Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Triángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué son los Triángulos?
Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
Notación:
Perímetro de un Triángulo
El perímetro de un triángulo, representado por , viene a ser la suma de las longitudes de sus tres lados.
Observaciones:
1.- Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos:
- Puntos interiores al triángulo.
- Puntos exteriores al triángulo.
- Puntos que pertenecen al triángulo.
2.- La porción de plano limitado por el triángulo se denomina región triangular.
3.- Todo triángulo tiene 6 ángulos externos, estos ángulos forman tres pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice.
4.- En un mismo vértice, un ángulo interior y un ángulo exterior, son suplementarios.
“P” es un punto exterior relativo a AB
“Q” es un punto exterior relativo a BC
“R” es un punto exterior relativo a AC
Región Triangular
Viene a ser la unión del triángulo con todos los puntos interiores a él.
Clasificación de los Triángulos
I.- Por la medida de sus ángulos
a) Triángulo Rectángulo:
Es aquel que tiene un ángulo recto.
b) Triángulo Oblicuángulo:
No tiene ángulo recto. Se clasifican en:
Triángulo Acutángulo
Es aquel que sus ángulos internos son agudos.
Triángulo Obtusángulo
Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso.
II.- Por la longitud de sus Lados
a) Triángulo Escaleno:
Es aquel que tiene todos sus lados de diferente longitud.
b) Triángulo Isósceles:
Es aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud llamándose el tercer lado base.
c) Triángulo Equilátero:
Es aquel que tiene sus tres lados de igual longitud por consiguiente tiene sus tres ángulos internos iguales a 60º.
Teoremas Fundamentales en Todo Triángulo
Teorema 1:
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180º.
Teorema 2:
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos del triángulo no adyacente a él.
Teorema 3:
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos externos, uno por cada vértice, es igual a 360º.
Teorema 4 (Ley de Correspondencia):
En un mismo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
Teorema 5:
En un mismo triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa.
Teorema 6 (Condición de existencia de un triángulo):
En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.
Líneas Notables de un Triángulo
Ceviana
Es un segmento que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
- BP: Ceviana Interior relativa a AC
- BQ: Ceviana Exterior relativa a AC
Observación:
Todo triángulo tiene infinitas cevianas. Esto nos lleva a concluir que la ceviana no es una línea notable
Mediana
Es una ceviana que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
- BM : Mediana relativa a AC
Altura
Es un segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el otro está en el lado opuesto tal que dicho segmento es perpendicular a dicho lado.
Si α < 90° y θ <90°:
La altura estará en la región interior al triangulo ABC
HB: Altura relativa a AC
Si α > 90°:
La altura estará en la región exterior al triangulo ABC
BH : Altura relativa a AC
BA : Altura relativa a AC
CA : Altura relativa a AB
AH : Altura relativa a BC
Bisectriz Interior
Es una ceviana interior que biseca al ángulo interior.
BD : bisectriz interior relativa a AC
Bisectriz Exterior
Es una ceviana exterior que biseca al ángulo exterior.
BF : Bisectriz exterior relativa a AC
Mediatriz
La mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular en su punto medio.
Si consideramos un triángulo, la mediatriz de un lado es la recta coplanar al triángulo y perpendicular en su punto medio.
Propiedades Adicionales
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
Observaciones:
1.- Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto ni más de un ángulo obtuso.
2.- En todo triángulo, uno de sus lados cualesquiera puede ser la base, mientras que en un triángulo isósceles, se considera como base al lado desigual.
Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos
1.- Si el Δ ABC es acutángulo
2.- Si el Δ ABC es obtusángulo
3.- Si el Δ ABC es rectángulo recto en A
4.- Si m∡A = 2(m∡C)
5.- Si m∡A = 3(m∡C)
6.- Si m ∡A = n(m∡C), n ∈N ∧ n>1
7.- Si “P” es un punto interior cualquiera del Δ ABC
8.- Si “P” es un punto interior cualquiera del Δ ABC
9.- Si BP es una ceviana del Δ ABC
10.- Si BQ es una ceviana del Δ ABC
Ejemplos de Triángulos
Ejemplo 01:
En la figura mostrada. Calcular “x
Solución:
– En el Δ ABC, por propiedad
– En el Δ ABG:
– En el Δ AEF:
– En el Δ FGH:
Ejemplo 02:
De la figura mostrada m+n=140°, hallar “x+y”.
