ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Ecuaciones de Segundo Grado puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

¿Qué son las Ecuaciones de Segundo Grado?

Se llama ecuación de segundo grado a toda ecuación que admita ser reducida a la siguiente forma:

Formula de Ecuaciones de Segundo Grado

Frecuentemente a dicha ecuación de segundo grado se le llama: Ecuación cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita x asume dos valores)

Métodos de Resolución de la Ecuación

Toda ecuación de segundo grado podrá resolverse por al menos una de las siguientes formas:

Por Factorización

Este método se aplica únicamente si el trinomio ax2 + bx + c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

Si:

Formula de Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:

Ejercicio Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Resolución:

La ecuación dada es:

Resolución Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Factoricemos el trinomio según el criterio del aspa simple tendremos:

Factorizando Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Luego la ecuación dada será:

Proceso Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Finalmente de acuerdo a la propiedad ya señalada líneas atrás:

Propiedad Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Es decir el conjunto solución de la ecuación:

Conjunto Solucion Ecuaciones de Segundo Grado por Factorización

Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por SADI CARNOT.

Ecuaciones de Segundo Grado por la Fórmula de Camot

De donde:

Formulando Propiedad de Camot

Demostración:

Se tiene que:

Demostracion Propiedad de Camot

Dividiendo entre “a” a toda la ecuación con “a ≠ 0” obtendremos:

Analizando Propiedad de Camot

Agregando “(b/2a)2” a ambos miembros de la ecuación:

Ecuaciones de la Propiedad de Camot

Luego tendremos:

Procedimiento de la Propiedad de Camot

Veamos que el primer miembro es T.C.P.:

Valorizando la Propiedad de Camot

De donde:

Formulas de la Propiedad de Camot

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

Ejemplo de la Propiedad de Camot

Resolución:

De la ecuación se deduce que:

  • a = 1
  • b = 3
  • c = −1

Reemplazando en la formula tenemos:

Usando la Formula de la Propiedad de Camot

Efectuando y reduciendo:

Efectuando y Reduciendo Propiedad de Camot

Finalmente las raíces de la ecuación son:

Raices de la Ecuacion

En consecuencia el conjunto solución es:

Conjunto Solucion Propiedad de Camot

Análisis de la Ecuación

Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se tiene:

  • Si: a ≠ 0 ∧  b, c ∈ R, la ecuación es compatible determinada.
  • Si: a = 0 ∧  b = 0  ∧  c = 0, la ecuación es compatible indeterminada.
  • Si: a = 0 ∧  b = 0  ∧  c ≠ 0, la ecuación es incompatible.

Naturaleza de la Raíces

Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot, es decir:

Naturaleza de la Raices

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de segundo grado queda así:

Formula de Solucion de Ecuaciones de Segundo Grado

Análisis del Discriminante (Δ)

Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado. Veamos los siguientes casos:

Discriminante Mayor a Cero (Δ > 0):

En este caso las raíces son reales y diferentes.

Discriminante Igual a Cero (Δ = 0):

En este caso las raíces son reales e iguales. Además en este caso el trinomio “ax2 + bx + c” es un trinomio cuadrado perfecto.

Discriminante Menor a Cero (Δ < 0):

En este caso las raíces son complejas y conjugadas o imaginarias, debe notarse que las raíces siempre se presentan en pareja, siendo una de ellas, la conjugada de la otra.

Discriminante es Cuadrado Perfecto (Δ ≠ k2):

Siendo: a , b ∧ c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales.  Pero si Δ ≠ k2, las raíces de la ecuación serán irracionales y conjugadas.

Propiedades de las Raíces

Sea: ax2 + bx + c; donde x1 ∧ x2 son raíces. Luego se cumple:

Suma de las Raíces:

En toda ecuación cuadrática se cumple que:

Suma de Raices

Producto de las Raíces:

En toda ecuación cuadrática se cumple que:

Diferencia de las Raíces:

En toda ecuación cuadrática se cumple que:

Diferencia de las Raices

Suma de Inversas de las Raíces:

En toda ecuación cuadrática se cumple que:

Suma de Inversas de las Raices

Suma de Inversas de las Raíces:

En toda ecuación cuadrática se cumple que:

Suma de Inversas de las Raíces

Raíces Simétricas:

