DIVISIBILIDAD

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Divisibilidad puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué es un Divisor?

Divisor, de un número entero “A”, es cualquier otro entero “B” tal que la división es exacta. Por ejemplo, 15 es divisor de 45 porque la división 45 ÷ 15 = 3 es exacta.

Entonces podemos decir que un número “B” es divisor de “A”, cuando “B” esta contenido en “A” en una cantidad entera y exacta de veces.

Ejemplo:

  • Los divisores del número 40 son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 y 40.

¿Qué es un Múltiplo?

Múltiplo, de un número entero, “B”, es otro número “A”, tal que A = B x C, para algún entero “C”. Así, 45 es múltiplo de 15 porque 45 = 15 x 3.

En otras palabras “A” es múltiplo de “B” cuando al dividir “A” entre “B” el cociente es un número entero y no deja residuo.

Ejemplo:

  • 40 es múltiplo de  8  por que 40 lo contiene a  8, cinco veces.
  • 60 es múltiplo de 10 por que 60 lo contiene a 10, seis veces.

Notación:

Múltiplo

Sucesión de Múltiplos

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por los sucesivos números naturales y por sus opuestos, ±1, ±2, ±3… Por tanto, cualquier número tiene infinitos múltiplos.

Por ejemplo:

Sucesión de Múltiplos

La relación “A es múltiplo de B” se puede expresar así:

  • “ B es divisor de A”
  • “ B divide a A”
  • “ A es divisible por B”

Observaciones:

  • Todo número es múltiplo de sí mismo.
  • Ningún número es múltiplo de cero.
  • Cero es múltiplo de cualquier número excepto de sí mismo.

Operaciones con Múltiplos:

En las operaciones con múltiplos de un mismo módulo, se cumple:

Ejercicios Operaciones con Múltiplos

Criterios de Divisibilidad

Los criterios de divisibilidad nos sirven para determinar si un número es múltiplo de otro de una manera rápida y práctica, técnica por la que se puede comprobar de forma rápida, cómoda y casi siempre mentalmente, si un número es divisible por otro. Los más conocidos tenemos:

Divisibilidad por 2 ó múltiplos de 2:

Un número es múltiplo de 2  cuando termina en cifra cero o par, como:

Criterios de Divisibilidad

Ejemplo:

Ejemplo Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por 3 ó múltiplos de 3:

Un número es múltiplo de 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3, como:

Ejemplo Divisibilidad por 3 ó múltiplos de 3

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 3 ó múltiplos de 3

Divisibilidad por 4 ó múltiplos de 4:

Un número es múltiplo de 4 cuando el número que forman las dos últimas cifras del número es un múltiplo de 4. Como:

Ejemplo Divisibilidad por 4 ó múltiplos de 4

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 4 ó múltiplos de 4

Divisibilidad por 5 ó múltiplos de 5:

Un número es múltiplo de 5 cuando la última cifra del número es cero o 5. Como:

Ejemplo Divisibilidad por 5 ó múltiplos de 5

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 5 ó múltiplos de 5

Divisibilidad por 8 ó múltiplos de 8:

Un número es múltiplo de 8 cuando el número que forman las tres últimas cifras del número es un múltiplo de 8. Como:

Ejemplo Divisibilidad por 8 ó múltiplos de 8

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 8 ó múltiplos de 8

Divisibilidad por 9 ó múltiplos de 9:

Un número es múltiplo de 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Como:

Ejemplo Divisibilidad por 9 ó múltiplos de 9

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 9 ó múltiplos de 9

Divisibilidad por 11 ó múltiplos de 11:

Un número es múltiplo de 11 cuando la suma de sus cifras que están en orden impar menos la suma de sus cifras que están en orden  par resulta cero o múltiplo de 11. Como:

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 11 ó múltiplos de 11

Divisibilidad por 7 ó múltiplos de 7:

Un número es múltiplo de 7 cuando al multiplicar a sus cifras por el ciclo 1; 3; 2; –1; –2; –3; 1; 3; 2 ; … de derecha a izquierda resulta cero o un múltiplo de 7. Caso contrario dicha suma determina el residuo de dividir el número entre 7. Así:

Ejemplo:

Ejemplo Divisibilidad por 7 ó múltiplos de 7

Divisibilidad por 13 ó múltiplos de 13:

Un número es múltiplo de 13 cuando al multiplicar a sus cifras por  1 luego por el ciclo  3; 4; 1; – 3; – 4; – 1;  3; 4; 1 ; – 3; …    de derecha a izquierda resulta cero o un múltiplo de 13. Caso contrario dicha suma determina el residuo de dividir el número entre 13. Así:

Ejemplo:

Ejemplo Divisibilidad por 13 ó múltiplos de 13

Divisibilidad por 25 ó múltiplos de 25:

Un número es múltiplo de 25 cuando el número que forman las dos últimas cifras del número es un múltiplo de 25. Así:

Ejemplo Divisibilidad por 25 ó múltiplos de 25

Ejemplo:

Ejercicio Divisibilidad por 25 ó múltiplos de 25

Divisibilidad por 33 ó 99; o múltiplos de 33 ó 99:

Un número es múltiplo de 33 ó 99 cuando al formar bloques de dos cifras de derecha a izquierda y al efectuarse la suma de estos valores se obtiene como resultado un múltiplo de 33 ó de 99 respectivamente. Así:

Ejemplo Divisibilidad por 33 ó 99; o múltiplos de 33 ó 99

Principio de Arquímedes

Si el producto de A; B y C es múltiplo de “n”; si A y B no tienen factores comunes (fuera de la unidad) con “n”, entonces C es un múltiplo de “n”, así:

Principio de Arquímedes

Como A y B no tienen factores comunes con “n” entonces:

