RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Rectas y Planos en el Espacio puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a las Rectas y Planos en el Espacio

En los capítulos anteriores se ha estudiado las figuras geométricas ubicadas sólo en un plano; tales, como el segmento; el triángulo, el cuadrilátero, la circunferencia, etc. sin embargo en la realidad nuestras actividades cotidianas observamos que existen objetos que no están ubicados en un solo plano como una caja de cartón, una columna de concreto, un tanque de agua, etc.

Asimismo, en el campo científico y tecnológico, se observan objetos ubicados en el espacio como por ejemplo, una maqueta para alguna futura obra; esto nos hace ver la necesidad de analizar la forma y extensión de los objetos, ubicados en el espacio, lo que se puede hacer representándolos mediante figuras geométricas y conociendo la “geometría del espacio”.

Representación Geométrica de un Plano

Por las diversas actividades que el hombre a realizado desde su existencia y al estar en contacto con la naturaleza, ha observado superficies como las de las aguas calmadas de un lago, de las paredes construcciones, de una pizarra, etc. con lo que surge la idea de un conjunto de puntos que se extienden ilimitadamente en todas las direcciones y que carece de espesor, a dicho conjunto se le denomina plano.

Tomando también la idea de espacio como algo ilimitado que contiene a todo lo que existe o pueda existir en las ideas que surgen en la realidad material; en el espacio hay infinitos planos los cuales pueden ser representados geométricamente con cualquier región plana, siendo la más utilizada la región paralelográmica.

Representación Geométrica de un Plano

Notación:

Notacion Representación Geométrica de un Plano Se lee plano P.

Determinación de un Plano:

Determinar un plano significa fijarlo geométricamente en el espacio, en consecuencia, se dice que ciertos conjuntos de elementos geométricos (como puntos y rectas) determinan un plano, siendo dicho plano el único que contiene a estos conjuntos.

Postulado Fundamental

Tres puntos no colineales determinan un plano al cual pertenecen. Dicho plano es el único que contiene a este conjunto de elementos geométricos.

Postulado Fundamental

Si: A, B y C son puntos no colineales

Ejemplo Postulado Fundamental

Teorema 1

Una recta y un punto que no pertenecen  a ella determinan un plano.

Teorema 1 Postulado Fundamental

Teorema 2

Dos rectas secantes determinan un plano.

Teorema 2 Postulado Fundamental

Teorema 3

Dos rectas paralelas determinan un plano.

Teorema 3 Postulado Fundamental

Ejemplo:

Ejemplo Teorema 3 Postulado Fundamental

En el gráfico adjunto, si representamos a las columnas mediante dos rectas paralelas y a la pared con un plano, se puede afirmar que dichas “columnas” determinan el plano de la superficie de la pared.

Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio

Entre dos Planos

Planos Paralelos:

Son dos planos que no tienen ningún punto en común.

Planos Paralelos

Planos Secantes:

Dos planos son secantes si  dichos planos tienen un conjunto de puntos en común, los cuales determinan una recta denominada recta de intersección o arista.

Planos Secantes

Planos Coincidentes:

Dos planos son coincidentes si los puntos que forman parte de un plano también forman parte de otro plano.

Planos Coincidentes

Entonces los planos “Q” y “P” son coincidentes, es decir conforman el mismo plano

Entre una Recta y un Plano

Recta Contenida en un Plano:

Una recta esta contenida en un plano si cada uno de los puntos que conforman la recta también conforman el plano.

Recta Contenida en un Plano

Nota:

Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano dicha recta está contenida en dicho plano.

Recta Secante a un Plano:

Una recta y un plano son secantes, cuando ambos tienen un punto en común, denominado punto de intersección.

Recta Secante a un Plano

Recta Paralela a un Plano:

Un plano y una recta son paralelos cuando dichos elementos no tienen ningún punto en común.

Recta Paralela a un Plano

Para que una recta, no contenida en un plano, sea paralela a dicho plano, es condición necesaria y suficiente, que sea paralela a una de las infinitas rectas contenidas en dicho plano.

Ejemplo Recta Paralela a un Plano

Entre dos Rectas

Rectas Paralelas:

Son aquellas rectas que no tienen puntos en común y que existe un solo plano que las contiene.

Rectas Paralelas

Rectas Secantes:

Son aquellas rectas que tienen un solo punto en común.

Existe un solo plano en el cual están contenidas dichas rectas.

Rectas Secantes

Rectas Alabeadas o Cruzadas:

Son aquellas rectas que no tienen puntos en común, es decir no determinan plano alguno.

Rectas Alabeadas o Cruzadas

Ángulo entre dos rectas alabeadas

El ángulo entre dos rectas alabeadas, es el ángulo determinado por dos rayos respectivamente paralelos a dichas rectas, siendo su vértice un punto cualquiera del espacio.

Ángulo entre dos rectas alabeadas

Nota:

Si: θ = 90° ⇒ L1 y L2 son perpendiculares u ortogonales

Distancia entre dos Rectas Alabeadas

Viene a ser la longitud del segmento perpendicular a ambas rectas alabeadas.

