NÚMEROS PRIMOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Números Primos puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Introducción a los Números Primos

En este capítulo estudiaremos los números primos que desde la antigüedad a interesado a grandes matemáticos como (Gauss, Fermat, Euler, …,etc.) siendo el matemático Griego Euclides el primero en descubrir los números primos y el reto actual de los matemáticos es encontrar la fórmula que permita encontrar todos los números primos lo cual no a sido posible hasta el momento pero hoy en día se ha encontrado números primos más grandes gracias a la memoria de las grandes súper computadoras, siendo los últimos números primos:

  • 2199337 – 1 que tiene 6002 cifras (en el año 1971).
  • 2217001 – 1 que tiene 6511 cifras (en el año 1979).
  • 2859433 – 1 que tiene 258716 cifras (en el año 1994).
  • 26972593 – 1 que tiene más de dos millones de cifras (en el año 1999).

Para esto es necesario recordar que Divisor de un número es cualquier valor que lo divide en partes enteras como por ejemplo los divisores del número 40 son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 y 40.

Divisor Propio:

Es todo aquel divisor del número menor que dicho número, tomando el ejemplo anterior diremos que los divisores de 40 son:

Divisor Propio

Clasificación de los Números Según sus Divisores

Números Primos

Llamados también números primos absolutos; número primo es aquel número que tiene dos divisores únicamente: la unidad y el mismo.

Ejemplo:

Clasificación de los Números Según sus Divisores

Tabla de Números Primos Menores que 200

Tabla de Números Primos Menores que 200

Observación:  

  • No existe fórmula para hallar los números primos.
  • La serie de los números primos es infinita.
  • El único número primo par es el 2, entonces los demás son impares.
  • Si “P” es un número primo mayor que 2 cumple ser 4° ± 1.
  • Si “P” es un número primo mayor que 3 cumple ser 6° ± 1.

Números Compuestos

Se llama número compuesto a todo número que tenga más de dos divisores. Esta serie es más abundante e infinita. Como por ejemplo:

Números Compuestos

Números Primos Entre Si o Primos Relativos (PESI)

Se dice que dos o más números son primos entre sí, solo si tienen un único divisor común que siempre es la unidad.

Ejemplo:

Números Primos Entre Si o Primos Relativos

Como vemos en el ejemplo el único divisor común que tienen los números 15 y 16 es la unidad por consiguiente estos números son primos entre sí o primos relativos.

NOTA:

El número uno NO es primo NI compuesto, por que sólo tiene un solo divisor que es el mismo es un número SIMPLE.

Regla para Determinar la Primalidad de un Número Entero Positivo

  • Primero se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del número N.
  • Luego se toma todos los números primos menores a esta raíz cuadrada de N.
  • En seguida se comprueba si estos números primos lo dividen al número N.
  • Si ningún número primo lo divide en cantidad entera y exacta al número N se dice que éste número es Primo.
  • Si algún número primo lo divide al número N, se dice que éste número es Compuesto.
Ejemplo:

Determinar si 149 es un número primo.

Solución:

Primero extraemos la raíz cuadra al número en mención:

Regla para Determinar la Primalidad de un Número Entero Positivo

Los números primos menores a esta raíz cuadrada son:

Ejemplo Regla para Determinar la Primalidad de un Número Entero Positivo

  • Dividimos 149 entre todos ellos:

Ejercicio Regla para Determinar la Primalidad de un Número Entero Positivo

  • Como vemos que ninguno lo divide exactamente, entonces podemos decir que 149 es un número primo!!

Estudio de los Divisores de un Número

Descomposición Canónica de un Número o Descomposición del Número en sus Factores Primos

(Teorema Fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss)

Todo número entero mayor que uno se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos y dicha descomposición es única.

Ejemplo:

Estudio de los Divisores de un Número

Tabla de Divisores de el Número 1800:

  • Primero hallamos todas la potencias consecutivas del 2 y luego estos resultados colocamos a la cabeza de la tabla:
  • En seguida hallamos las potencias del 3 y del 5 empezando con el exponente 1 y colocamos estos resultados en columna.

