CUATRO OPERACIONES

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Cuatro Operaciones puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Adición o Suma

La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9.

La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.

Esta operación tiene el siguiente procedimiento:

Cuatro Operaciones

Leyes Formales de la Adición

Ley de clausura:

La suma de números naturales, es otro número natural.

Leyes Formales de la Adición

Por lo que se dice que el conjunto de los naturales es un conjunto cerrado con respecto a la adición.

Ley de uniformidad (Igualdad):

Si se suman miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado será otra igualdad.

Ley de uniformidad

Ley Asociativa:

En una suma de varios términos, se puede agrupar varios sumandos en el orden que sea, para obtener sumas parciales, la suma total no varía.

Ley Asociativa

Ley conmutativa:

El orden de los sumandos, no altera la suma total.

Ley conmutativa

Ley Modulativa:

Llamado también del elemento neutro; El cero es el módulo de la adición ya que cualquier número sumado con el cero, resulta el mismo número.

Se cumple:

Ley Modulativa

Sustracción o Resta

La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.

Esta operación tiene el siguiente procedimiento:

Sustracción o Resta

Propiedades de la Sustracción

I. La suma de todos los términos de una sustracción resulta el doble del minuendo:

Propiedades de la Sustracción

Ejemplo:

En la diferencia de 8 – 2 = 10; resulta que:

Ejemplo Propiedades de la Sustracción

II. Ley del inverso aditivo: Para todo número “a” existe un número “–a”, que llama inverso aditivo de “a”, que al ser operado con la suma resulta el módulo de la adición (cero):

Propiedades 2 de la Sustracción

Ejemplo:

  • El inverso aditivo de 8 es: –8
  • El inverso aditivo de –7 es: 7

III. La sustracción NO es una operación de Clausura respecto a los números naturales, ya que al restar dos números naturales no siempre el resultado es una número natural:

Ejemplo:

2 – 6 = –4  ;  –4 no es un número natural.

IV. Si a un número de dos cifras se le resta el mismo número de dos cifras pero con las cifras en orden inverso resulta:

Propiedades 4 de la Sustracción

Esta propiedad no cumple para los números capicúas.

V. Si a un número de tres cifras se le resta el mismo número de tres cifras pero con las cifras en orden inverso resulta:

Propiedades 5 de la Sustracción

Esta propiedad no cumple para los números capicúas.

Nota:

Las dos últimas propiedades cumplen para cualquier sistema de numeración, con sus respectivas reglas de lectura y escritura.

Complemento Aritmético

Se llama complemento aritmético de un número, a lo que le falta a éste número para formar una unidad del orden inmediato superior.

Trataremos dos formas para calcular el complemento aritmético:

Método Tradicional:

Método Tradicional

Ejemplos:

  • CA(3) = 10 – 3 = 7
  • CA(14) = 100 – 14 = 84
  • CA(512) = 1000 – 512 = 488
  • CA(5427) = 10000 – 5427 = 4573

Método Práctico:

Se resta de la primera cifra significativa de la derecha de la base en la que esta el número y las demás cifras de la base menos uno.

Ejemplos:

Método Práctico

Multiplicación

La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (x). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 x 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4.

La multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 x 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones.

Multiplicación

A los términos A y B, también se les llama factores.

Leyes Formales de la Multiplicación

Ley de uniformidad:

Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad.

Ejemplo Ley de uniformidad

Ley de clausura:

El producto P de dos números naturales, es otro número natural.

Ley de clausura

Ley conmutativa:

El orden de los factores no altera el producto final.

Ejemplo Ley conmutativa

Ley distributiva:

El producto de una suma de varios números por un número “n”; es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando cada sumando por el número, así:

Ley distributiva

Ley asociativa:

Cuando se tienen varios factores, se pueden agrupar de cualquier forma, resultando productos parciales, que al multiplicarlos no altera el producto total.

Ejemplo Ley asociativa

Ley modulativa:

Llamado también del elemento neutro, se dice que el “1” es elemento neutro o módulo de la multiplicación, por que al ser operado con cualquier valor, éste valor no se altera.

Ejemplo Ley modulativa

Ley del inverso multiplicativo ó reciproco de un número:

Se dice que para todo número “a” (excepto el cero) existe un número “1/a”, tal que al ser operado con la multiplicación resulta el módulo de la multiplicación:

Ejemplo:
  • El inverso multiplicativo o reciproco de: 8 es: 1/8
  • El inverso multiplicativo o reciproco de: –2/5 es: –5/2

División

División, es una operación opuesta a la multiplicación, en la que consiste averiguar las veces que una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor; para la cual se utiliza el signo “: , ÷ , /”; existen dos tipos de división:

División Exacta:

Se llama división entera  a la división que no tiene residuo, y éste residuo se representa por el cero:

División Exacta

Donde:

  • D = Dividendo
  • d = divisor
  • q = cociente

Algoritmo de la división:

Propiedad de División Exacta

División Inexacta:

Se llama división inexacta a la división que deja un residuo, además existen dos tipos de divisiones inexactas:

  • División inexacta por defecto.
  • División inexacta por exceso.

A) División Inexacta por Defecto:

Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, más el residuo resulta el dividendo.

