TRIÁNGULOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Triángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son los Triángulos?

Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Elementos de los Triángulos

Notación:

Notación de los Triángulos

Perímetro de un Triángulo

El perímetro de un triángulo, representado por , viene a ser la suma de las longitudes de sus tres lados.

Perímetro de un Triángulo

Observaciones:

1.- Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos:

  • Puntos interiores al triángulo.
  • Puntos exteriores al triángulo.
  • Puntos que pertenecen al triángulo.

2.- La porción de plano limitado por el triángulo se denomina región triangular.

3.- Todo triángulo tiene 6 ángulos externos, estos ángulos forman tres pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice.

4.- En un mismo vértice, un ángulo interior y un ángulo exterior, son suplementarios.

Region Interior de un Triángulo

“P” es un punto exterior relativo a AB
“Q” es un punto exterior relativo a BC
“R” es un punto exterior relativo a AC

Región Triangular

Viene a ser la unión del triángulo con todos los puntos interiores a él.

Clasificación de los Triángulos

I.- Por la medida de sus ángulos

a) Triángulo Rectángulo:

Es aquel que tiene un ángulo recto.

Triángulo Rectángulo

b) Triángulo Oblicuángulo:

No tiene ángulo recto. Se clasifican en:

Triángulo Acutángulo

Es aquel que sus ángulos internos son agudos.

Triángulo Acutángulo

Triángulo Obtusángulo

Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso.

Triángulo Obtusángulo

II.- Por la longitud de sus Lados

a) Triángulo Escaleno:

Es aquel que tiene todos sus lados de diferente longitud.

Triángulo Escaleno

b) Triángulo Isósceles:

Es aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud llamándose el tercer lado base.

Triángulo Isósceles

c) Triángulo Equilátero:

Es aquel que tiene sus tres lados de igual longitud por consiguiente tiene sus tres ángulos internos iguales a 60º.

Triángulo Equilátero

Teoremas Fundamentales en Todo Triángulo

Teorema 1:

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180º.

Teorema 1 Fundamentales en Todo Triángulo

Teorema 2:

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos del triángulo no adyacente a él.

Teorema 2 Fundamentales en Todo Triángulo

Teorema 3:

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos externos, uno por cada vértice, es igual a 360º.

Teorema 3 Fundamentales en Todo Triángulo

Teorema 4 (Ley de Correspondencia):

En un mismo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

Teorema 4 Ley de Correspondencia

Teorema 5:

En un mismo triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa.

Teorema 5 Fundamentales en Todo Triángulo

Teorema 6 (Condición de existencia de un triángulo):

En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

Teorema 6 Condición de existencia de un triángulo

Líneas Notables de un Triángulo

Ceviana

Es un segmento que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.

Líneas Notables de un Triángulo Ceviana

  • BP: Ceviana Interior relativa a AC
  • BQ: Ceviana Exterior relativa a AC

Observación:

Todo triángulo tiene infinitas cevianas. Esto nos lleva a concluir que la ceviana no es una línea notable

Mediana

Es una ceviana que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Líneas Notables de un Triángulo Mediana

  • BM : Mediana relativa a AC

Altura

Es un segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el otro está en el lado opuesto tal que dicho segmento es perpendicular a dicho lado.

Líneas Notables de un Triángulo Altura

Si α < 90° y θ <90°:

La altura estará en la región interior al triangulo ABC

HB: Altura relativa a AC

Líneas Notables de un Triángulo Altura Relativa

Si α > 90°:

La altura estará en la región exterior al triangulo ABC

BH : Altura relativa a AC

Líneas Notables de un Triángulo Altura Región Exterior

BA : Altura relativa a AC
CA : Altura relativa a AB
AH : Altura relativa a BC

Bisectriz Interior

Es una ceviana interior que biseca al ángulo interior.

Líneas Notables de un Triángulo Bisectriz Interior

BD : bisectriz interior relativa a AC

Bisectriz Exterior

Es una ceviana exterior que biseca al ángulo exterior.

Líneas Notables de un Triángulo Bisectriz Exterior

BF : Bisectriz exterior relativa a AC

Mediatriz

La mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular en su punto medio.

Si consideramos un triángulo, la mediatriz de un lado es la recta coplanar al triángulo y perpendicular en su punto medio.

Líneas Notables de un Triángulo mediatriz

Propiedades Adicionales

1.-

Propiedad 1 Adicionales de Triángulos

2.-

Propiedad 2 Adicionales de Triángulos

3.-

Propiedad 3 Adicionales de Triángulos

4.-

Propiedad 4 Adicionales de Triángulos

5.-

Propiedad 5 Adicionales de Triángulos

6.-

Propiedad 6 Adicionales de Triángulos

7.- 

Propiedad 7 Adicionales de Triángulos

8.- 

Propiedad 8 Adicionales de Triángulos

9.-

Propiedad 9 Adicionales de Triángulos

10.-

Propiedad 10 Adicionales de Triángulos

11.-

Propiedad 11 Adicionales de Triángulos

Observaciones:

1.- Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto ni más de un ángulo obtuso.