En las raíces simétricas se cumple que:

Raices Simetricas

Raíces Reciprocas:

En las raíces reciprocas se cumple que:

Raices Reciprocas

Ecuaciones Equivalentes

Sean las ecuaciones:

Ecuaciones Equivalentes

Si estas ecuaciones poseen las mismas soluciones se cumple:

Ejemplo de Ecuaciones Equivalentes

Formación de una Ecuación de 2º Grado

Para reconstruir la ecuación cuadrática a partir de sus raíces sean estas x1 ∧ x2 se cumple que:

Formacion de una Ecuacion de Segundo Grado

Ejemplos de Ecuaciones de Segundo Grado

Ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 01:

Indicar la mayor raíz de la ecuación:

Resolución:

Debemos tener en cuenta que:

Resolucion 1 de Ecuaciones de Segundo Grado

Entonces la ecuación quedará de la siguiente manera:

Ejecucion 1 de Ecuaciones de Segundo Grado

Multiplicando por 25 a toda la ecuación, obtendremos:

Multiplicacion 1 de Ecuaciones de Segundo Grado

Factorizando el primer miembro por aspa simple:

Factorizando 1 de Ecuaciones de Segundo Grado

Igualando cada factor a cero, obtendremos:

Finalmente la mayor raíz será:

Respuesta 1 de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejemplo 02:

Resolver:

Resolución:

Aislando uno de los radicales:

Resolucion 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Elevando al cuadrado la ecuación:

Elevando al Cuadrado 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Eliminando el término “x” en ambos miembros:

Eliminando Terminos 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Elevando nuevamente al cuadrado la ecuación:

Elevando al Cuadrado 02 de Ecuaciones de Segundo Grado

Transponiendo términos, se obtiene:

Transponiendo Terminos 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Elevando Nuevamente al cuadrado la ecuación:

Respuesta 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Transponiendo términos:

Transponiendo 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Factorizando el primer miembro:

Factorizando 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Igualando cada factor a cero, obtendremos:

Igualando 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Finalmente el único valor que cumple será:

Solucion 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejemplo 03:

Si: x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación:

Ejemplo 3 de Ecuaciones de Segundo Grado

Calcular:

Calculando 3 de Ecuaciones de Segundo Grado

Resolución:

Transformando la expresión “M”:

Resolucion 3 de Ecuaciones de Segundo Grado

Veamos que de la ecuación: 2x2  − x + 3, se cumple que:

Funcion 2 de Ecuaciones de Segundo Grado

Reemplazando en “M”, obtendremos:

Reemplazando 3 de Ecuaciones de Segundo Grado

Finalmente:

Respuesta 3 de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejemplo 04:

Halle “2m” para que la ecuación:

Ejemplo 4 de Ecuaciones de Segundo Grado

Tenga 2 raíces iguales:

Resolución:

Para que la ecuación tenga raíces iguales es necesario que su discriminante sea CERO, es decir:

Resolucion 4 de Ecuaciones de Segundo Grado

Efectuando:

Efectuando Ejercicio 4 de Ecuaciones de Segundo Grado

Simplificando y despejando:

Respuesta 4 de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejercicios de Ecuaciones de Segundo Grado

En esta parte te brindaremos varios problemas de ecuaciones de segundo grado resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Segundo Grado

Aquí te brindaremos un documento que contiene 17 problemas resueltos de ecuaciones de segundo grado, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Ecuaciones de Segundo Grado

Aquí te brindaremos un documento que contiene 42 problemas del ecuaciones de segundo grado, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Ecuaciones de Segundo Grado para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de ecuaciones de segundo grado para estudiantes de secundaria, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Primer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos una ficha educativa sobre el tema de ecuaciones de segundo grado para 1er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Segundo Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos algunos enlaces que te enviaran a descargar dos fichas educativas relacionadas con el tema de ecuaciones cuadráticas para 2do grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Aquí te compartiremos algunos enlaces que te enviaran a descargar dos fichas educativas relacionadas con el tema de ecuaciones cuadráticas para 3er grado de secundaria que te compartiremos en seguida:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos el enlace de un material educativo de ecuación de segundo grado para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Ahora te compartiremos el enlace de un material educativo de ecuaciones cuadráticas para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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