Formula Principio de Arquímedes

Ejemplo:

Ejercicio Principio de Arquímedes

Como 5 y 7 no tienen factores comunes con “2” entonces:

Ejercicio 1 Principio de Arquímedes

Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Sirve para hallar residuos de divisiones sin necesidad de conocer el cociente. En su mayoría se aplica cuando el dividendo es muy grande. Existen dos casos:

a) Por defecto:

Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton por Defecto

b) por exceso:

Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton por Exceso

Ejemplo 01:

 

Ejemplo 1 Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Ejemplo 02:

Hallar el residuo de dividir: 456800 ÷ 7

Solución:

Tenemos:

Solución Ejemplo 1 Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Reemplazando:

Formulación Ejemplo 1 Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Luego:

Proceso Ejemplo 1 Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Entonces:

Resolución Ejercicio 1 Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Respuesta:

El residuo es quién acompaña al múltiplo de 7.

Residuo por defecto = 1  y  Residuo por exceso = 6

Restos Potenciales

Los restos potenciales son los residuos que dejan las potencias enteras, sucesivas y positivas de un número (N≠0) al ser dividido por el módulo “n”.

Ejemplo 01:

Hallar los residuos que dejan las potencias enteras, sucesivas  y positivas de 5 al ser divididos por el módulo 9.

Solución:

Hallamos las potencias del 5 y las expresamos con respecto al módulo 9, así:

Ejercicio 01 Restos Potenciales

Luego los restos potenciales de 5, respecto al módulo 9, son:

Solución Ejercicio 01 Restos Potenciales

Ejemplo 02:

Hallar los residuos que dejan las potencias enteras, sucesivas  y positivas de 7 al ser divididos por el módulo 5.

Solución:

Hallamos las potencias del 7 y las expresamos con respecto al módulo 5, así:

Ejercicio 02 Restos Potenciales

Luego los restos potenciales de 5, respecto al módulo 9, son:

Solución Ejercicio 02 Restos Potenciales

Gaussiano

El gaussiano de un número entero “N” respecto al módulo “m”  es la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y de cero, que se van a repetir periódicamente.

Así:

En el ejemplo 1

Los restos son: 1; 5; 7; 8; 4 y 2; entonces el gaussiano G=6.

En el ejemplo 2

Los restos son: 1; 2; 4 y 3; entonces el gaussiano es G=4.

Observación:

Cuando el número entero “N” y el módulo “m”, tienen los mismos factores primos al ser descompuestos, entonces no existe  gaussiano.

Ejemplo:

Hallar el gaussiano del número 10 respecto al módulo 20.

Solución:

Como veras al descomponer 10 y 20 tienen los mismos factores al ser descompuestos; resulta:

Solución Ejercicio Gaussiano

Entonces trataremos de hallar el gaussiano:

Proceso Ejercicio Gaussiano

Veremos que no existe un periodo el los restos potenciales, entonces NO EXISTE GAUSSIANO.

Ejemplos del Divisibilidad

Ahora veremos algunos ejemplos de divisibilidad.

Ejemplo 01:

Hallar: a + b, sabiendo que:

Ejemplos 01 del Divisibilidad

Solución:

Tenemos en cuenta lo siguiente:

Solución Ejemplos 01 del Divisibilidad

Considerando la divisibilidad por 8:

Proceso Ejemplos 01 del Divisibilidad

Reemplazando:

Resolución Ejemplos 01 del Divisibilidad

Suma algebraica de sus cifras:

Respuesta Ejemplos 01 del Divisibilidad

Ejemplo 02:

Hallar “a” en el número de la forma:

Ejemplos 02 del Divisibilidad

Solución:

Teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad por “9”

Respuesta Ejemplos 02 del Divisibilidad

Ejemplo 03:

Hallar “a” si se conoce que:

Ejemplos 03 del Divisibilidad

Solución:

Realizamos la descomposición por bloques:

Respuesta Ejemplos 03 del Divisibilidad

Ejemplo 04:

Al convertir 479423 al sistema de base 3. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras?, dar como respuesta la suma.

Solución:

Por cambio de base:

Ejemplos 04 del Divisibilidad

Se sabe:

Solución Ejemplos 04 del Divisibilidad

Identificando cifras:

Respuesta Ejemplos 04 del Divisibilidad

Ejemplo 05:

¿Cuál es la sumad de las cifras que deben sustituir al 2 y 3 del número 52103, para que sea divisible por 72?

Solución:

Sea “a” y “b” las cifras, luego:

Ejemplos 05 del Divisibilidad

Luego aplicando el criterio de divisibilidad del 8:

Solución Ejemplos 05 del Divisibilidad

Luego aplicando el criterio de divisibilidad del 9:

Proceso Ejemplos 05 del Divisibilidad

Piden

Respuesta Ejemplos 05 del Divisibilidad

Ejercicios de Divisibilidad

En esta sección te compartiremos varios problemas de divisibilidad resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Divisibilidad

Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de divisibilidad, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Divisibilidad

Aquí te compartiremos un documento que contiene 96 problemas del divisibilidad, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Divisibilidad para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de divisibilidad para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Sexto Grado de Primaria

En esta sección te compartiremos los enlaces de algunos materiales educativos relacionamos con el tema de divisibilidad para 6to grado de primaria, esperemos que sea de ayuda:

Divisibilidad para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas de divisibilidad para estudiantes de secundaria, todos estos recursos educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos los enlaces de algunas fichas educativas relacionados con el tema de divisibilidad para 1er grado de secundaria, esperemos que sea de utilidad:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son 3 materiales educativos relacionados con el tema de divisibilidad para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de divisibilidad para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Son 2 materiales educativos relacionados con el tema de divisibilidad para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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