Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ángulos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.
¿Qué son los Ángulos?
Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen un mismo origen y que no pertenecen a la misma recta.
Notación:
Ángulo AOB:
Luego se tiene:
Medida del ángulo AOB:
Interior y Exterior de un Ángulo
El interior de un ángulo AOB, se define como la intersección de dos semiplanos; uno de ellos está en el lado de OA que contiene a B y el otro del lado de OB que contiene a A.
Observación:
Los lados de un ángulo siempre son rayos, no son rectas, tampoco son semirrectas, ni segmentos de recta.
Medida del Ángulo Geométrico
En geometría, los ángulos se miden en grados sexagesimales, usando el transportador.
Ejemplo:
Si un ángulo AOB mide 40º, se tendrá:
Nótese que no se ha puesto el símbolo de grado sexagesimal encima del 40 ni tampoco la palabra “grados” porque sería una redundancia.
Sin embargo, en la figura que representa al ángulo AOB, es conveniente usar el símbolo de grado (º).
Postulado de la Medida del Ángulo Geométrico
“La medida de un ángulo geométrico es un número real positivo comprendido entre 0 y 180”.
Postulado de la Adición de las Medidas de Ángulos Geométricos
Si se toma un punto “P”, interior al ángulo AOB, entonces se tendrá:
Congruencia de Ángulos
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida, así si el ∡AOB tiene la misma medida que el ∡COD, es decir m∡AOB = M(∡COD); entonces estos dos ángulos son congruentes.
Bisectriz de un Angulo
Se llama bisectriz de un ángulo a un RAYO INTERIOR, el mismo que partiendo del vértice, divide al ángulo dado en dos ángulos congruentes.
Clasificación de los Ángulos
Por su Medida:
a) Angulo Agudo:
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0 pero menor que 90.
b) Angulo Recto:
Es aquel ángulo que mide 90.
c) Angulo Obtuso:
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90 pero menor que 180.
Por la Posición de sus Lados:
a) Ángulos Adyacentes:
Son dos ángulos que tienen un vértice común, un lado común y están situados en diferentes semiplanos respecto del lado común.
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes
Observación:
Los ángulos AOC y BOC no son ángulos adyacentes.
b) Ángulos Consecutivos:
Son tres ó más ángulos aquellos que están situados uno a continuación del otro teniendo todos éstos el vértice común y un lado común.
Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos
c) Ángulos Opuestos por el Vértice:
Son dos ángulos con vértice común y medidas iguales cuyos lados forman líneas rectas dos a dos.
Por la Suma de sus Medidas:
a) Ángulos Complementarios:
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90.
Complemento de un Ángulo:
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 90º.
b) Ángulos Suplementarios:
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180.
Suplemento de un Ángulo:
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 180º.
Propiedades:
Si C es Complemento y S es Suplemento, entonces tendremos:
Para reducir se utiliza como regla práctica a dos letras iguales y juntas sin importar su ubicación de orden.
Ejemplo:
Reducir la siguiente expresión:
Solución:
Observaciones:
- Todo ángulo agudo tiene complemento y suplemento.
- Los ángulos obtusos tienen solamente suplemento.
- Los complementos de dos ángulos congruentes, son congruentes.
- Los suplementos de dos ángulos congruentes son congruentes.
- Dos ángulos que tienen el mismo complemento (ó el mismo suplemento), son congruentes.
Postulados de los Ángulos
Postulado 01:
La suma de las medidas de los ángulos que tienen sus vértices en un punto de una recta y están en un mismo semiplano es igual a 180º.
Postulado 02:
La suma de las medidas de los ángulos que tienen un vértice común y están en un mismo plano es 360º.
Observaciones:
a) A los ángulos adyacentes también se les llama ángulos consecutivos; o sea que cuando son dos ángulos se le puede llamar ángulos consecutivos o ángulos adyacentes pero cuando son más de dos solamente se les puede llamar ángulos consecutivos.
b) Si las medidas de los ángulos adyacentes suman 180º, éstos se denominan “ángulos adyacentes suplementarios” ó también reciben el nombre de “par lineal”.
c) Si las medidas de los ángulos adyacentes suman 90, éstos se denominan “ángulos adyacentes complementarios”.
Ejemplos de Ángulos
Ejemplo 01:
Encontrar la medida de un ángulo tal que la suma de su complemento con su suplemento es igual a 140º.
