externos:    2=8    y   1=7

Ángulos Conjugados son (suplementarios)

  • Internos:   3+5=180º   y   4+6=180º
  • Externos:  1+8=180º   y   2+7=180º

Ángulos Correspondientes son (congruentes)

  • 1=6
  • 2=5
  • 4=8
  • 3=7

Observación:

Si las rectas L1 y L2 no son paralelas los ángulos determinados seguirán llamándose alternos, conjugados y correspondientes según sea el caso, pero las relaciones entre sus ángulos ya no se cumplirán.

Propiedades entre Dos Rectas Paralelas

Al trazar dos rectas paralelas y una secante, estas determinan ángulos las cuales se relacionan mediante las siguientes propiedades.

Propiedad 01:

Si: M // N

Propiedad 1 Dos Rectas Paralelas

Propiedad 02:

Si: M // N

Propiedad 2 Dos Rectas Paralelas

Propiedad 03:

Si: M // N

Propiedad 3 Dos Rectas Paralelas

Observación:

Si se representa el complemento con “C” y el suplemento con “S”, se cumple:

Representacion Ángulos Formados por Dos Rectas Paralelas

Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos 

Propiedad 01:

Propiedad 1 Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos

Propiedad 02:

Propiedad 2 Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos

Propiedad 03:

Propiedad 3 Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos

Propiedad 04:

Propiedad 4 Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos

Propiedad 05:

Propiedad 5 Ángulos que Tienen sus Lados Paralelos

Ángulos que Tienen sus Lados Perpendiculares

Propiedad 01:

Propiedad 1 Ángulos que Tienen sus Lados Perpendiculares

Propiedad 02:

Propiedad 2 Ángulos que Tienen sus Lados Perpendiculares

Propiedad 03:

Propiedad 3 Ángulos que Tienen sus Lados Perpendiculares

Ejemplos de Ángulos

Ahora veremos algunos ejemplos de ángulos.

Ejemplo 01:

Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º

Solución:

Sea el ángulo: α

  • Suplemento: 180° − α
  • Complemento: 90° − α

Según el enunciado:

Sα + Cα = 160°
(180° − α) + (90° − α) = 160°
270° − 2α = 160°
110° = 2α
α = 55° Rpta.

Ejemplo 02:

Calcular el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3; 5; 7, sabiendo que el complemento de la suma de los ángulos es 15.

Solución:

Sean: m = 3k , n = 5k , p = 7k
Donde: m + n + p = 15k
El suplemento de la suma:

90° − (m + n + p) = 15°

Reemplazando la suma, tenemos:
90° − 15k = 15°
90° − 15° = 15k
75° = 15k
5 = k

Nos piden hallar el mayor “p = 7k = 7(5)”

Respuesta Ejemplo 2 de Ángulos

Ejemplo 03:

Calcular: “x”, si L1 // L2

Ejemplo 3 de Ángulos

Solución:

Aplicamos la propiedad de opuestos por el vértice:

Proceso Ejemplo 3 de Ángulos

Por propiedad se tiene que:

Respuesta Ejemplo 3 de Ángulos

Ejemplo 04:

Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la suma de medidas de los ángulos AOC y BOC es 100º. Calcular la medida del ángulo AOD, si la suma de las medidas de los ángulos AOB y COD es 50º.

Solución:

Ubicamos los datos en el gráfico:

Ejemplo 4 de Ángulos

En el gráfico la incógnita es m∠AOD = x

Por ángulos consecutivos: x = a + b + θ

Por dato: m∠AOC + m∠BOC = 100°

Proceso Ejemplo 4 de Ángulos

También: m∠AOB + m∠COD = 50°

Ejercicio 4 de Ángulos

Sumando ( I ) y ( II ):

Respuesta Ejemplo 4 de Ángulos

Ejemplo 05:

Sean los ángulos AOB, BOC y COD consecutivos, si m∠AOC + m∠BOD = 140°, determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

Solución:

Ejemplo 5 de Ángulos

Sea:

  • OM bisectriz de AOB
  • ON bisectriz de COD

Luego la incógnita es m∠MNO = x

Por ángulos consecutivos:

Proceso Ejemplo 5 de Ángulos

Por dato: m∠AOC + m∠BOD = 140°

Reemplazando:

Respuesta Ejemplo 5 de Ángulos

Ejercicios de Ángulos

En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Ángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 09 problemas resueltos de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Ángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 53 problemas para resolver de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ángulos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de ángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de clasificación de los ángulos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

En el cuarto grado de secundaria te compartiremos la ficha de razones trigonométricas de ángulos notables que esta relaciona con el tema de ángulos:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

En el quinto grado de secundaria te compartiremos la ficha de ejercicios de ángulos verticales que esta relaciona con el tema de ángulos:

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