2.- En todo triángulo, uno de sus lados cualesquiera puede ser la base, mientras que en un triángulo isósceles, se considera como base al lado desigual.

Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

1.- Si el Δ ABC es acutángulo

Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

2.- Si el Δ ABC es obtusángulo

Ejemplo 2 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

3.- Si el Δ ABC  es rectángulo recto en A

Ejemplo 3 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

4.- Si m∡A = 2(m∡C)

Ejemplo 4 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

5.- Si m∡A = 3(m∡C)

Ejemplo 5 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

6.- Si m ∡A = n(m∡C), n ∈N ∧ n>1

Ejemplo 6 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

7.- Si “P” es un punto interior cualquiera del Δ ABC

Ejemplo 7 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

8.- Si “P” es un punto interior cualquiera del Δ ABC

Ejemplo 8 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

9.- Si BP es una ceviana del Δ ABC

Ejemplo 9 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

10.- Si BQ es una ceviana del Δ ABC

Ejemplo 10 Teoremas sobre Desigualdades con Lados en Triángulos

Ejemplos de Triángulos

Ejemplo 01:

En la figura mostrada. Calcular “x

Ejemplo 1 de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 1 de Triángulos

En el Δ ABC, por propiedad

Proceso Ejemplo 1 de Triángulos

En el Δ ABG:

Conclusiones Ejemplo 1 de Triángulos

En el Δ AEF:

Proceso Ejercicio 1 de Triángulos

En el Δ FGH:

Respuesta Ejercicio 1 de Triángulos

Ejemplo 02:

De la figura mostrada m+n=140°, hallar “x+y”.

Ejemplo 2 de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 2 de Triángulos

– Con respecto al Δ ABC :

Proceso Ejemplo 2 de Triángulos

– En el Δ AMN :

Conclusiones Ejemplo 2 de Triángulos

– Por dato: m+n= 140°

  • Reemplazando en (II): α =40°
  • Reemplazando en (I):     θ =30°

– En el Δ MNP (Propiedad):

Respuesta Ejemplo 2 de Triángulos

Ejemplo 03:

De la figura mostrada, hallar “x”:

Ejemplo 3 de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 3 de Triángulos

– En la figura sombreada, por propiedad:

Proceso Ejemplo 3 de Triángulos

– Operando:

Ejecución Ejemplo 3 de Triángulos

– En el triángulo:

Resolución Ejemplo 3 de Triángulos

– Igualando y operando (I) y (II):

Respuesta Ejemplo 3 de Triángulos

Ejemplo 04:

Dada la figura, calcular el valor de “x”:

Ejemplo 4 de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 4 de Triángulos

– Por propiedad:

Proceso Ejemplo 4 de Triángulos

– En el Δ MND:

Respuesta Ejemplo 4 de Triángulos

Ejemplo 05:

De la figura mostrada, hallar el valor de “x+2y”.

Ejemplo 5 de Triángulos

Solución:

Solución Ejemplo 5 de Triángulos

– En el Δ ABC, por propiedad:

Proceso Ejemplo 5 de Triángulos

– Luego:

Resolucion Ejemplo 5 de Triángulos

– En el Δ APQ, QT y PR son bisectrices, entonces, por propiedad:

Conclusión Ejemplo 5 de Triángulos

– Nos piden:

Respuesta Ejemplo 5 de Triángulos

Ejercicios de Triángulos

En esta sección te compartiremos varios problemas de  triángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Triángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Triángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 57 problemas de triángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Los Triángulos para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que corresponden a 2 materiales educativos de relacionados con el tema de triángulos para 2do grado de primaria:

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a dos recursos educativos relacionados con el tema de triángulos para 3er grado de primaria:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres fichas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 4to grado de primaria:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres fichas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 5to grado de primaria:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Aquí te dejaremos los enlaces que pertenecen a tres separatas educativas relacionadas con el tema de triángulos para 6to grado de primaria:

Los Triángulos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de triángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener materiales educativos sobre los triángulos para 1er grado de secundaria:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener materiales educativos sobre los triángulos para 2do grado de secundaria:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos visitar los siguientes enlaces donde podrás obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de triángulos para 3er grado de secundaria:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te recomendamos los siguientes enlaces que te permitirán obtener de forma gratuita materiales educativos relacionados con el tema de triángulos para 4to grado de secundaria:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

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