Luego multiplicamos todos los factores del 3 con los factores del 5 y colocamos en seguida (también en columna).

Tabla de Divisores de el Número 1800

Entonces los divisores del número 1800 son todos los valores que están a la derecha de la línea vertical.

Cantidad de los Divisores de un Número

Para hallar la cantidad de los divisores de un número  (CD(N)) primero se descompone a los números en sus factores primos

Cantidad de los Divisores de un Número

Ejemplo:

Halla la cantidad de divisores del número 20.

Solución:

Descomponemos el número 20 = 22.5

Luego aplicamos la formula anteriormente mencionada:

Ejemplo Cantidad de los Divisores de un Número

La cantidad de divisores del número 20 es 6 Rpta.

Cantidad de Divisores Compuestos de un Número

Para hallar la cantidad de divisores compuestos de un número N, se resuelve con la fórmula:

Cantidad de Divisores Compuestos de un Número

Ejemplo:

Hallar la cantidad de divisores compuestos del número 400.

Solución:

Primero descomponemos el número 400 = 24.52

Para hallar la cantidad de divisores primos bastará fijarnos en las bases de la descomposición;  entonces los divisores primos del 400 son 2 y 5; por lo tanto tiene dos divisores primos.

Entonces aplicamos en la fórmula:

Ejemplo Cantidad de Divisores Compuestos de un Número

La cantidad de divisores compuestos del número 400 es 12 Rpta.

Suma de los Divisores de un Número

Para hallar la cantidad de los divisores de un número (SD(N)) primero se descompone a los números en sus factores primos.

Suma de los Divisores de un Número

Ejemplo:

Halla la suma de los divisores del número 20.

Solución:

Descomponemos el número 20 = 22.5

Luego aplicamos la formula anteriormente mencionada:

Ejemplo Suma de los Divisores de un Número

La suma de los divisores del número 20 es 42 Rpta.

Producto de los Divisores de un Número

Para hallar el producto de los divisores de un número (PD(N)); primero se necesita hallar la cantidad de los divisores del número CD(N); la fórmula que nos permite  encontrar el producto de divisores es:

Producto de los Divisores de un Número

Ejemplo:

Halla el producto de los divisores del número 20.

Solución:

Descomponemos el número 20 = 22.5

Primero hallamos la cantidad de divisores del número 20:

Ejemplo Producto de los Divisores de un Número

Luego para hallar el producto de los divisores del número 20, reemplazamos en la formula que te mencionamos con anterioridad:

Resolución Producto de los Divisores de un Número

El producto de los divisores del número 20 es 203 Rpta.

Suma de las Inversas de los Divisores de un Número

Para hallar la suma de las inversas de los divisores de un número (SID(N)), primero se tiene que hallar la suma de los divisores del número SD(N); la fórmula que nos permite a encontrar la suma de las inversas de los divisores del número es:

Suma de las Inversas de los Divisores de un Número

Ejemplo:

Halla la suma de las inversas de los divisores de 20.

Solución:

Descomponemos el número 20 = 22.5

Primero hallamos la suma de los divisores del número 20:

Ejemplo Suma de las Inversas de los Divisores de un Número

Luego para hallar la suma de las inversas de los divisores del número 20, reemplazamos en la formula que te mencionamos con anterioridad:

Solución Ejemplo Suma de las Inversas de los Divisores de un Número

La suma de las inversas de los divisores del número 20 es 2,1 Rpta.

Indicador de un Número o Función Euler

Llamado también Función Euler “∅ (N)”, nos indica cuantos números menores o iguales a un número N son primos entre sí con él.

Primero se descompone al número en sus factores primos:

Indicador de un Número o Función Euler

Luego se aplica la siguiente fórmula:

Formula Indicador de un Número o Función Euler

Ejemplo:

Hallar cuantos números menores que 500 son primos entre sí con él.

Solución:

Ejemplo Indicador de un Número o Función Euler

Entonces el número 500 tiene 200 números menores que él que son primos entre sí con él.

