ÁNGULOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son los Ángulos?

Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen un mismo origen y que no pertenecen a la misma recta.

Ángulos

Notación:

Ángulo AOB:

Notación de Ángulos

Luego se tiene:

Ejemplo Notación de Ángulos

Medida del ángulo AOB:

Propiedad Notación de Ángulos

Interior y Exterior de un Ángulo

El interior de un ángulo AOB, se define como la intersección de dos semiplanos; uno de ellos está en el lado de OA que contiene a B y el otro del lado de OB que contiene a A.

Interior y Exterior de un Ángulo

Ejemplo Interior y Exterior de un Ángulo

Observación:

Los lados de un ángulo siempre son rayos, no son rectas, tampoco son semirrectas, ni segmentos de recta.

Verificación de Interior y Exterior de un Ángulo

Medida del Ángulo Geométrico

En geometría, los ángulos se miden en grados sexagesimales, usando el transportador.

Medida del Ángulo Geométrico

Ejemplo:

Si un ángulo AOB mide 40º, se tendrá:

Ejemplo Medida del Ángulo Geométrico

Nótese que no se ha puesto el símbolo de grado sexagesimal encima del 40 ni tampoco la palabra “grados” porque sería una redundancia.

Sin embargo, en la figura que representa al ángulo AOB, es conveniente usar el símbolo de grado (º).

Postulado de la Medida del Ángulo Geométrico

“La medida de un ángulo geométrico es un número real positivo comprendido entre 0 y 180”.

Postulado de la Medida del Ángulo Geométrico

Postulado de la Adición de las Medidas de Ángulos Geométricos

Si se toma un punto “P”, interior al ángulo AOB, entonces se tendrá:

Postulado de la Adición de las Medidas de Ángulos Geométricos

Congruencia de Ángulos

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida, así si el ∡AOB tiene la misma medida que el ∡COD, es decir m∡AOB = M(∡COD); entonces estos dos ángulos son congruentes.

Congruencia de Ángulos

Bisectriz de un Angulo

Se llama bisectriz de un ángulo a un RAYO INTERIOR, el mismo que partiendo del vértice, divide al ángulo dado en dos ángulos congruentes.

Bisectriz de un Angulo

Clasificación de los Ángulos

Por su Medida:

a) Angulo Agudo:

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0 pero menor que 90.

Angulo Agudo

b) Angulo Recto:

Es aquel ángulo que mide 90.

Angulo Recto

c) Angulo Obtuso:

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90 pero menor que 180.

Angulo Obtuso

Por la Posición de sus Lados:

a) Ángulos Adyacentes:

Son dos ángulos que tienen un vértice común, un lado común y están situados en diferentes semiplanos respecto del lado común.

Ángulos Adyacentes

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes

Observación:

Ejemplo Ángulos Adyacentes

Los ángulos AOC y BOC no son ángulos adyacentes.

b) Ángulos Consecutivos:

Son tres ó más ángulos aquellos que están situados uno a continuación del otro teniendo todos éstos el vértice común y un lado común.

Ángulos Consecutivos

Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos

c) Ángulos Opuestos por el Vértice:

Son dos ángulos con vértice común y medidas iguales cuyos lados forman líneas rectas dos a dos.

Ángulos Opuestos por el Vértice

Por la Suma de sus Medidas:

a) Ángulos Complementarios:

Son dos  ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90.

Ángulos Complementarios

Complemento de un Ángulo:

Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 90º.

Complemento de un Ángulo

b) Ángulos Suplementarios:

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180.

Ángulos Suplementarios

Suplemento de un Ángulo:

Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 180º.

Suplemento de un Ángulo

Propiedades:

Si C es Complemento y S es Suplemento, entonces tendremos:

Propiedades de los Angulos

Para reducir se utiliza como regla práctica a dos letras iguales y juntas sin importar su ubicación de orden.

Ejemplo:

Reducir la siguiente expresión:

Ejemplo Propiedades de los Angulos

Solución:

Solucion Ejemplo Propiedades de los Angulos

Observaciones:

  • Todo ángulo agudo tiene complemento y suplemento.
  • Los ángulos obtusos tienen solamente suplemento.
  • Los complementos de dos ángulos congruentes, son congruentes.
  • Los suplementos de dos ángulos congruentes son congruentes.
  • Dos ángulos que tienen el mismo complemento (ó el mismo suplemento), son congruentes.