Solución:
– Con respecto al Δ ABC :
– En el Δ AMN :
– Por dato: m+n= 140°
- Reemplazando en (II): α =40°
- Reemplazando en (I): θ =30°
– En el Δ MNP (Propiedad):
Ejemplo 03:
De la figura mostrada, hallar “x”:
Solución:
– En la figura sombreada, por propiedad:
– Operando:
– En el triángulo:
– Igualando y operando (I) y (II):
Ejemplo 04:
Dada la figura, calcular el valor de “x”:
Solución:
– Por propiedad:
– En el Δ MND:
Ejemplo 05:
De la figura mostrada, hallar el valor de “x+2y”.
Solución:
– En el Δ ABC, por propiedad:
– Luego:
– En el Δ APQ, QT y PR son bisectrices, entonces, por propiedad:
– Nos piden:
Ejercicios de Triángulos
En esta sección te compartiremos varios problemas de triángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Triángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Triángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 57 problemas de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B PDF
Los Triángulos para Primaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Segundo Grado de Primaria
Aquí te dejaremos los enlaces que corresponden a 2 materiales educativos de relacionados con el tema de triángulos para 2do grado de primaria:
Fichas para Tercer Grado de Primaria
Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a dos recursos educativos relacionados con el tema de triángulos para 3er grado de primaria:
Fichas para Cuarto Grado de Primaria
Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres fichas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 4to grado de primaria:
- Ficha 01 – Definición, Construcción y Propiedades Fundamentales de los Triángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Triángulos
- Ficha 03 – Propiedades Auxiliares de los Triángulos
Fichas para Quinto Grado de Primaria
Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres fichas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 5to grado de primaria:
- Ficha 01 – Definición y Propiedades Fundamentales de los Triángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Triángulos
- Ficha 03 – Propiedades Relativas de los Triángulos
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres separatas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 6to grado de primaria:
- Ficha 01 – Propiedades Fundamentales de los Triángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Triángulos
- Ficha 03 – Propiedades Auxiliares de los Triángulos
Los Triángulos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener materiales educativos sobre los triángulos para 1er grado de secundaria:
- Ficha 01 – Elementos y Propiedades de los Triángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Triángulos según sus Lados y Ángulos
Fichas para Segundo Grado de Secundaria
Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener materiales educativos sobre los triángulos para 2do grado de secundaria:
- Ficha 01 – Propiedades Fundamentales de los Triángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Triángulos
- Ficha 03 – Teorema de Pitagoras
- Ficha 04 – Lineas Notables
- Ficha 05 – Congruencia de Triángulos
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de triángulos para 3er grado de secundaria:
- Ficha 01 – Propiedades y Clasificación de los Triángulos
- Ficha 02 – Líneas Notables de un Triángulo
- Ficha 03 – Bisectriz y Mediatriz
- Ficha 04 – Triángulos Rectángulos Notables
- Ficha 05 – Semejanza de Triángulos
- Ficha 06 – Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángul
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
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- Ficha 01 – Los Triángulos
- Ficha 02 – Líneas Notables de un Triángulo
- Ficha 03 – Congruencia de Triángulos
- Ficha 04 – Bisectriz y Mediatriz
- Ficha 05 – Semejanza de Triángulos
- Ficha 06 – Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo
- Ficha 07 – Relaciones Métricas en el Triángulo Oblicuángulo
Fichas para Quinto Grado de Secundaria
Ahora te recomendamos los siguientes enlaces que te permitirán obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de triángulos para 5to grado de secundaria:
- Ficha 01 – Propiedades Fundamentales y Auxiliares de los Triángulos
- Ficha 02 – Líneas Notables Asociados a los Triángulos
- Ficha 03 – Congruencia de Triángulos
- Ficha 04 – Aplicación de Congruencia de Triángulos
- Ficha 05 – Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos
- Ficha 06 – Relaciones Métricas en Triángulos Oblicuángulos
Excelente material. Muchas gracias
Muy bueno el material.Dios te bendiga.