ᐈ ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO – Formulas y Ejercicios

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¿Qué son las Ecuaciones de Segundo Grado?

Se llama ecuación de segundo grado a toda ecuación que admita ser reducida a la siguiente forma:

Frecuentemente a dicha ecuación de segundo grado se le llama: Ecuación cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita x asume dos valores)

Métodos de Resolución de la Ecuación

Toda ecuación de segundo grado podrá resolverse por al menos una de las siguientes formas:

Por Factorización

Este método se aplica únicamente si el trinomio ax² + bx + c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

Si:

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:

Resolución:

La ecuación dada es:

Factoricemos el trinomio según el criterio del aspa simple tendremos:

Luego la ecuación dada será:

Finalmente de acuerdo a la propiedad ya señalada líneas atrás:

Es decir el conjunto solución de la ecuación:

Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación: ax² + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por SADI CARNOT.

De donde:

Demostración:

Se tiene que:

Dividiendo entre “a” a toda la ecuación con “a ≠ 0” obtendremos:

Agregando “(b/2a)²” a ambos miembros de la ecuación:

Luego tendremos:

Veamos que el primer miembro es T.C.P.:

De donde:

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

Resolución:

De la ecuación se deduce que:

a = 1
b = 3
c = −1

Reemplazando en la formula tenemos:

Efectuando y reduciendo:

Finalmente las raíces de la ecuación son:

En consecuencia el conjunto solución es:

Análisis de la Ecuación

Para la ecuación: ax² + bx + c = 0, se tiene:

Si: a ≠ 0 ∧ b, c ∈ R, la ecuación es compatible determinada.
Si: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0, la ecuación es compatible indeterminada.
Si: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c ≠ 0, la ecuación es incompatible.

Naturaleza de la Raíces

Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot, es decir:

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de segundo grado queda así:

Análisis del Discriminante (Δ)

Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado. Veamos los siguientes casos:

Discriminante Mayor a Cero (Δ > 0):

En este caso las raíces son reales y diferentes.

Discriminante Igual a Cero (Δ = 0):

En este caso las raíces son reales e iguales. Además en este caso el trinomio “ax² + bx + c” es un trinomio cuadrado perfecto.

Discriminante Menor a Cero (Δ < 0):

En este caso las raíces son complejas y conjugadas o imaginarias, debe notarse que las raíces siempre se presentan en pareja, siendo una de ellas, la conjugada de la otra.

Discriminante es Cuadrado Perfecto (Δ ≠ k²):

Siendo: a , b ∧ c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales. Pero si Δ ≠ k², las raíces de la ecuación serán irracionales y conjugadas.