Cantidad de Formas Posibles en que un Número N se puede Expresar como el Producto de Dos Números Enteros

La cantidad de formas posibles en que un número N se puede expresar como el producto de dos números enteros, se da por la fórmula:

Si la cantidad de divisores es par:

Cantidad de Formas Posibles en que un Número

Si la cantidad de divisores es impar:

Formula Cantidad de Formas Posibles en que un Número

Ejemplo:

De cuantas formas diferentes 40 se puede expresar como el producto de dos números enteros.

Solución:

Primero hallamos la cantidad de divisores de 40:

Ejemplo Cantidad de Formas Posibles en que un Número

Luego reemplazamos en la fórmula:

Ejercicio Cantidad de Formas Posibles en que un Número

Complementos Teóricos

Número Perfecto:

Es aquel número que es igual a la suma de sus divisores propios.

Ejemplo:

El número 6 es perfecto por que la suma de sus divisores propios es 6:

Número Perfecto

Número Defectuoso:

Es aquel número cuya suma de divisores propios es menor que el número.

Ejemplo:

El número 4 es un número defectuoso por que sus divisores propios son: 1 y 2; y la suma de estos divisores es: 1+2=3; y este resultado es menor que 4.

Número Abundante:

Es aquel número cuya suma de divisores propios es mayor que el número.

Ejemplo:

El número 12 es un número abundante por que sus divisores propios son: 1; 2; 3; 4; 6; y la suma de estos divisores es: 1+2+3+4+6=16 y este resultado es mayor que 12.

Números Amigos:

Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa:

Ejemplo:

Los números 284 y 220 son números amigos por que:

Números Amigos

Números Saturados:

Son aquellos números con la mayor cantidad posible de divisores que cualquier otro número menor que él.

Ejemplo 01:

El número 24 es un número saturado por que la cantidad de divisores que tiene es 8 y ningún otro número menor que él tiene más divisores que dicho valor.

Ejemplo 02:

El número 360 es un número saturado por que la cantidad de divisores que tiene es 24 y ningún otro número menor que él tiene más divisores que dicho valor.

Ejemplos de Números Primos

Ahora veremos algunos ejemplos de números primos.

Ejemplo 01:

Hallar “x” si: N=6×162x tiene 40 divisores

Solución:

Realizamos la descomposición de N:

Ejemplo 1 de Números Primos

Hallamos la cantidad de divisores:

Proceso Ejemplo 1 de Números Primos

Teniendo como dato: CD(N)=40, reemplazando:

Solución Ejemplo 1 de Números Primos

Por identificación de factores

Respuesta Ejemplo 1 de Números Primos

Ejemplo 02:

Hallar el valor de “n” sabiendo que: 15n x 75 tiene (17n+34) divisores.

Solución:

Realizamos la descomposición de la expresión:

Ejemplo 2 de Números Primos

Hallamos la cantidad de divisores:

Proceso Ejemplo 2 de Números Primos

Teniendo como dato: CD(N)=17n+34, reemplazando:

Solución Ejemplo 2 de Números Primos

Por identificación de factores:

Respuesta Ejemplo 2 de Números Primos

Ejemplo 03:

¿Cuántos ceros debe tener N=2000…00 para que el resultado tenga 56 divisores?

Solución:

Sea:

Ejemplo 3 de Números Primos

Realizamos la descomposición de la expresión:

Solución Ejemplo 3 de Números Primos

Teniendo como dato: CD(N)=56, reemplazando:

Proceso Ejemplo 3 de Números Primos

Por identificación de factores

Respuesta Ejemplo 3 de Números Primos

Ejercicios de Números Primos

En esta sección te compartiremos varios problemas de números primos resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Números Primos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de números primos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Números Primos

Aquí te compartiremos un documento que contiene 88 problemas del números primos, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Números Primos para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de números primos para estudiantes de primaria, todos estos recursos educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Sexto Grado de Primaria

Solo un material educativo de números primos para 6to grado de primaria que te compartiremos a continuación:

Números Primos para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte separatas de números primos para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de ejercicios de números primos para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de problema de números primos para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

En esta sección te compartiremos el enlace que corresponde a un material educativo del tema de ejercicios de números primos para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Finalmente te compartiremos el link que pertenece al tema de números primos para 5to grado de secundaria, esperamos que sea de mucha utilidad:

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