Postulados de los Ángulos

Postulado 01:

La suma de las medidas de los ángulos que tienen sus vértices en un punto de una recta y están en un mismo semiplano es igual a 180º.

Postulado suma de medidas de Ángulos

Postulado 02:

La suma de las medidas de los ángulos que tienen un vértice común y están en un mismo plano es 360º.

Postulado suma de medidas de Ángulos con Vértice Común

Observaciones:

a) A los ángulos adyacentes también se les llama ángulos consecutivos; o sea que cuando son dos ángulos se le puede llamar ángulos consecutivos o ángulos adyacentes pero cuando son más de dos solamente se les puede llamar ángulos consecutivos.

b) Si las medidas de los ángulos adyacentes suman 180º, éstos se denominan “ángulos adyacentes suplementarios” ó también reciben el nombre de “par lineal”.

Observación Postulado suma de medidas de Ángulos con Vértice Común

c) Si las medidas de los ángulos adyacentes suman 90, éstos se denominan “ángulos adyacentes complementarios”.

Ejemplo Postulado suma de medidas de Ángulos con Vértice Común

Ejemplos de Ángulos

Ejemplo 01:

Encontrar la medida de un ángulo tal que la suma de su complemento con su suplemento es igual a 140º.

Solución:

Por dato:

Ejemplo 1 de Ángulos

Ejemplo 02:

El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al duplo del complemento de dicho ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.

Solución:

Planteando según el enunciado:

Ejemplo 2 de Ángulos

Ejemplo 03:

La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 80º, el complemento del primer ángulo es el doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

Solución:

Ejemplo 3 de Ángulos

De (II):

Proceso Ejemplo 3 de Ángulos

De (I) y (III):

Solución Ejemplo 3 de Ángulos

Nos piden:

Respuesta Ejemplo 3 de Ángulos

Ejemplo 04:

La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230º. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15º. Calcular el complemento de la medida del mayor ángulo.

Solución:

Por dato:

Ejemplo 4 de Ángulos

También por dato:

Solución Ejemplo 4 de Ángulos

De (I):

Proceso Ejemplo 4 de Ángulos

Simplificando:

Simplificando Ejemplo 4 de Ángulos

De (II)  y (III):

Conclusion Ejemplo 4 de Ángulos

Nos piden:

Respuesta Ejemplo 4 de Ángulos

Ejemplo 05:

Si la relación del complemento de un ángulo de medida “α” entre el suplemento de otro ángulo de medida “θ” es igual a la relación del suplemento de “α”  entre el complemento de “θ”, hallar la suma de las medidas de dichos ángulos.

Solución:

Ejemplo 5 de Ángulos

Nos piden:

Respuesta Ejemplo 5 de Ángulos

Ejercicios de Ángulos

En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Ángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 17 problemas resueltos de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Ángulos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 46 problemas de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Los Ángulos para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de los ángulos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Primaria

Ahora te dejaremos los enlaces de algunos materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 1er grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:

Fichas para Segundo Grado de Primaria

Ahora te dejaremos los link de algunos recursos educativos relacionados con el tema de ángulos para 2do grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:

Fichas para Tercer Grado de Primaria

Ahora te dejaremos los enlaces de algunos recursos educativos relacionados con el tema de ángulos para 3er grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:

Fichas para Cuarto Grado de Primaria

Ahora te dejaremos algunos enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 4to grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:

Fichas para Quinto Grado de Primaria

Ahora te dejaremos algunos enlaces que corresponden a separatas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 5to grado de primaria, esperamos que te ayude:

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Solo es un material educativo de clasificación de los ángulos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Los Ángulos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de los ángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos algunos enlaces que te permitirán descargar separatas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 1er grado de secundaria, esperamos que te ayude:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Ahora te dejaremos algunos enlaces que te permitirán descargar materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 3er grado de secundaria, esperamos que te ayude:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te dejaremos algunos enlaces que te permitirán descargar materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 4to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

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