División Inexacta por Defecto

Donde:

  • D = Dividendo
  • d = divisor
  • q = cociente
  • rd = residuo por defecto

Algoritmo de la división:

Ejemplo División Inexacta por Defecto

Ejemplo:

Ejercicio División Inexacta por Defecto

Donde:

  • D = 32
  • d = 9
  • q = 3
  • rd = 5

Algoritmo de la división:

Solución Ejercicio División Inexacta por Defecto

B) División Inexacta por Exceso:

Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, menos el residuo resulta el dividendo.

División Inexacta por Exceso

Donde:

  • D = Dividendo
  • d = divisor
  • q +1 = cociente por exceso
  • rex = residuo por exceso

Algoritmo de la división:

Formula División Inexacta por Exceso

Ejemplo:

Ejemplo División Inexacta por Exceso

Donde:

  • D = 32
  • d = 9
  • q + 1 = 4
  • rex = 4

Algoritmo de la división:

Solución Ejemplo División Inexacta por Exceso

Leyes Formales de la División

I. El residuo (por defecto o por exceso) es un número que es mayor que cero y menor que el divisor

0 < residuo < divisor

II. El residuo máximo en cualquier división es siempre una unidad menor que el divisor:

residuo máximo = divisor – 1

III. El residuo mínimo en cualquier división es siempre uno:

Residuo mínimo = 1

IV. La suma del residuo por defecto más el residuo por exceso siempre es igual al divisor:

Residuo por defecto + residuo por exceso = divisor

Ejemplos de Cuatro Operaciones

Ahora veremos algunos ejemplos de cuatro operaciones.

Ejemplo 01:

Efectuar:

Ejemplo 1 de Cuatro Operaciones

Solución:

Por dato, debemos efectuar:

Solución Ejemplo 1 de Cuatro Operaciones

Escribiendo los “n” sumandos en forma equivalente:

Proceso Ejemplo 1 de Cuatro Operaciones

Agrupando adecuadamente:

Conclusión Ejemplo 1 de Cuatro Operaciones

Sumamos y restamos la unidad:

Resolución Ejemplo 1 de Cuatro Operaciones

Efectuando:

Resolución Ejercicio 1 de Cuatro Operaciones

Por lo tanto la suma es:

Respuesta Ejercicio 1 de Cuatro Operaciones

Ejemplo 02:

Si el CA de un numeral capicúa de 5 cifras es otro capicúa de 4 cifras, determinar la suma de cifras del número original.

Solución:

Por dato:

Ejemplo 2 de Cuatro Operaciones

Por regla práctica:

Proceso Ejemplo 2 de Cuatro Operaciones

En el primer orden: 10 – a = x  …(1)
En el segundo orden: 9 – b = y  …(2)
En el tercer orden: 9 – c = y       …(3)
En el cuarto orden: 9 – b = x  …(4)
En el quinto orden: 9 – a = 0  …(5)

Respuesta Ejemplo 2 de Cuatro Operaciones

Ejemplo 03:

Hallar la suma de las cifras del CA del número:

Ejemplo 3 de Cuatro Operaciones

Solución:

De:

Solucion Ejemplo 3 de Cuatro Operaciones

El complemento aritmético será:

Respuesta Ejemplo 3 de Cuatro Operaciones

Ejemplo 04:

En una división inexacta, el cociente, el divisor  y el residuo son números consecutivos (en ese orden). El mínimo número que hay que añadir el dividendo, para que el cociente aumente 3 unidades es 55. Hallar la suma de las cifras del dividendo.

Solución:

De la división inexacta:

Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Si el cociente, el divisor y el residuo son consecutivos, se cumple:

Solución Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

La menor cantidad que se le debe sumar al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades es:

Proceso Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Por dato:

Dato Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Luego:

Conclusión Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Entonces:

Resolució Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Hallamos el dividendo:

Respuesta Ejemplo 4 de Cuatro Operaciones

Ejemplo 05:

Un obrero gana diariamente S/. 5 más que otro. Después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe S/. 143 y el segundo S/. 88 ¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?

Solución:

Como un obrero recibe S/. 143 y el otro S/. 88, el primero habrá recibido:

S/. 143  –  S/. 88 = S/. 55 Más que el segundo y como uno de ellos recibe diariamente S/. 5 más que el otro, entonces el número de días trabajados será:

S/. 55 ÷ S/. 5 = S/. 11

Si trabaja 11 días, entonces cada uno recibió diariamente:

  • El primero: S/. 143 ÷ 11 = S/. 13
  • El segundo: S/. 88 ÷ 11 = S/. 8

Luego el que gana menos, será el segundo con S/. 8.

Ejemplo 5 de Cuatro Operaciones

Ejercicios de Cuatro Operaciones

En esta sección te compartiremos varios problemas de cuatro operaciones resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Cuatro Operaciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 11 problemas resueltos de cuatro operaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Cuatro Operaciones

Aquí te compartiremos un documento que contiene 79 problemas del cuatro operaciones, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Cuatro Operaciones para Primaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitio web que comparte fichas relacionadas con el tema de cuatro operaciones para estudiantes de primaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Cuatro Operaciones para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de cuatro operaciones para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Son varios materiales educativos relacionados con el tema de operaciones combinadas para 1er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Son varias fichas educativas relacionadas con el tema de operaciones combinadas para 2do grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos el enlace de otro sitio web que corresponde al tema de operaciones combinadas para 3er grado de secundaria, esperamos que te ayude:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos el enlace de otro sitio web que pertenece al tema de operaciones básicas para 4to grado de secundaria, esperamos que te ayude:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Son 2 fichas educativas relacionadas con el tema de cuatro operaciones para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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