DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS

Aquí te compartiremos todas las formulas, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios para resolver del tema de Divisibilidad de Polinomios puedes revisar nuestro índice de contenido para que navegues con mas facilidad en este contenido.

Teorema 1

Un polinomio F(x) es divisible por otro G(x) si existe un polinomio Q(x) de modo que:

Teorema 1 Divisibilidad de Polinomios

Esto implica que la división de F(x) entre G(x) da como cociente exacto Q(x), por lo que el resto será un polinomio idénticamente nulo.

Así en:

Formula de Teorema 1 Divisibilidad de Polinomios

Este criterio trae como consecuencia al Teorema del Factor.

Teorema 2

Si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho polinomio será divisible por (x − a) o lo contiene como factor.

En consecuencia; conocido un P(x).

Si:

Teorema 2 Divisibilidad de Polinomios

Teorema 3

Si un polinomio P(x) es divisible separadamente por (x + a), (x + b) y (x + c), entonces dicho polinomio será divisible por el producto: (x + a)(x + b)(x + c)

Es decir:

Si:

Teorema 3 Divisibilidad de Polinomios

Entonces:

Nota: También se cumple el proceso inverso, es decir, si un polinomio es divisible entre el producto de varias expresiones, será divisible entre cada una de ellas por separado.

Teorema 4

Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos dará como resto dicho resto común:

Así sea P(x) un polinomio cualquiera, y:

Teorema 4 Divisibilidad de Polinomios

Entonces:

Ejemplo de Teorema 4 Divisibilidad de Polinomios

Ejemplo Ilustrativo:

Hallar el residuo de la división:

Ejemplo de Divisibilidad de Polinomios

Resolución:

Para hallar el residuo de dividir.

  • Por ser de segundo grado el divisor, el resto será de primer grado; es decir, de la forma: “ax + b”
  • Ahora aplicaremos el algoritmo de la división:

Propiedad de Divisibilidad de Polinomios

  • Aplicando:

Aplicacion de Divisibilidad de Polinomios

  • Ahora por ser una identidad debe cumplirse para cualquier valor de la variable “x”
  • Entonces lo que hacemos es darle valores a la variable “x”, convenientemente de manera que anulen el cociente o se haga cero.
  • Partimos dándole el valor de “x = 2”, y lo reemplazamos en la identidad.

Ejecucion de Divisibilidad de Polinomios

  • Ahora le damos el valor de “x = 1” , y lo reemplazamos en la identidad.

Formula de Divisibilidad de Polinomios

  • Resolviendo “I” y “II”, tendremos que:

Resolucion de Divisibilidad de Polinomios

Y como el residuo es: ax +b

Reemplazamos los valores obtenidos:

Respuesta de Divisibilidad de Polinomios

Ejemplos de Divisibilidad de Polinomios

Ahora veremos algunos ejemplos de divisibilidad de polinomios.

Ejemplo 01:

Al dividir P(x) por (x − 1)(x − 2) se halla como resto 2x + 1. Hallar el resto de dividir P(x) por (x − 2)

Resolución:

Aplicando el algoritmo de la división:

Ejemplo 1 de Divisibilidad de Polinomios

De aquí podemos calcular “P(2)”

Calculando Ejemplo 1 de Divisibilidad de Polinomios

Luego de la lectura del problema también tendremos que:

Problema 1 de Divisibilidad de Polinomios

Calculemos “P(2)”

Ejercicio 1 de Divisibilidad de Polinomios

De la condición “m”:

Respuesta 1 de Divisibilidad de Polinomios

Ejemplo 02:

Los restos de las divisiones de P(x) por los binomios (x − 1) y  (x + 2) son respectivamente, 8 y −7. Hallar el resto de dividir P(x) por “x2 + x – 2”.

Resolución:

Aplicando el algoritmo de la división, cuando el polinomio P(x) se divide por (x − 1):

Ejemplo 2 de Divisibilidad de Polinomios

Cálculo de “P(1)”

Calculando Ejemplo 2 de Divisibilidad de Polinomios

Nuevamente aplicando el algoritmo de la división, cuando el polinomio se divide por (x + 2):

Aplicacion Ejemplo 2 de Divisibilidad de Polinomios

Cálculo de “P(−2)”

Resolviendo Ejercicio 2 de Divisibilidad de Polinomios

Nuevamente aplicando el algoritmo de la división, cuando el polinomio se divide por (x2 + x – 2):

Observe que:

Desarrollando 2 de Divisibilidad de Polinomios

También que el resto será:

Proceso 2 de Divisibilidad de Polinomios

Entonces:

Resolviendo Ejercicio 02 de Divisibilidad de Polinomios

Luego, P(1) será:

Problema Ejercicio 02 de Divisibilidad de Polinomios

También “P(−2)” será:

Proceso 02 de Divisibilidad de Polinomios

Resolviendo “I” y “II”:

Resolviendo 02 de Divisibilidad de Polinomios

Luego el resto será:

Respuesta 02 de Divisibilidad de Polinomios

Ejemplo 03:

Si un polinomio P(x) de tercer grado cuyo primer coeficiente principal es la unidad, se anula para “x = 3” y “x = 2”. Que otro valor de “x” anula a P(x), si la suma de coeficientes es igual a 10.

Resolución:

De la lectura del problema:

Problema 3 de Divisibilidad de Polinomios

Como “P(x)” es de tercer grado, esta proposición nos debe indicar que:

Proposición 3 de Divisibilidad de Polinomios

Entonces tendremos que:

Ejercicio Proposición 3 de Divisibilidad de Polinomios

Evaluemos “P” para x = 1

Evaluando Ejemplo 3 de Divisibilidad de Polinomios

Ahora en el problema nos indican que el coeficiente principal es “1”, entonces para que eso suceda necesariamente: a = 1

Por lo tanto en “m”:        b = 4

Recordemos que nos pide el otro valor de “x” que anula a “P”, entonces de “Q”

Resultado 3 de Divisibilidad de Polinomios

Ejercicios de Divisibilidad de Polinomios

En esta sección te compartiremos varios problemas de divisibilidad de polinomios resueltos y para resolver, en donde cada uno de los ejercicios contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta.

Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la opción que prefieras.

Ejercicios Resueltos de Divisibilidad de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 06 problemas resueltos de divisibilidad de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B – PDF

Ejercicios para Resolver de Divisibilidad de Polinomios

Aquí te compartiremos un documento que contiene 30 problemas del divisibilidad de polinomios, te invitamos a seleccionar la opción que prefieras:

Opción A – WORD | Opción B  PDF

Divisibilidad de Polinomios para Secundaria

Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte fichas de divisibilidad de polinomios para estudiantes de secundaria o temas relacionados, todos estos materiales educativos los podrás descargar en formato PDF.

Fichas para Tercer Grado de Secundaria

Solo es un material educativo de división algebraica de polinomios para 3er grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Cuarto Grado de Secundaria

Solo es un recurso educativo de división de polinomios para 4to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

Fichas para Quinto Grado de Secundaria

Solo es una ficha educativa de división algebraica para 5to grado de secundaria que te compartiremos a continuación:

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