Distancia entre dos Rectas Alabeadas

Se observa que “d” es la distancia entre las rectas alabeadas L1 y L2

Observación:

En la práctica es conveniente proyectar ambas rectas  en un plano perpendicular a una de ellas:

Ejemplo Distancia entre dos Rectas Alabeadas

*  Dicha recta perpendicular al plano se proyecta como un punto en dicho plano, la otra queda proyectada como una recta.
*  Ahora, la distancia del punto a la recta proyectada viene a ser la mínima distancia entre las dos rectas que se cruzan.

Se observa que “d” es la distancia entre las rectas alabeadas L1 y L2

Teorema de Thales

Si tres o más planos paralelos son interceptados por dos rectas secantes,  las longitudes de los segmentos que se determinan entre los planos tienen longitudes proporcionales.

Teorema de Thales

Teorema de las Tres Perpendiculares

Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en dicho plano, el pie de la segunda perpendicular unida con cualquier punto de la recta perpendicular al plano, determina una recta perpendicular a la recta contenida en dicho plano.

Teorema de las Tres Perpendiculares

Recta Perpendicular a un Plano

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

Recta Perpendicular a un Plano

Condición Para que una Recta sea Perpendicular a un Plano

La condición para que una recta sea perpendicular a un plano es que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano.

Condición Para que una Recta sea Perpendicular a un Plano

Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo entre una recta y un plano es el ángulo determinado por dicha recta con su proyección ortogonal sobre el plano.

Ángulo entre una recta y un plano

Sistema Cartesiano Tridimensional

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes OX, OY y OZ.

Sistema Cartesiano Tridimensional

Las coordenadas del punto E de la figura son (x,y,z).
La distancia “x” se llama abscisa, “y” se llama ordenada y “z” se llama cota.
Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.
Los signos de las coordenadas varían y se rigen de acuerdo al sentido que toman.

Ejemplos de Rectas y Planos en el Espacio

Ejemplo 01:

Se han determinado como máximo 45 planos utilizando “n” rectas secantes, determinar el valor de “n”.

Resolución:

Recordemos el siguiente postulado, dos rectas secantes determinan un plano al cual con “n” rectas secantes, tomadas de dos en dos, se determinan planos.

Ejemplo 1 de Rectas y Planos en el Espacio

Ejemplo 02:

Un cuadrado ABCD y una semicircunferencia de diámetro AB están contenidos en dos planos perpendiculares. En la semicircunferencia se inscribe el cuadrado PQRT de manera que PT se encuentra en AB. Si AB=2 cm, calcular MQ, siendo M el punto medio del lado CD.

Resolución:

Graficando adecuadamente:

Ejemplo 2 de Rectas y Planos en el Espacio

Por Pitágoras:

OQ es el radio de la semicircunferencia,

Solución Ejemplo 2 de Rectas y Planos en el Espacio

Así:

Respuesta Ejemplo 2 de Rectas y Planos en el Espacio

Ejemplo 03:

Se tienen dos segmentos AB y PR, alabeados de modo que AP y BR miden 9 y 6 m. respectivamente. Cual de los siguientes valores puede tomar el segmento que une los puntos medios de AB y PR.

Resolución:

Ejemplo 3 de Rectas y Planos en el Espacio

Por dato AB y PR alabeados o cruzados.
Por dato AB y PR alabeados o cruzados.

AP = 9m y BR = 6m

Se une A con N y luego se prolonga.
A continuación se traza BQ paralela a MN.
Luego en el triángulo QAB, por el teorema de los puntos medios BQ=2x

Además: AN=NQ

Solución Ejemplo 3 de Rectas y Planos en el Espacio

Finalmente en el Δ QRB ; por el teorema  e la desigualdad triangular:

Proceso Ejemplo 3 de Rectas y Planos en el Espacio

Luego el valor que puede adoptar “x” es:

Respuesta Ejemplo 3 de Rectas y Planos en el Espacio

Ejemplo 04:

Un segmento de recta AB de 26cm de longitud une el punto A del plano “P” con el punto B del plano “Q” siendo ambos planos paralelos. La proyección de AB sobre cualquiera de los dos planos mide 24 cm. Halla la distancia entre dichos planos.

Resolución:

Graficando:

Ejemplo 4 de Rectas y Planos en el Espacio

Ejercicios de Rectas y Planos en el Espacio 

En esta sección te compartiremos varios problemas de rectas y planos en el espacio resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Rectas y Planos en el Espacio 

Aquí te compartiremos un documento que contiene 17 problemas resueltos de rectas y planos en el espacio, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Rectas y Planos en el Espacio

Aquí te compartiremos un documento que contiene 80 problemas de rectas y planos en el espacio, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Rectas y Planos en el Espacio para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de rectas y planos en el espacio para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de Rectas y Planos en el Espacio para 2do grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Solo es un recurso educativo de Rectas y Planos para 3er grado de secundaria que te brindaremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es una ficha educativa de Geometría del Espacio para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Para finalizar te dejaremos un link que te enviara al lugar donde podrás obtener un material educativo relacionado con el tema de Geometría del Espacio para 5to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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