Solución:
Por dato:
Ejemplo 02:
El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al duplo del complemento de dicho ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.
Solución:
Planteando según el enunciado:
Ejemplo 03:
La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 80º, el complemento del primer ángulo es el doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
Solución:
De (II):
De (I) y (III):
Nos piden:
Ejemplo 04:
La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230º. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15º. Calcular el complemento de la medida del mayor ángulo.
Solución:
Por dato:
También por dato:
De (I):
Simplificando:
De (II) y (III):
Nos piden:
Ejemplo 05:
Si la relación del complemento de un ángulo de medida “α” entre el suplemento de otro ángulo de medida “θ” es igual a la relación del suplemento de “α” entre el complemento de “θ”, hallar la suma de las medidas de dichos ángulos.
Solución:
Nos piden:
Ejercicios de Ángulos
En esta sección te compartiremos varios problemas de ángulos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.
Ejercicios Resueltos de Ángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 17 problemas resueltos de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B – PDF
Ejercicios para Resolver de Ángulos
Aquí te compartiremos un documento que contiene 46 problemas de ángulos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:
Opción A – WORD | Opción B PDF
Los Ángulos para Primaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de los ángulos para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Primaria
Ahora te dejaremos los enlaces de algunos materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 1er grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:
- Ficha 01 – Noción de Ángulos
- Ficha 02 – Clasificación de los Ángulos
- Ficha 03 – Uso del Transportador para Medir Ángulos
Fichas para Segundo Grado de Primaria
Ahora te dejaremos los link de algunos recursos educativos relacionados con el tema de ángulos para 2do grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:
Fichas para Tercer Grado de Primaria
Ahora te dejaremos los enlaces de algunos recursos educativos relacionados con el tema de ángulos para 3er grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:
- Ficha 01 – Elementos y Clasificación de Ángulos
- Ficha 02 – Usando Transportador para Medir Ángulos
- Ficha 03 – Bisectriz de un Ángulo
- Ficha 04 – Complemento de un Ángulo
- Ficha 05 – Suplemento de un Ángulo
- Ficha 06 – Adición de Ángulos
- Ficha 07 – Sustracción de Ángulos
Fichas para Cuarto Grado de Primaria
Ahora te dejaremos algunos enlaces que corresponden a fichas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 4to grado de primaria, esperamos que sean de ayuda:
- Ficha 01 – Definición, Construcción y Clasificación de Ángulos
- Ficha 02 – Adición y Sustracción de Ángulos
- Ficha 03 – Ángulos entre Dos Rectas Paralelas y un Secante
Fichas para Quinto Grado de Primaria
Ahora te dejaremos algunos enlaces que corresponden a separatas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 5to grado de primaria, esperamos que te ayude:
- Ficha 01 – Clasificación y Operaciones de Ángulos
- Ficha 02 – Ángulos Complementarios y Suplementarios
- Ficha 03 – Ángulos Conjugados y Alternos
Fichas para Sexto Grado de Primaria
Solo es un material educativo de clasificación de los ángulos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:
- Ficha 01 – Clasificación de los Ángulos por su Posición
- Ficha 02 – Clasificación de los Ángulos segun su Suma
- Ficha 03 – Ángulos entre Rectas Paralelas y una Secante
Los Ángulos para Secundaria
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de los ángulos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.
Fichas para Primer Grado de Secundaria
Ahora te compartiremos algunos enlaces que te permitirán descargar separatas educativas relacionadas con el tema de ángulos para 1er grado de secundaria, esperamos que te ayude:
- Ficha 01 – Clasificación de los Ángulos
- Ficha 02 – Ángulos Complementarios y Suplementarios
- Ficha 03 – Ángulos en Paralelas y Secantes
Fichas para Tercer Grado de Secundaria
Ahora te dejaremos algunos enlaces que te permitirán descargar materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 3er grado de secundaria, esperamos que te ayude:
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria
Ahora te dejaremos algunos enlaces que te permitirán descargar materiales educativos relacionados con el tema de ángulos para 4to grado de secundaria, esperamos que te ayude:
- Ficha 01 – Ángulos Formados por Rectas Paralelas y una Secante
- Ficha 02 – Ángulos Formados por Lineas Notables
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