ESFERAS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Esferas puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a las Esferas

Si los poliedros, como los ortoedros tienen un gran interés no podremos decir menos de los cuerpos redondos como la esfera. Puesto que en todo lo que gira y en todo lo que rueda están presentes una y otra.

El estudio de la esfera y el círculo, sus longitudes superficiales y volúmenes, interesaron a nuestros antepasados más remotos. Este interés es el mismo que nos lleva en este capítulo a completar el estudio ya iniciado en la parte de geometría plana, para así poder entender que en los piñones o ejes de las ruedas se usan villas esféricas para generar rodadura o girar, también entender cómo es que en los tornos se tallan piezas u objetos de forma curva (tuercas, patas de las sillas, etc) mediante la revolución alrededor de un eje.

Superficie Esférica

Superficie de Revolución:

Es aquella superficie que se genera por la rotación de líneas en torno a un eje dado. En la figura se muestra una superficie de revolución, generada por la línea ABCDEF al girar 360º en torno al eje. Superficie de Revolución

Teorema de Arquímedes:

El área de la superficie generada por una poligonal regular al girar 360º entorno a un eje que contiene al centro de la poligonal regular, la cual está en un mismo semiplano respecto al eje, es igual al producto de la longitud de la circunferencia cuyo radio es igual a la longitud del apotema de la poligonal regular con la longitud de la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje. En el siguiente gráfico al girar 360º la poligonal regular ABCD, en torno a un eje   se generara una superficie de revolución. Teorema de Arquímedes Formula de Teorema de Arquímedes ABCD : Poligonal regular de centro O y apotema OM. PQ : Proyección ortogonal de ABCD sobre el eje. ASG : Área de la Superficie Generada.

Superficie Esférica:

Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro. Superficie Esférica La superficie engendrada por la semicircunferencia generatriz se llama superficie esférica. Al trazar un plano secante a la esfera, la sección producida es una circunferencia, si este plano pasa por el centro, la circunferencia tiene el mismo centro y el mismo radio de la superficie esférica a este se le denomina circunferencia mayor, la circunferencia mayor divide a la superficie esférica en dos partes iguales llamadas hemisferios, los extremos del diámetro de la semicircunferencia generadora se denominan polos de la superficie

Zona Esférica:

Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica. Zona Esférica

Casquete Esférico:

Es la porción de superficie esférica que se determina por una plano secante a ella. También se define al casquete esférico como una zona esférica con una sola base. Casquete Esférico

Huso Esférico:

Superficie generada por una semicircunferencia que gira un ángulo menor que 360º  alrededor de su diámetro. También se define al huso esférico como la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro. Huso Esférico AH.E.  : Área del huso esférico

Esferas

Sólido de Revolución:

Es aquel sólido que se genera por la rotación de una región plana al girar en torno a un eje. Estudiaremos a continuación sólidos de revolución generados por regiones planas contenidas en un mismo semiplano respecto al eje de giro. Esfera

Teorema de Arquímedes:

El volumen del sólido generado por un sector poligonal regular al girar 360º en torno a un eje que pasa por el centro del sector poligonal, el cual está en un mismo semiplano respecto del eje, es igual a la tercera parte del producto del área de la superficie generada por la correspondiente poligonal regular con la longitud de su apotema. Formula Teorema de Arquímedes Propiedad Teorema de Arquímedes VSG : Volumen del sólido generado por el sector poligonal regular al girar 360º en torno al eje.

Definición de Esfera:

Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º en torno a su diámetro. También se puede decir que la esfera es el sólido limitado por una superficie esférica. Formula de la Esfera

Cuña Esférica:

Sólido generado por un semicírculo que gira un ángulo menor que 360º  alrededor de su diámetro. También se define a la cuña esférica, como la porción de esfera comprendida entre dos semicírculos máximos del mismo diámetro y por el huso esférico correspondiente.

VCE : Volumen de la cuña esférica.
α : medida del ángulo de la cuña o ángulo de giro.

Sector Esférico:

Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

Sector Esférico

h  :   longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro.
VSE : Volumen del sector esférico.

Anillo Esférico:

Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

Anillo Esférico

h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro.

Segmento Esférico de una Base:

Es la porción de esfera que se determina por un plano secante a ella.

Segmento Esférico de una Base

VSE1 : Volumen del segmento esférico de una sola base

Segmento Esférico de dos Bases:

Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera.

Segmento Esférico de dos Bases

VSE2 : Volumen del segmento esférico de dos bases.

Teoremas de Pappus – Guldin

Superficie de Revolución:

El área que genera un segmento de línea cuando gira alrededor de una recta (eje) es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por la longitud del segmento de línea.

Teoremas de Pappus Superficie de Revolución

Sólido de Revolución:

El volumen que genera una superficie cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por el área de la figura.

Sólido de Revolución

Ejemplos de Esferas

Ejemplo 01:

Calcular el volumen del segmento esférico mostrado, si su altura mide 1 m; mientras que AB mide 2√2 m.

Ejemplo 1 de Esfera.

Resolución:

Solución Ejemplo 1 de Esfera.

Se sabe que el volumen de un segmento esférico de una base; esta dada por la siguiente expresión:

Resolución Ejemplo 1 de Esfera.

Reemplazando datos:

Respuesta Ejemplo 1 de Esfera.

Ejemplo 02:

Halla el área de una esfera inscrita en un cono equilátero de 81m² de área total.

Resolución:

Ejemplo 2 de Esfera.

* Si es un cono equilátero, la longitud del diámetro de la base es igual a la longitud de la generatriz.

* Dato:

Resolución Ejemplo 2 de Esfera.

*  Nos piden:

Solución Ejemplo 2 de Esfera.

*  De (I) y (II):

Respuesta Ejemplo 2 de Esfera.

Ejemplo 03:

Se tiene una esfera maciza de metal y un cono macizo de metal, el cual resulta ser el mayor de os conos que se puede inscribir en el menor cilindro que contiene a la esfera indicada al sumergir completamente la esfera en otro recipiente cilíndrico con agua, el nivel del agua sube 6 cm. ¿Cuántos centímetros subirá el nivel del agua, al sumergirse completamente a la vez la esfera y el cono?

Resolución:

Ejemplo 3 de Esfera.

El menor cilindro que contiene a la esfera no es sino aquel cilindro circunscrito a dicha esfera.

Ahora el mayor de los conos es aquel como se muestra en el gráfico.

Por otro lado, según los datos del problema tenemos el gráfico siguiente:

Solución Ejemplo 3 de Esfera.

En donde el volumen del agua que sube será igual al volumen de la esfera; es decir:

Resolución Ejemplo 3 de Esfera

Ahora veremos el último caso, es decir cuando al sumergir completamente a la vez la esfera y el cono, el nivel del agua subirá “x” centímetros:

De igual manera como lo anterior el volumen del agua que sube será igual a la suma de volúmenes de la esfera y del cono.

Proceso Ejemplo 3 de Esfera

Del gráfico se tiene que:

Conclusión Ejemplo 3 de Esfera

Dividiendo ( I ) entre ( II )

Conclusión Ejercicio 3 de Esfera

De donde:

Respuesta Ejercicio 3 de Esfera

Ejemplo 04:

La generatriz menor de un tronco de cilindro recto mide 25m. y el radio de su base 20m., dentro del sólido se encuentra ubicada parcialmente una esfera de radio 20m., una parte de la cual sobresale por encima de la base superior del tronco, el polo sur de la esfera es el centro de la base del tronco y el polo norte de la esfera es el centro de la base superior. Hallar el área del casquete esférico que sobresale fuera del tronco.

Resolución:

Ejemplo 4 de Esfera

Haciendo los trazos mostrados, vemos que:

RT=20  y  RS=15

En el triángulo rectángulo, RST es notable (37° y 53°)

Resolución Ejemplo 4 de Esfera

Entonces la

Solución Ejemplo 4 de Esfera

Ahora en el triángulo rectángulo OPS: Op=16, Si

Proceso Ejemplo 4 de Esfera

Nos piden:

Respuesta Ejemplo 4 de Esfera

Ejemplo 05:

Calcular la longitud de la altura de una zona esférica de una base en una superficie esférica cuyo radio mide 8 m, de modo que el área de la superficie de ésta zona aumentada en el área de la base sea igual a los 7/16 del área de la superficie esférica.

Resolución:

Ejemplo 5 de Esfera

Área de la zona esférica = 2πRh

Por dato se conoce que:

Solución Ejemplo 5 de Esfera

Además:

Resolución Ejemplo 5 de Esfera

De ( I ) y ( II ) obtenemos:

Proceso Ejemplo 5 de Esfera

Pero: R=8 m  (dato)

Entonces:

Conclusión Ejemplo 5 de Esfera

De donde:

Respuesta Ejemplo 5 de Esfera

Ejercicios de Esferas

En esta sección te compartiremos varios problemas de esferas resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Esferas

Aquí te compartiremos un documento que contiene 10 problemas resueltos de esferas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Esferas

Aquí te compartiremos un documento que contiene 56 problemas de esferas, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Esferas para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de esferas para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

En esta sección te dejaremos un enlace que te permitirá obtener un material educativo relacionado con el tema de pirámide, cono y esfera para 3er grado de secundaria:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Son dos materiales educativos relacionados con el tema de esfera para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

para finalizar, son dos materiales educativos relacionados con el tema de esfera para 5to grado de secundaria que te dejaremos a continuación:

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